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1、 100 大学解析几何 空间 基本知识部分 一、向量 1、已知空间中任意两点),(1111zyxM和),(2222zyxM，则向量 12212121(,)M Mxx yy zz 2、已知向量),(321aaaa、),(321bbbb，则（1）向量a的模为232221|aaaa（2）),(332211babababa（3）),(321aaaa 3、向量的内积ba（1）bababa,cos|（2）332211babababa 其中ba,为向量ba,的夹角，且ba,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积ba（遵循右手原则，且aba、bba）3
2、21321bbbaaakjiba 5、（1）332211/bababababa 101（2）00332211bababababa 二、平面知识点 1、平面的点法式方程 已知平面过点),(000zyxP，且法向量为),(CBAn，则平面方程为 0)()()(000zzCyyBxxA 注意：法向量为),(CBAn 垂直于平面 2、平面的一般方程0DCzByAx，其中法向量为),(CBAn 3、（1）平面过原点)0,0,0(0CzByAx（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）法向量n垂直于x轴0DCzBy（如果0D，则平面过x轴）平面与y轴平行（与xoz面垂直）法向量n垂直于y轴0DCzAx（如果0
3、D，则平面过y轴）平面与z轴平行（与xoy面垂直）法向量n垂直于z轴0DByAx（如果0D，则平面过z轴）（3）平面与xoy面平行法向量n垂直于xoy面0DCz 平面与xoz面平行法向量n垂直于xoz面0DBy 平面与yoz面平行法向量n垂直于yoz面0DAx 注意：法向量的表示 三、直线知识点 1、直线的对称式方程 过点),(000zyxP且方向向量为),(321vvvv 直线方程302010vzzvyyvxx 102 注意：方向向量),(321vvvv 和直线平行 2、直线的一般方程0022221111DzCyBxADzCyBxA，3、01111DzCyBxA和02222DzCyBxA的交
4、线 3、直线的参数方程tvzztvyytvxx302010 4、（1）方向向量),0(32vvv，直线垂直于x轴（2）方向向量),0,(31vvv，直线垂直于y轴（3）方向向量)0,(21vvv，直线垂直于z轴 5、（1）方向向量),0,0(3vv，直线垂直于xoy面（2）方向向量)0,0(2vv，直线垂直于xoz面（3）方向向量)0,0,(1vv，直线垂直于yoz面 应用知识面 一、柱面 1、设柱面的准线方程为0),(0),(21zyxfzyxf，母线的方向向量),(321vvvv，求柱面方程 方法：在准线上任取一点),(111zyxM，则过点),(111zyxM的母线为 312111vzz
5、vyyvxx 又因为),(111zyxM在准线上，故 0),(1111zyxf （1）0),(1112zyxf （2）令 tvzzvyyvxx312111 （3）由（1）、（2）、（3）消去111,zyx求出t，再把t代入求出关于zyx,的方程0),(zyxF，103 则该方程为所求柱面方程 例 1：柱面的准线为2221222222zyxzyx，而母线的方向为1,0,1v，求这柱面方程。解：在柱面的准线上任取一点),(111zyxM，则过点),(111zyxM的母线为 101111zzyyxx 即tzzyytxx111,（1）又因为),(111zyxM在准线上，故1212121zyx（2），2
6、22212121zyx（3）由（1）（2）（3）得012222xzzyx 2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径 方法：在圆柱面上任取一点),(0000zyxM，过),(0000zyxM点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点),(1111zyxM，则|10MM为圆柱的半径 例题 2：已知圆柱面的轴为21211zyx，点1M（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点),(0000zyxM，过点),(0000zyxM且垂直于轴的平面为 0)(2)(2)(000zzyyxx
7、 轴方程的参数式为tztytx21,21,代入平面方程得 922000zyxt 故该平面和轴的交点为)94429,94429,922(000000000zyxzyxzyx 过点1M（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)35,31,31(因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得 0991818844558222zyyzxzxyzyx 注：也可找圆柱面的准线圆处理 例 3：求以直线 x=y=z 为对称轴，半径 R=1 的圆柱面方程 104 解：在圆柱面上任取一点),(0000zyxM，过点),(0000zyxM且垂直于轴的平面为 0)()()(000zzyyxx 轴方程的参数式为tztytx
