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1、练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大 解:这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电qQ，两点电荷之间的库仑力为 2041rqqQF 由极值条件0ddqF，得 Qq21 又因为 202221ddrqF0；(2)=kx，k为大于零的常量，(0 x1)。图 7-46 练习题 7-5 用图 解：(1)将带电直线分割成无数个长度元 dx，dx的坐标是x。它所带的电荷元 dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为 20d41dbxxE 因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P点产生的
2、电场强度为 lbxxE020d41 lbb1140lbbl04 方向沿x轴的负方向。(2)同样取电荷微元dq=dx=kxdx 20d41dbxxkxE 同理 lbxxkxE020d41bllblbkln40 方向沿x轴的负方向。b x A O P 7-6 一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线在弧线上取线元 dl，其电荷lRQqdd，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为 020d41drERq 因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有 0dLxxEE 点O的合电场
3、强度为 习题 7-6 用图 sind41sind-d-20RqEEEELLLyy 其中，负号表示场强方向与 y 方向相反。将lRQqdd，ddRl，带入上式，积分得 20202022sin4RQRQE 负号表示场强方向与 y 方向相反 7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R时，P点的电场强度为多少（3）当x R时，P点的电场强度又为多少 练习题 7-7 用图 解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图所示。利用教材中例题 7-5 的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为 3 23 2
4、222200 d 2 dd44xSxr rExrxr 于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为 21220023220122RxxrxrdrxER （1）当R 时，R x。此时，上式可化为 02E 即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当x R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为 22200444RqExx 7-8 图 7-47 为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为1R和2R的球壳上分别带有电荷1Q和2Q，求：（1）I、II、III 三个区域中的场强；（2）若1Q=2Q，各区域的电场强度又为多少画出此时的电场强度分布曲线(即Er 关系曲线)。解：（1）在区域 I，做半径为
5、rR1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理 SdS E =iiq内 01 即 0421rE 可得区域 I 中的电场强度为 E1=0 在区域 II，以12RrR为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，由高斯定理得 SdS E =iiq 01 01224QrE 由此可解得区域 II 的电场强度为 12204QEr 在区域 III，做半径rR2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可得 SdS 3 E =iiq 01 021234QQrE E3=12204QQr R1 R2 Q1 Q2 I II III 图 7-47 练习题 7-8 用图（2）当1Q=2Q时，根
6、据以上结果易知 区域 I 的场强为 E1=0 区域 II 的场强为 12204QEr 区域 III 的场强为 E3=0 根据上述结果可画出如图所示Er关系曲线。7-12 水分子的电偶极矩为-306.13 10C m，如果这个电偶极矩是由一对点电荷e引起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少如果电偶极矩的取向与强度为6-110 N C的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用 eV 表示)解：（1）由电偶极矩的定义 epql 得 3011196.13 103.83 10(m)1.6 10eplq（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则 1961119522 1.6
7、10103.83 101.6 107.66 10(eV)AqqeEl E lE l 0 22014rQ r R2 R1 E E r关系曲线 7-13 计算练习题 7-8 中、区域中的电势。解：（1）根据题 7-8 所得、区域中的电场分布，01E;12204QEr;2210341rQQE 可得区域 I 的电势为 1212212 1 123 11222 00 dddd dd44ErrRRrRRRRRUE rErE rQQQrrrr 由此解得 12101214QQURR 区域的电势分布为 22 12223 021 ddd4ErRrrRQQUErE rrR 区域的电势分布为 1233 0 d d4Er
8、rrQQUErr （2）若12QQ，则区域的电势为 121221 1 123 12 01012 ddddd4114ErrRRrRRRRUE rErE rQrrQRR 区域的电势为 2 122 0211 dd4ErRrrQUErrR R1 R2 Q1 Q2 I II III 区域的电势为 33 d d0ErrrUEr 7-14 “无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上带电量为+。试求其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为R的0P点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为 0 (r R )E=rE02 （r R）电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向
9、。选某一距带电直线为R的0P点为电势零点，如本题解图所示。当r R时 0dd0RrpPUrErE 这个结果可以一般地表示为 当r R 时 rrrEUPPRrRrd2dd00rE Rrln2ln200rRln20 7-16 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图 749 所示。设内圆柱体的电势为1U，半径为1R；外圆柱体的电势为2U，外圆柱体的内半径为2R，两圆柱体之间为空气。求内圆柱体的 解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为。在内外圆柱体之间做半径r(12RrR)，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为r处场强为 02Er 于是，两圆柱间电压为 21 212 01dln2RRRUUUREr 即 12021ln/2RRUU)(R1 R2 图 7-49 练习题 7-16 用图