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1、小学数学及奥数知识点归纳（下）16约数与倍数 约数和倍数 若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做a 的约数。公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。几个数的最大公约数都是这几个数的约数。几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有：1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6；
2、那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。短除法：先找公有的约数，然后相乘。辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12、24、36、48；18 的倍数有：18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12，18=36；最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小
3、公倍数的倍数。两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法 短除法求最小公倍数；分解质因数的方法 17数的整除 基本概念和符号 整除 如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。常用符号 整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；整除判断方法 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除。能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。能被 3、9 整除：各个数
4、位上数字的和能被 3、9 整除。能被 7 整除：A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被7 整除。能被11 整除：A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。B.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。C.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。能被 13 整除：A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。整除的性质 如果 a、b 能被 c 整除，那么
5、（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18余数及其应用 基本概念 对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且0r P 余数的性质 余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a
6、除以 c 的余数与b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19余数、同余与周期 同余的定义 若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。同余的性质 自身性：aa(mod m)；对称性：若 ab(mod m)，则 ba(mod m)；传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若 a
7、 b(mod m)，cd(mod m)，则 ac bd(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，则 anbn(mod m)；同倍性:若 a b(mod m)，整数 c，则 ac bc(mod mc)；关于乘方的预备知识 若 A=ab，则 MA=Mab=（Ma）b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd 被 3、9、11 除后的余数特征 一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod 11)；费尔马小定
8、理 如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被p 整除，则 ap-11(mod p)。20分数与百分数的应用 基本概念与性质 分数 把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位 把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数 表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标
9、准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度
10、配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较 基本方法 通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 进行比
11、较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分 将一个分数单位分解成两个分数单位之和的公式 1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)；1/n=a/n(a+b)+b/n(a+b)，其中 a,b 为 n 的两个因数。23完全平方数 完全平方数特征 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。约数个数为奇数；反之成立。奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。奇数平方个位数字是奇数；偶
12、数平方个位数字是偶数。两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方和公式 (a+b)2=a2+b2+2ab 完全平方差公式 (a-b)2=a2+b2-2ab 24比和比例 比 两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值 比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例 表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或 比例的性质 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。正比例 若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则 A
13、 与 B 成正比。反比例 若 A 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则 A 与 B 成反比。比例尺 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配 把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程 基本概念 行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式 路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间 关键问题 确定运动过程中的位置和方向。相遇问题 速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题 追及时间路程差速度差（写出其他公式）流 水 问 题 顺 水 行 程=（船 速+水 速）顺 水 时间 逆水行程=（船速-水速）逆水时间 顺
14、水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静 水 速 度=（顺 水 速 度+逆 水 速 度）2 水 速=（顺水速度-逆水速度）2 流水问题关键 确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题 关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法 画线段图法 基本题型 已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题 基本公式 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 基本思路 假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数
15、），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评 合久必分，分久必合。27逻辑推理 基本方法简介 条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
16、辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积 基本思路 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋
17、转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法 1.连辅助线方法 2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。4.利用特殊规律 等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。29立体图形 30 时钟问题快慢表问题 基本思路 按照行程问题中的思维方法解题；不同的表当成 速度不同的运动物体；路程的单位是分格（表一周为60 分格）；时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；