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1、 1 2021 一模真题汇编 上海(高三数学)学员姓名：_ 年 级：_ 校 区：_ 精锐教育 高端辅导教学发展中心 数学课程教辅研究开发中心 编著 2 一、2020-2021 学年高三数学一模卷汇编 1.函数 一、填空题：【虹口 02】方程2220 xx+=的根是 【普陀 02】函数2yx=（0 x）的反函数为 【青浦 02】函数2xy=的反函数是 【奉贤 03】若实数x、y满足0120 xyxy，则zxy=+的最大值为 【闵行 03】若函数()21xf x=+的图像与()g x的图像关于直线yx=对称，则(9)g=【崇明 04】设函数()11f xx=+的反函数为()1fx，则()12f=【
2、虹口 04】函数()()2log24f xx=+的反函数为()1yfx=，则()14f=【金山 04】若函数2log()1yxm=+的反函数的图像经过点(1,3)，则实数m=【宝山 06】若实数x、y满足02030 xxyxy+，则2zxy=+的最大值为 【嘉定06】设函数()()121xf xaa+=的反函数为()1yfx=，若()121f=，()2f=【松江 06】已知函数()f x图像与函数()2xg x=的图像关于yx=对称，则(3)f=【长宁 06】若函数()yf x=的反函数()()1log0,1afxx aa=图像经过点3(8,)2，则1()2f 的值为 3 【崇明 07】若关于
3、,x y的方程组46132xyaxy+=无解，则实数a=_【浦东 07】函数2()1 logf xx=+(4)x 的反函数的定义域为_ 【青浦 07】我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和()*,da b c dNc，则bdac+是x的更为精确的近似值，已知15722507，试以上述的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为_【杨浦 08】()f x是偶函数,当0 x 时,()21xf x=,则不等式()1f x 的解集为_【宝山 09】已知函数()f
4、x的周期为 2，且当01x时，4()logf xx=，那么9()2f=_ 【杨浦 09】方程2221 loglog(3)xx+=的解为_【闵行 10】已知nN，2n，函数2333nnyxnn=+的图像与y轴相交于点nA、与函数1log(4)nyx=的图像相交于点nB，nnOA B的面积为nS（O为坐标原点），则limnnS=【松江 10】从以下七个函数:yx=,1yx=,2yx=,2xy=,2logyx=,sinyx=,cosyx=中选取两个函数记为()f x和()g x，构成函数()()()F xf xg x=+，若()F x的图像如图所示，则()F x=_ 4 【崇明 11】已知函数()y
5、f x=，对任意xR，都有()()2f xf xk+=（k 为常数），且当0,2x时，()21f xx=+，则()2021f=_【浦东 11】设函数()2f xxaax=+，若关于x的方程()1=xf有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为_【徐汇 11】已知函数()f xaxb=+（其中a、bR）满足：对任意的0,1x，有|()|1f x，则(21)(21)ab+的最小值是 【宝山 12】若定义在N上的函数()f x、()g x满足：存在0 x N，使得成立00()()f xg x，则称()f x与()g x在N上具有性质(,)P f g，设函数1()2xaf x=与3()g x
6、x=，其中0a，已知()f x与()g x在N上不具有性质(,)P f g，将a的最小值记为0a，设有穷数列 nb满足11b=，11nnbb+=+（*nN，0504 na），这里0a表示不超过0a的最大整数，若去掉 nb中的一项tb后，剩下的所有项之和恰可表示为2m（*mN），则tbm+=_ 【嘉定 12】已知函数()3f xx xax=+，若存在 3,4a，使得关于x的方程()()f xtf a=有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是_【金山12】若()|1|2|2020|1|2|2020|f xxxxxxx=+，xR，且2(32)(1)f aaf a+=，则满足条件的所有整数a的和是
7、_ 【闵行 12】已知函数1()|f xxx=+，给出下列命题：5 存在实数a，使得函数()()yf xf xa=+为奇函数；对任意实数a，均存在实数m，使得函数()()yf xf xa=+关于xm=对称；若对任意非零实数a，()()f xf xak+都成立，则实数k的取值范围为(,4；存在实数k，使得函数()()yf xf xak=+对任意非零实数a均存在 6 个零点；其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）【浦东 12】对于任意的正实数a，b，则222 2953aabab+的取值范围为_【普陀 12】设b、c均为实数，若函数()bf xxcx=+在区间1,)+上有零点，则22bc+的取值范
8、围是 【松江 12】对于定义域为D的函数()f x，若存在12,x xD且12xx，使得221212()()2()f xf xf xx=+，则称函数()f x具有性质M_若函数2()log1g xx=(0,xa具有性质M，则实数a的最小值为 _【杨浦 12】已知函数()yf x=在定义域R上是单调函数,值域为(,0),满足1(1)3f=,且对于任意,x yR,都有()()()f xyf x f y+=.()yf x=的反函数为1()yfx=,若将()ykf x=(其中常数0k)的反函数的图像向上平移 1 个单位,将得到函数1()yfx=的图像,则实数 k 的值为_【奉贤 12】已知()yf x