8、,代入平面方程得 3000zyxt 故该平面和轴的交点为 M1)3,3,3(000000000zyxzyxzyx 则10MM的长等于半径 R=1 故利用距离公式得 1)3()3()3(200002000020000zyxzzyxyzyxx 即所求方程为9)2()2()2(200020002000zyxzyxzyx 二、锥面知识点 锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为0),(0),(21zyxfzyxf，顶点为),(0000zyxM，求锥面方程 方法：在准线上任取一点),(1111zyxM，则过点),(1111zyxM的母
9、线为 010010010zzzzyyyyxxxx （1）又因为),(111zyxM在准线上，故 0),(1111zyxf （2）0),(1112zyxf （2）由（1）、（2）、（3）消去111,zyx求出关于zyx,的方程0),(zyxF，则该方程为所求锥面方程 例 1 锥面的顶点在原点，且准线为czbyax12222，求这锥面方程。105 解：在准线上任取一点),(1111zyxM，则过点),(1111zyxM的母线为 111zzyyxx 又因为),(111zyxM在准线上，故1221221byax且cz 1 上面三个方程消去111,zyx得0222222czbyax 2、圆锥面知识点 已
10、知圆锥面的顶点),(0000zyxM，对称轴（或轴）的方向向量为),(321vvvv，求圆锥面方程 方法：在母线上任取一点),(zyxM，则过该点的母线的方向向量为),(000zzyyxxn 利用v和n的夹角不变建立关于zyx,的方程，该方程为所求 例 2 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（2222)(zyxzyx）解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为 1zyx 故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(，则母线和对称轴的夹角为cos13010111，即33cos 在母线上任取一点),(zyxM，则过该点的母线的方
11、向向量为),(zyxn cos3222zyxzyx 所以2222)(zyxzyx 例 3 圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122zyx，母线和轴成030，求圆锥面方程 解：在母线上任取一点),(zyxM，轴的方向向量为)1,2,2(，母线的方向向量为 106)3,2,1(zyxn 则022230cos9)3()2()1()3()2(2)1(2zyxzyx 即 2222)3(27)2(27)1(27)322(4zyxzyx 三、旋转曲面知识点 设旋转曲面的母线方程为0),(0),(21zyxfzyxf，旋转轴为ZzzYyyXxx000，求旋转曲面方程 方法：在母线上任取一点),(11
12、11zyxM，所以过),(1111zyxM的纬圆方程 201201201202020111)()()()()()(0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 又因为),(1111zyxM在母线上，有 0),(0),(11121111zyxfzyxf 由上述四个方程消去111,zyx的方程0),(zyxF为旋转曲面 例题 4 求直线0112zyx绕直线l：zyx旋转一周所得的旋转曲面的方程。解：在母线上任取一点),(1111zyxM，则过),(1111zyxM的纬圆方程 2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx 又因为),(1111zyxM在母线上，有0112
13、111zyx 由上述方程消去111,zyx的方程得9)1(59992222zyxzyx 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线00),(zyxf，则柱面方程为0),(yxf 设柱面的准线是xoz平面上的曲线00),(yzxg，则柱面方程为0),(zxg 107 设柱面的准线是yoz平面上的曲线00),(xzyh，则柱面方程为0),(zyh 注：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母 （2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面 例求柱面方程（1）准线是022xzy，母线平行于x轴 解：柱面方程为
14、zy22（2）准线是3194222yzyx，母线平行于y轴 解：柱面方程为224zx （3）准线是21994222xzyx，母线平行于z轴 解：2x 2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面 设母线是00),(zyxf，旋转轴是x轴的旋转曲面为0),(22zyxf；旋转轴是y轴的旋转曲面为0),(22yzxf（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。例方程02222xzy是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 解：xoy面上的022 xy绕x轴旋转而成的 3、平行于坐标面的平面和曲面0),(zyxf的交线方程
