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1、第一讲 巧数图形 小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗你们是不是做过下面的这种题：图中共有（）个平行四边形 这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗有没有什么巧妙的办法呢现在让我们一起看一下吧。一、数线段 例 1 数出右图中共有多少条线段。方法一：找规律数线段。共有 3216(条)。方法二：分类数线段。共有 3216(条)。例 2数出右面图中共有多少条线段 解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来 第一部分从 A 到 E 共有 432110 条
2、线段 第二部分从 G 到 J 共有 432110 条线段 第三部分是 FG 一条线段 第四部分是 JK 一条线段 10101122(条)例 3一条线段上共有 10 个点，以这 10 个点为端点的不同线段共有多少条 分析：一条线段上有10 个点，那么我们先把线段画出来 因此，共有线段：98321(91)9245(条)总结：1、找规律数线段：一般地，如果线段上有几个点(其中 n 是大于或等于2 的自然数)，那么以这 n 个点为端点的线段共有：(n1)(n2)321n(n1)2；2、分类数线段 练习：下列图形中各有多少条线段（3）二、数角 例 4右面图形中有几个角 分析 方法和数线段相同 练习 （）
3、个角 （）个角 三、数三角形 例 5数出下面图中共有多少个三角形 方法一 数三角形个数的方法与数线段的方法差不多 方法二 我们可以发现，可以抓住底边 BC 来考虑，底边 BC 中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形 底边左端点是 B 的三角形共有BDA、BEA、BCA 三个 底边左端点是 D 的三角形共有DEA、DCA 两个 底边左端点是 E 的三角形只有ECA 一个 所以一共有三角形：3216(个)方法三 我们把图中 ABC、ACD、ADE 看作基本三角形：由 1 个基本三角形构成的三角形有 ABC、ACD、ADE；由 2 个基本三角形构成的三角形有 ABD、ACE；由 3 个基本三角形构
4、成的三角形有 ABE。所以 3216（个）例 6数一数图中共有多少个三角形 思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图 在ABC 中，一共有 5432115(个)三角形，在ABD 中，一共有 5432115(个)三角形；在BDC 中，一共有 5 个三角形所以 1515535(个)例 7图中共有多少个不同的三角形 思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路:横着看，有 3 个基本三角形，所以 1+2+3=6 竖着看，有两行，所以三角形个数为 62=12 个 例 8数出下图中共有多少个三角形 思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数把图中最小的一个三角形看作基本图形
5、由一个基本三角形构成的三角形共有 8 个；由两个基本三角形构成的三角形共有 4 个；由四个基本三角形构成的三角形共有 4 个因此：84416(个)例 9数出下面图形中共有多少个三角形 解析：分类数三角形 由一个基本三角形构成的三角形共有 9 个；由四个基本三角形构成的三角形共有 3 个；由九个基本三角形构成的三角形只有 1 个 因此 93113(个)，所以，图形中共有 13 个三角形 例 10数出下图中共有多少个三角形 思路分析：分类编号 由一块形成的三角形有 4 个；由两块拼成的三角形有 5 个，分别是 ；由三块拼成的三角形有两个，分别为，；由四块拼成的三角形有 1 个，即是；没有由五块拼成
6、的三角形；由六块拼成的三角形有 1 个，即最大的三角形 所以，图中三角形一共有 4521113(个)总结：1、找规律数三角形 2、纵横数三角形 3、分类数三角形 练习：下列图形中各有多少个三角形 （）个三角形 （）个三角形 （）个三角形 （）个三角形 （）个三角形 （）个三角形 四、数四边形 例 11 数出各图中正方形的个数 解析：(1)中最基本的正方形有 9 个(933)；由 4 个基本正方形组成的正方形有 4 个(422)；由 9 个基本正方形组成的正方形有 1 个(111)所以共有正方形 94114(个)(2)中边长为 1 的正方形有 16 个，即 1644；边长为 2 的正方形有 9
7、个，即 933；边长为 3 的正方形有 4 个，即 422；边长为 4 的正方形有 1 个，即 111 所以共有正方形有 1694130(个)例 12 图中共有多少个正方形 解析：将正方形分类，由两块小三角形构成的正方形有 4 个；由四块小三角形构成的正方形有 4 个；由八块小三角形构成的正方形有 1 个；由十六块小三角形构成的正方形有1 个 由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形 所以，图中共有 441110(个)正方形 例 13 数出图中共有多少个正方形 方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：第 1 类：边长为 1 的正方形有 24
8、个；第 2 类：边长为 2 的正方形有 13 个；第 3 类：边长为 3 的正方形有 4 个；第 4 类：边长为 4 的正方形有 1 个 所以图中共有 24134142(个)正方形 方法二：如果把四条边长多出的 8 个小正方形去掉，很容易得出共有 1122334430(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这 8 个小正方形还能再和其他图形组成 4 个新的正方形 所以，图中共有 308442(个)正方形 例 14：在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个 解析：按包含的小块分类计数。包含 1 小块的有 1 个；包含 2 小块的有 4 个；包含 3 小块的有 4 个；包含 4 小块的有 7
9、 个；包含 5 小块的有 2 个；包含 6 小块的有 6 个；包含 8 小块的有 4 个；包含 9 小块的有 3 个；包含 10 小块的有 2 个；包含 12 小块的有 4 个；包含 15 小块的有 2 个。所以共有 14472643242=39(个)。例题 15 如下图，平面上有 12 个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个 分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：（1）最小的正方形有 6 个；（2）由 4 个小正方形组合而成的正方形有 2 个；（3）中间还可围成 2 个正方形。所以共有 622=10 个。例 16 下面两幅图中各有多少个长方形 思路
10、分析：(1)找规律数长方形。所以，图中长方形共有 432110(个)(2)纵横数长方形 横着看有三排，3+2+1=6 竖着看有两行，1+2=3.所以，图中共有长方形 6318(个)例 17 下图中共有多少个长方形 思路分析：分类数长方形 我们可以先将大长方形中的 5 小块编上号：这 5 块都是符合要求的长方形 由两小块拼成的长方形，共有 4 个，即，；由三小块拼成的长方形，共有 2 个，即，；没有由四小块拼成的长方形；由 5 小块拼成的长方形只有最大的一个 所以，图中共有 542112(个)长方形 例 18 练习 1，数一数 （）个正方形 （）个长方形 （）个平行四边形 2.下列图形中各有多少个长方形 3.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个