9、=是奇函数，定义域为 1,1，当0 x 时，211()|()|12xf xx=（0，Q），当函数()()g xf xt=有 3 个零点时，则实数t的取值范围是 二、选择题：【闵行 14】若lg2a=，lg3b=，则5log 12等于（）A.21aba+B.21a ba+C.21aba+D.21a ba 6 【杨浦 14】下列函数中，值域为()0,+的是（）A.2=yx B.2=yx C.2xy=D.2log=yx【崇明 16】设函数()yf x=的定义域是 R，对于下列四个命题：（1）若函数()yf x=是奇函数，则函数()()yff x=是奇函数；（2）若函数()yf x=是周期函数，则函数
10、()()yff x=是周期函数；（3）若函数()yf x=是单调减函数，则函数()()yff x=是单调减函数；（4）若函数()yf x=存在反函数()1yfx=，且函数()()1yf xfx=有零点，则函数()yf xx=也有零点。其中正确的命题共有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【奉贤 16】黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家伯恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义黎曼函数()R x为：当qxp=（p、q为正整数，qp是既约真分数）时1()R xp=，当0 x=或1x=或x为0,1上的无理数时()0R x=，已知a、b、ab+都是区间0,1内的实
11、数，则下列不等式一定正确的是（）A.()()()R abR aR b+B.()()()R a bR aR b C.()()()R abR aR b+D.()()()R a bR aR b【浦东 16】已知函数2,()(),()为无理数 为有理数 xxf xxx=，则以下 4 个命题：()f x是偶函数；()f x在)0,+上是增函数；7 ()f x的值域为R；对于任意的正有理数a，()()g xf xa=存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（）A0 B.1 C.2 D.3【青浦 16】设函数(),1,xxPf xxMx=，其中 P,M 是实数集 R 的两个非空子集，又规定()()()()|,|
12、,A Py yf xxPA My yf xxM=，则下列说法：（1）一定有()()A PA M=；（2）若PMR，则()()A PA MR；（3）一定有PM=；（4）若PMR=，则()()A PA MR=.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【长宁 16】设()1232f xxbkxbxb=+，其中常数0k，123,b b b R.若函数()yfx=的图像如图所示，则数组()123,b b b的一组值可以是（）.A.()3,1,1；B.()1,2,1；C.()1,2,2；D.()1,3,1.8 三、解答题：【奉贤 18】在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v（单位：/m s）和
13、燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足2000(1)vMem=+（e为自然对数的底）.（1）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的两倍时，求火箭的最大速度；（单位：/m s，结果精确到 0.1）（2）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8000/m s.（结果精确到 0.1）【宝山 18】已知函数()1mf xxx=+（m R）.（1）当1m=时，解不等式()1(1)f xf x+；（2）设3,4x，且函数()3yf x=+存在零点，求实数m的取值范围.9 【虹口 18】已知函数()()()()22111fxaxaxa=+，其中
14、aR.（1）当()f x是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数()f x在)2,+上单调递增时，求实数a的取值范围.【青浦 18】设函数()2f xxxa=+，a为常数.（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设()()(0,0,f xag xxax=为减函数，求实数a的取值范围.10 【崇明 19】研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.当0,16x时，曲线是二次函数图像的一部分：当16,40 x时，曲线是函数()0.8logyxa=+图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68 时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求
15、函数()yf x=的解析式；（2）在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长?（精确到 1 分钟）11 【嘉定 19】提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：()50,02060,20120140 xvkRkxx=.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足yx v=，求隧道内车流量的最