15、 平行于xoy面的平面hz 和曲面0),(zyxf的交线为hzhyxf0),(108 平行于xoz面的平面hy 和曲面0),(zyxf的交线为hyzhxf0),(平行于yoz面的平面hx 和曲面0),(zyxf的交线为hxzyhf0),(例求曲面和三个坐标面的交线（1）6416222zyx 解：06422zyx、0641622yzx、0641622xzy（2）64164222zyx 解：注意在yoz面上无交线（3）zyx10922 解：在xoy面上交于一点)0,0(五、求投影 知识点 1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向
16、量为平面的法向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例 5（1）求点)1,1,3(A在平面0203zyx上的投影（2）求点)5,2,1(A到平面010 zyx的距离，并求该点关于平面的对称点坐标（1）求过直线0620223zyxyx且与点)1,2,1(M的距离为 1 的平面方程 2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例 6（1）求点)0,1,1(A到直线110122zyx的距离，该点在直线上的投影（2）求点)0,1,1(M到直线00332y
17、xzy的距离 3、直线在平面上的投影 方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向 109 量的外积（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例 7（1）求直线0923042zyxzyx在平面014zyx上的投影直线的方程（2）直线在yoz面上的投影为0574xzy，在xoz面上的投影为00354yzx，求直线在xoy面上的投影 4、曲线0),(0),(zyxgzyxf在坐标面上的投影柱面及投影 方法：（1）消去z得0),(1yxh，则00),(1zyxh为曲线在xoy面上的投影（2）消去x得0),(2zyh，则00),(2xzyh为曲线在y
18、oz面上的投影（3）消去y得0),(3zxh，则00),(3yzxh为曲线在xoz面上的投影 例（1）求球面9222zyx与平面1 zx的交线在xoy面上的投影柱面及投影（2）把曲线zxzyzxzy12834422222的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表示 解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程zzy422；消去z得母线平行于z轴的投影柱面方程042xy，因此曲线可表示为044222xyzzy 五、求平面方程知识点 1、过直线0022221111DzCyBxADzCyBxA的平面方程可设为 0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA 如果直线方程是点向式或参数式可转
19、化为上述形式处理 110 例（1）在过直线0204zyxzyx的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。（2）平面过OZ轴，且与平面0 zy的夹角为060，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点)1,0,1(M和直线110122zyx的平面方程（4）过直线083042zyzx作平面，使它平行于直线0604zyyx (5)过平面02 yx和6324zyx的交线作切于球面4222zyx的平面（6）求由平面0173,0122yxzx所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程 注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量（2）和平面0DCz
20、ByAx平行的平面可设为01DCzByAx（3）如存在两个向量),(321aaaa、),(321bbbb 和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为321321bbbaaakjiban 例（1）已知两直线为111111zyx，221113zyx，求过两直线的平面方程（2）求过)1,3,8(A和)2,7,4(B两点，且垂直于平面02153zyx的平面（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为 9，求平面方程（4）已知球面0642222zyxzyx与一通过球心且与直线00zyx垂直的平面相交，求它们的交线在xoy面上的投影 111 3、轨迹法求方程 方法：（1）设平面上任一一
21、点),(zyxM（2）列出含有zyx,的方程化简的平面方程 例求由平面013zyx和023zyx所构成的二面角的平分面的方程 六、求直线方程知识点 1、把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA，则该直线的方向向量为),(321222111vvvCBACBAkjiv 在直线上任取一点),(000zyx，则直线方程为302010vzzvyyvxx 例化直线的一般方程0132052zyxzyx为标准方程 2、根据直线的方向向量求直线方程 例（1）过点)2,1,0(M，且平行于两相交平面013zyx和023zyx的直线方程（2 求过点)0,4
