弹性力学基础38686.pdf

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1、-.z.弹性力学的根底知识附录 I.1 1 应力-单位面积上作用的内力物体一局部对另一局部的作用力。一般来说，内力是分布力，物体内各点的应力是不同的。为求P点的应力，取出包括P点在内的微小面积A，其上的作用力为T，则P点的应力为 可分解为C面法线方向的正应力和切线方向的切应力 通过 P 点可以做无穷多个面，不同方向的面上应力是不同的。这样就产生了到底如何描绘一点处的应力状态的问题。可以通过该点的三个正交平面上的应力来描述一定处 的应力状态 9 个应力分量用*量ij 表示 注：,xxxyyyzzz jiij，上述应力分量中只有独立的六个应力分量。应力正负号规定：正应力：垃应力正 压应力负-.z.

2、切应力：所在面的外法线与坐标轴正向一致时坐标正方向切应力为正，反之为负；*量：服从一定坐标变换式的九个数定义的量二阶*量 同一个应力状态，一坐标系下的应力*量可通过坐标变换转换为另一坐标系下的*量 利用一点处应力状态的六个应力分量，可以求出通过该点的任一平面上的应力。任意斜面ABC上面力为T，其分量分别为zyxTTT,nml,表示ABC的法线方向的方向余弦 对单位面积ABC nml,代表：1任意斜面的方向余弦，2三个正交平面的面积 由静力平衡条件得到以下关系式：nmlTzyyxyy 1.2 该斜面上的正应力和切应力分别为 这样，用描述一点处应力状态的六个应力分量求出了任一平面的应力。当ABC面

3、无限趋近于P点时，该面上的应力代表通过 P 点的l,m,n面的应力。-.z.主应力 只有正应力而切应力等于零的面叫做主平面，主平面上的正应力叫做主应力。P 点的应力状态，求主平面l,m,n和主应力 设主平面为 ABCnml,，主应力为 对单位面积的 ABC，T=nTmTlTlTzyx,代入式1.2可得 1.3 因1222nml，故nml,不能同为零，即1.3有非零解。存在非零解的条件如下式 这个方程是关于的三次方程，可以解出三个根1，2，3，三个主应力。按大小顺序：第一主应力，第二主应力，第三主应力。1，2，3带入1.3式，可课求出三组l,m,n.一般情况下，存在三个主应力。三个主方向相互正交

4、。球形应力*量和应力偏量 一般情况下*一点处的应力状态可以分解为两局部：各向相等的压或垃应力p和其余局部ijs，-.z.P=mmm000000 P球形*量等静应力分量，ijS称为偏斜应力*量，简称应力偏量。球形*量引起材料的体积变化，应力偏量引起形状变化。平衡方程 物体在外载荷作用下处于平衡时，物体内各点也应处于平衡，即物体内每一点的各应力分量应满足平衡方程。*方向力平衡：0ddddddddyxFxxyyyyxxxyxyxyxxxx 经过整理 0 xyxxFyx 推广到三维问题 2 应变 受力后物体发生位移 位移包含刚体运动和变形-.z.每一点的变形可从该点的 位移u,v,w求出 变形：长度变

5、化和角度变化 设wvu,为形变后弹性体内任一点位移沿zyx,方向的位移分量；几何方程：应变与位移的关系 线应变 正应变：表示长度变化 zwyvxuzyx,切应变剪应变：角度变化 正负号规定：两个正向或负向坐标轴间的直角减小为正 用*量表示：ijzzyzxyzyyxxzxyx 应变协调方程 6 个几何方程，三个位移函数-从应变得不到单值的位移-物质开裂或重叠 为了材料在变形中保持连续性，各应变分量之间应满足一定的关系-应变协调方程-.z.即 yxxyxyyx22222 推广到三维情况：当六个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证单质连续的位移函数 3 本构方程广义虎克定律 三维情况下应力应变关

