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1、整式的乘除与因式分解基本知识点 一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_3 aa；_22 aa；_8253baba _210242333222xxyxyxxyxyyx 2、同底数幂的乘法法则：aman=am+n(m，n 是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：_3aa；_32aaa 3、幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：_)(32a；_)(25x；()334)()(aa 4、积的乘方的法则：(ab)m=ambm(m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
2、乘.例如：_)(3ab；_)2(32ba；_)5(223ba 5、同底数幂的除法法则：aman=am-n(a0，m，n 都是正整数，并且mn).同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10a 例如：_3aa；_210aa；_55aa 6、单项式乘法法则 yx 32 )5)(2(22xyyx )2()3(22xyxy 2232)()(baba 7、单项式除法法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.yxyx2324 xyyx6242 58103106 8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多
3、项式的每一项，再把所得的积相加.)(cbam )532(2yxx )25(32babaab 9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(xx )12)(32(yxyx )(22bababa 10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.xxxy56；aaba4482 bababa232454520 ccbca2121222 11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a1）（4a+1
4、）=_；（3a2b）（2b+3a）=_；11mnmn=；)3)(3(xx ；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍.例如：_522 ba；_32 yx _22 ab；_122 m 二、因式分解：1、提公因式法：4yxy 32xx x2+12x3+4x )1()1(anam 2、公式法.：（1）、平方差公式：)(22bababa 12x 2294ba 22)(16zyx 22)2()2(baba（2）、完全平方公式：222)(2bababa 222)(2bababa 4
5、42 mm 2269yxyx 924162xx 36)(12)(2baba 3、分组分解法：1abab abcbac a22abb2c2 4、“十字相乘法”：即式子 x2+(p+q)x+pq 的因式分解.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x27x6 （2）、x25x6 （3）、x25x6 整式的乘法 同底数幂的乘法aman=am+n（m、n 都是正整数）幂的乘方(am)namn(m，n 都是正整数)积的乘方(ab)nanbn(n 是正整数)单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式
6、乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 平方差公式 平方差公式 (ab)(ab)a2b2 1.公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2异号项2）.2.公式的应用：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.公式中的ab22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方
7、，还要注意字母的系数和指数.为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)(a-b)=a2 b2 计算：(1+2x)(1-2x)=(1)2(2x)2 =1-4x2 完全平方公式 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的 2 倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a2+b2=(a-b)2+2a
8、b(a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推广(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 整式的除法 同底数幂的除法 aman=am-n(a0，m，n 都是正整数，并且 mn)a0=1(a0)任何非零数的零次幂是 1.单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 因式分解 因式分解 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.提公因式法 acbc=（ab）c 公式法 a2
9、b2(ab)(ab)a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 十字相乘法 x2（pq）xpq=（xp）（xq）巩固练习 一、训练平台 1.下列各式中，计算正确的是()27=28 22=210 +26=27 +26=212 2.当 x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于()239 B.-18 D.239 3.已知 x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于()A.425 B.25 25 4.设 n 为正整数，若a2n=5，则 2a6n-4 的值为()B.246 D.不能确定 5.(a+b)(a-2b)=.6.(2a
10、+2=.7.(a+4b)(m+n)=.8.计算.(1)(2a-b2)(b2+2a)=；(2)(5a-b)(-5a+b)=.9.分解因式.(1)1-4m+4m2；(2)7x3-7x.10.先化简，再求值.(x-y)2+(x+y)(x-y)2x，其中 x=3，y=.二、探究平台 1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为()A.(a-b)(a2+b2)B.(a-b)2(a+b)C.(a-b)3 (a-b)3 2.下列计算正确的是()a2=a4(a0)a4=a(a0)a6=a3(a0)D.(a2b)3=a6b 3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是()=(-x+4)(-
11、x-4)+x3n=xn(2+x3)41=41(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab-4b2=.5.如果 x2+2(m-3)x+25 能用公式法分解因式，那么 m 的值是 .6.(3x3+3x)(x2+1)=.8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902；(2)20032002200220002002220022323.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；(2)x4-81x2y2.10.112xx+x(1+x1)，其中 x=2-1.三、交流平台 1.一条水渠其横断面为梯形，如图1523 所示，根据
12、图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.2.已知多项式 x3+kx+6 有一个因式 x+3，当 k 为何值时，能分解成三个一次因式的积并将它分解.3.如果 x+y=0，试求 x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论 m，n 为任何有理数，多项式 4m2+12m+25+9n2-24n 的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加
13、减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等 2建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义 3类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方