22、,2(M，且与直线023012zyzx平行的直线方程（3）求过点)2,0,1(M，且与平面0643zyx平行，又与直线14213zyx垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 3、利用直线和直线的位置关系求直线方程 112 注意：（1）两直线平行，则332211nmnmnm，其中),(321mmm和),(321nnn为直线的方向向量（2）两直线302010mzzmyymxx和312111nzznyynxx相交，则 0321321010101nnnmmmzzyyxx且332211nmnmnm（3）两直线302010mz
23、zmyymxx和312111nzznyynxx异面，其中公垂线的方向向量为),(321321321vvvnnnmmmkjiv，则两异面直线的距离为|vd；公垂线方程为00321321111321321000vvvnnnzzyyxxvvvmmmzzyyxx 例（1）求通过点)1,1,1(M且与两直线321zyx和431221zyx都相交的直线方程 解：设所求直线的方向向量为),(cba，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1(则0321111cba，即02cba；0412210cba，即02cba 故bca2,0，故)2,1,0(),(cba
24、 113 所求直线为211101zyx（2）已知两异面直线0111zyx和011111zyx，求它们的距离与公垂线方程（3）求与直线137182zyx平行且与下列两直线相交的直线 3465xzxz和5342yzxz（4）求过点)3,2,1(P与z轴相交，且与已知直线22334zyx垂直的直线方程 练习题 1、已知柱面的准线为0225)2()3()1(222zyxzyx且（1）母线平行于x轴（2）母线平行于直线czyx,，求柱面方程 2、已知柱面的准线为zxzyx222母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程 3、求过三条平行线211,11,zyxzyxzyx的圆柱面方程 4、求顶点为原点，准线为0
25、1,0122zyzx的锥面方程 5、顶点为)2,1,3(，准线为0,1222zyxzyx，求锥面方程 6、顶点为)4,2,1(，轴垂直于平面022zyx，且过点)1,2,3(，求该圆锥面的方程 7、求下列旋转曲面方程（1）直线211111zyx绕直线2111zyx旋转（2）直线1112zyx绕直线2111zyx旋转（3）直线3311zyx绕直线z旋转（4）曲线1222yxxz绕直线z旋转 8 例求曲面和三个坐标面的交线 114（1）64164222zyx（2）zyx10922（3）0164222zyx 9（1）求点)1,0,2(P关于直线03220124zyxzyx的对称点（2）求点)1,3,
26、2(A到直线0172230322zyxzyx的距离，10 求直线11111zyx在平面012zyx上的投影直线的方程 11 求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影 1022xzzyx 010332322zyzxyzzx 71023562zyxzyx yzyxz22222 12（1）过直线02062zyxzyx作平面，使它垂直于平面02zyx（2）求过点)2,1,3(M和直线12304zyx的平面方程（3）求过两平面0223zyx、034zyx交线且与平面012zyx垂直的平面（4）求过点)1,0,2(M和直线32121zyx的平面方程（5）过直线115312zyx且与直线052032zyxzyx垂
27、直（6）过直线223221zyx且与平面0523zyx垂直的平面(7)在过直线13101zyx的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远 13（1）求平行于平面0432zyx且与球面9222zyx相切的平面方程（2）求过两直线03013zxzyx、025205852zyxzyx的平面方程 115（3）求和平面242zyx平行，且距离为 3 的平面（4）求和两直线11311zyx，723125zyx平行且与两直线等距离的平面方程（5）求过点)2,1,0(M，且垂直于平面012zyx与03 zx的平面方程 14（1）求由平面0322zyx和0143yx所构成的二面角的平分面的方程（2）动点与点
28、)0,0,1(的距离等于这点到平面4x的距离的一半，求动点轨迹。15 化直线的一般方程020432zyxzyx为标准方程 16（1）过点)3,5,1(M且与zyx,三轴成000120,45,60的直线（2）过点)2,0,1(M且与两直线11111zyx和01111zyx垂直的直线（3）过点)5,3,2(M且与平面02536zyx垂直的直线 17（1）在平面01zyx内求垂直相交于直线0201zxzy的直线方程（2）求过点)2,0,1(P而与平面0123zyx平行且与直线12341zyx相交的直线方程（3）求通过点)1,0,4(M且与两直线221zyxzyx和4423zyxzyx都相交的直线方程（4）求过点)0,1,2(P而与直线225235zyx垂直相交的直线方程（5）求两异面直线01123zyx和10211zyx的公垂线方程（6）求直线1101zyx与0212zyx之间的距离（7）求与直线137182zyx平行且与下列两直线相交的直线 116 tztytx5332和tztytx74105