6、系用广义虎克定理来描述。对于各向同性材料，这 36 个常数中只有两个独立的弹性常数。例如：322331132112332211CCCCCCCCC 等等 广义虎克定律：)(1zyxxE)(1yxzzEGxyxy，Gyzyz，Gzxzx E为正弹性摸量扬氏摸量，G为剪切摸量，为泊松比。三个弹性常数中只有两个是独立的，它们之间服从如下关系。弹性力学问题的提法 以上推出了 15 个方程组：3 个平衡方程 6 个应变协调方程或 6 个几何方程-.z.6 个本构方程广义虎克定律 未知量：15 个：6 个应力分量，6 个应变分量，3 个位移分量 泛定方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普

7、遍规律，而定解条件给出了每一个边值问题的特定规律。弹性体应满足的泛定方程是封闭的方程组，在一定边界条件下可以求解且解是存在的，唯一的，稳定的。1.边界条件 应力边界条件：物体边界上给定面力 位移边界条件：物体边界上给定位移 混合边界条件：一局部边界上给定面力，一局部边界上给定位移 2 弹性力学问题的提法 所谓求解弹性力学问题是，给定作用在物体全部边界的载荷或位移，求解物体内因此而产生的应力、应变场，其应力分量、应变分量和位移分量要满足15 个根本方程泛定方程，并且还要满足给定的全部边界条件。3 解法：位移法，应力法，混合法，逆解法 4 解的存在性，唯一性，稳定性 弹性力学问题的解是存在的，且在

8、小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是存在且唯一的 解的唯一性-.z.假 设 不 唯 一，则 可 能 由 两 组 解，(1)(2),ijij，其 差 为*(1)(2)ijijij*ij带入平衡方程和应变协调方程满足，*ij也是一组解。(1)(2),ijij应满足边界条件，即在边界上 即在给定面力的边界上，有 *0ij 这就是说，*ij对应于一个无面力的自然状态。自然状态下物体内部也无应力，无应变。由此得出，在全部体积内*0ij，即 (1)(2)0ijij,)2()1(ijij解是唯一的！解的稳定性：当外加载荷发生微小变化时，其解只产生微小变化 两个根本原理 5 圣维南原理

9、Saint-Venant 原理 如果作用在弹性体外表*一不大的局部面积上的力系，被另一平衡力系所代替，则载荷的这种重新分布，只在离载荷很近的地方的应力发生显著的变化，在离载荷很远处只有极小的影响 施加于弹性体上的平衡力系，如果作用点限于*个局部，则该平衡力系对远离该局部区的地方所造成的应力是可以忽略 6 叠加原理：iiFT,作用下的应力为ij，在iiFT,作用下的应力为ij，则在iiiiFFTT,作用下的应力为ijij 平面问题 二维问题 物体所受的面力和体力以及其应力都与*一个坐标轴例如 z 轴无关。-.z.1)平面应力问题 很薄的平板，载荷只作用在板边，且平行于板面，即z轴方向面力分量为零

10、。0 xzyzz。因此应力是平面分布的 ijzyyxxyx0000-应变是三维的！2)平面应变问题 板很厚，Z 轴方向很长。外载荷作用在垂直于oz方向且沿z轴均匀分布的一组力。无限厚板，或有限厚、两端受刚性约束。0yzxzz，即应变是平面分布的 ，*应变是平面分布的，但应力非平面分布，处于三向应力状态！三维平衡方程 平面问题的平衡方程为 0yxxyx 应变协调方程为 改为应力表示，并利用平衡方程消去切应力，得 本构方程-.z.1xyyE，Gxyxy，平面应面 )1/(平面 2EEE应力,)1/(6 应力函数 不管是平面应变问题或平面应力问题的求解都可以通过寻找 适 当 的 应 力 函 数 来