14、程解法及应用也可以类比一元一次方程 第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa 2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am an=am+n;am an=amn 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=am bn,(am)n=amn 7.负指数幂:a-p=1pa a0=1 8.乘法公式与因式分
15、解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(ab)2=a22ab+b2（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3|6xx（5）xx11 题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当x取何值时，下列分式的值为 0.（1）31xx （2）42|2xx（3）653222xxxx 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，
16、分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.练习：1当x取何值时，下列分式有意义：（1）3|61x （2）1)1(32xx （3）x111 2当x为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5xx （2）562522xxx 3解下列不等式（1）012|xx （2）03252xxx （二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质：MBMAMBMABA 2分式的变号法则：babababa 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx41313221 （2）baba04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例
17、 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yxyx （2）baa （3）ba 题型三：化简求值题【例 3】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.提示：整体代入，xyyx3，转化出yx11.【例 4】已知：21xx，求221xx 的值.【例 5】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx5.008.02.003.0 （2）baba10141534.0 2已知：31xx，求1242 xxx的值.3已知：311ba，求aabbbaba232的值.4若0106222bbaa，求ba
18、ba532的值.5如果21 x，试化简xx2|2|xxxx|1|1.（三）分式的运算 1确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1）cbacababc225,3,2；（2）abbbaa22,；（3）22,21,1222xxxxxxx；（4）aa21,2 题型二：约分【例 2】约分：（1）322016xyyx；（3）nmmn22；（3）6222xxxx.题型三：分式的混合运
19、算【例 3】计算：（1）42232)()()(abcabccba；（2）22233)()()3(xyxyyxyxa；（3）mnmnmnmnnm22；（4）112aaa；（5）874321814121111xxxxxxxx；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx；（7）)12()21444(222xxxxxxx 题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知：1x，求分子)121()144(48122xxxx的值；（2）已知：432zyx，求22232zyxxzyzxy的值；（3）已知：0132 aa，试求)1)(1(22aaaa的值.题型五：求待定字母的值【例 5】若
20、111312xNxMxx，试求NM,的值.练习：1计算（1）)1(232)1(21)1(252aaaaaa；（2）ababbbaa222；（3）baccbacbcbacbacba232；（4）babba22；（5）)4)(4(baabbabaabba；（6）2121111xxx；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1xxxxxx.2先化简后求值（1）1112421222aaaaaa，其中a满足02 aa.（2）已知3:2:yx，求2322)()()(yxxyxyxxyyx的值.3已知：121)12)(1(45xBxAxxx，试求A、B的值.4当a为何整数时，代数式2805399aa的
21、值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1）3132)()(bca （2）2322123)5()3(zxyzyx（3）24253)()()()(babababa （4）6223)()()(yxyxyx 题型二：化简求值题【例 2】已知51xx，求（1）22 xx的值；（2）求44 xx的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1）223)102.8()103(；（2）3223)102()104(.练习：1计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(（2）322231)()3(nmnm（3
22、）23232222)()3()()2(abbabaab（4）21222)()(2)()(4yxyxyxyx 2已知0152 xx，求（1）1 xx，（2）22 xx的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（1）xx311；（2）0132xx；（3）114112xxx
23、；（4）xxxx4535 提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（1）4441xxxx；（2）569108967xxxxxxxx 提示：（1）换元法，设yxx1；（2）裂项法，61167xxx.【例 3】解下列方程组)3(4111)2(3111)1(2111xzzyyx 题型三：求待定字母的值【例 4】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.【例 5】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.提示：032ax且2x，2a且4a.题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于x的方程)0(dc
24、dcxbax 提示：（1）dcba,是已知数；（2）0 dc.题型五：列分式方程解应用题 练习：1解下列方程：（1）021211xxxx；（2）3423xxx；（3）22322xxx；（4）171372222xxxxxx（5）2123524245xxxx （6）41215111xxxx（7）6811792xxxxxxxx 2解关于x的方程：（1）bxa211)2(ab；（2）)(11baxbbxaa.3如果解关于x的方程222xxxk会产生增根，求k的值.4当k为何值时，关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数.5已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.（二）分式方程的特
25、殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法 例 1解方程：231xx 二、化归法 例 2解方程：012112xx 三、左边通分法 例 3：解方程：87178xxx 四、分子对等法 例 4解方程：)(11baxbbxaa 五、观察比较法 例 5解方程：417425254xxxx 六、分离常数法 例 6解方程：87329821xxxxxxxx 七、分组通分法 例 7解方程：41315121xxxx （三）分式方程求待定字母值的方法 例 1若分式方程xmxx221无解，求m的值。例 2若关于x的方程11122xxxkxx不会产生增根，求k的值。例 3若关于x分式方程432212xxkx有增根，求k的值。例 4若关于x的方程1151221xkxxkxx有增根1x，求k的值。