11、到 达 目 的。为 此，引 进 应 力 函 数),(yx，使得 22yx，22xy，yxxy2 代入平衡方程可知恒满足，再看应变协调方程 带入应变协调方程，得 展开为 0244222444yyxx 简写为 04),(yx称为应力函数，或称 Airy 应力函数1862 年，上面的方程，称为双调和方程。如),(yx满足双调和方程，由此得出的应力满足平衡方程和应变协调方程-.z.求解平面问题归结为求得应力函数，使其满足双调和方程，由求出的应力满足给定的边界条件。双调和方程有无穷多个通解，因此，直接求解弹性力学问题往往是极其困难-逆解法，半逆解法 平面问题的极坐标表示 平衡方程 几何方程 将r和方向的

12、位移分别记作u和v 本构方程 直角坐标和极坐标应力分量之间的关系 注意不是同一应力的两坐标之间的关系 应力函数应满足的方程协调方程为 各应力分量为 22211rrrr，弹性力学问题求解例子 1 受压圆筒-平面轴对称问题：-物体的几何形状和载荷与坐标 无关，)(r-.z.rrrdd1，22ddr，0r 协调方程 0dd1dd1-dd2dd32223344rrrrrrr常微分方程 通解：DCrrBrrA22lnln 受压圆筒问题 利用边界条件确定常数即可 边界条件：)(,)(brarqbrqar 两个方程，三个未知量 利用位移单值条件：对于高压管，外压通常忽略不计，0bq 0r压应力 0拉应力 2

13、 孔边应力集中问题 板很薄，*方向面力 q.属平面应力问题 假设无孔：单向拉伸 0,0,xyyxq满足边界条件 应力函数 2021qy 满足双调和方程 用极坐标表示 -.z.根据圣维南原理，有孔改变孔附近的应力，离孔很远处应力状态与无孔板一样。采用半逆解法：选择应力函数 代入双调和方程 011222222rrrr 因02cos，且上式应对所有都满足，故 求解常微分方程欧拉方程得到通解，代入 利用应力函数求出个应力分量 利用定解条件确定待定常数 1 r时，应力保持有限值 2 ar 时，0rr 不在圆孔面上 02322 CaC，024672645CaCaC 3 r时应力与)2cos1(4120qr

14、给出的应力一样 由0得 当r时，式3与式1相等，得到 将C3和C7带入式2后求解，得到C2，C5和C6，最终得到-.z.各应力分量 2sin321212cos311212cos34112144224422442222raraqraraqrararaqrr 利用广义虎克定律可求出各应变分量。-我们感兴趣的是孔边应力集中，离孔远处应力与无孔板一样 ar，)2cos21(q，孔边应力集中系数为 3，无孔应力的 3 倍 ar2，q22.1；,3ar,07.1q已几乎没有应力集中。对椭圆孔的近似式 )21()(maxbaq 0bmax)(-裂纹：断裂力学问题！应变能密度 外载荷作用下物体发生弹性变形，外

15、力所做的功转化为 物体的应变能。在单向拉伸条件下 -.z.单位体积应变能应变能密度 上式可推广到一般情况，各应力分量做功均转化为应变能，故 塑性力学问题屈服 本构关系：非线性 屈服条件 在单向拉伸或压缩条件下，屈服条件为 s，0)(f 对于复杂应力状态，屈服条件是该点 6 个独立的应力分量的函数，)(ijf称为屈服函数。表示在一个六维应力空间内的超曲面。应力主轴为坐标轴主向空间：0),(321f 等静应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。屈服函数中只包含应力偏量，即 一、最大剪应力条件 屈雷斯加H.Tresca认为，最大剪应力到达*一数值时材料就发生屈服。即 式中0为材料的剪切屈服应力。对于不同材料的0值要由实验确定。假设321，则)(2131max 在单向拉伸条件屈服时，s1，032，故 2s0 屈服准则：-.z.该准则来自塑性变形由切应力作用下的滑移产生的事实 二、畸变能条件 Mises 准则 畸变能条件认为，与物体中一点的应力状态对应的畸变能到达*一数值时，该点屈服。由畸变能公式有 式中ije为应变偏量，ijs为应力偏量，畸变能条件可写为：屈服条件：22132322212)()()(s 当 Mises 等效应力等于单向拉伸屈服应力时发生屈服。