16、大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度.12 【金山 19】已知定义域为R的函数12()12xxf x=+.(1)试判断函数12()12xxf x=+在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)若对于任意tR，不等式22(2)()0f ttf tk+恒成立，求实数k的取值范围.13 【闵行 19】大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式，比如(,)iiiA a b（1,2,3,in=）是平面直角坐标系上的一系列点，其中n是不小于 2 的正整数，用函数()yf x=来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列(,)i
17、iiA a b比较接近，其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()yf x=的拟合误差为：22211221()()()()nnf xf abf abf abn=+.已知在平面直角坐标系上，有 5 个点的坐标数据如下表所示：x 1 2 3 4 5 y 2.2 1 2 4.6 7（1）若用函数21()45f xxx=+来拟合上述表格中的数据，求1()f x；（2）若用函数|2|2()2xfxm=+来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差2()fx的最小值，并求出此时的函数解析式2()yfx=；指出用1()f x、2()fx中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？
18、14 【浦东 19】勤俭节约是中华民族的传统美德_为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,12)n n=个月对某种食材的需求总量nS（公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)nnnSnnn=+.为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n个月的进货总量须不低于前n个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前 7 个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p的最小值.15 【松江 19】某网店有 3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件).经市场调查测
19、算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为31kxt=+（其中k为常数），如果不搞促销活动，只能售出 1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件),促销费t至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为 32(元/件),另有固定成本 3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?16 【杨浦 19】某校运会上无人机飞行表演，在水平距离24,10 x（单位：米）内的飞行轨
20、迹如图所示，y表示飞行高度（单位：米）.其中当02 ,01x时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为QM、），当24,02x时，轨迹为线段QN，经测量，起点()42 ,01M，终点()24,42N，最低点()8 ,41P.（1）求y关于x的函数解析式；（2）在()42 ,0A处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到1.0）QoyxPNMA 17 【徐汇 20】设()x表示不小于x的最小整数，例如：(0.3)1=，(2.5)2=.（1）解方程：(1)3x=；（2）设()()f xxx=，*nN，试分别求出()f x在区间(0,1、(1,2以及(2,3上的值域，若()
21、f x在区间(0,n上的值域为nM，求集合nM中的元素的个数；（3）设实数0a，()()2xg xxax=+，2sin2()57xh xxx+=+，若对于任意21,(2,4x x 都有21()()g xh x，求实数a的取值范围.18 【长宁 20】设()()322f xxaxx x=+R，其中常数aR.（1）判断函数()yf x=的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()332f xx在区间1,12上有解，求实数a的取值范围；（3）已知：若对函数()yh x=定义域内的任意x，都有()()22h xhmxn+=，则函数()yh x=的图像有对称中心(),m n.利用以上结论探究：对于任意的实数
22、a，函数()yf x=是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a表示)；若不是，证明你的结论.19 【浦东 21】已知函数()f x的定义域是D，若对于任意的12,x xD，当12xx时，都有12()()f xf x，则称函数()f x在D上为非减函数。（1）判断21()4,(1,4)f xxxx=与2()12,(1,4)fxxxx=+是否是非减函数?（2）已知函数1()22xxag x=+在2,4上为非减函数，求实数a的取值范围.（3）已知函数()h x在0,1上为非减函数，且满足条件：(0)0h=，1()()32xhh x=，(1)1()hxh x=，求1()2020h的值.20 【
23、普陀 21】已知函数220()log0 xxf xxx=.（1）解不等式()0 x f x；（2）设k、m均为实数，当(,xm 时，()f x的最大值为 1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式2()(2)310f xmkmk+恒成立，求k的取值范围；（3）设t为实数，若关于x的方程2()log()0f f xtx=恰有两个不相等的实数根1x、2x且12xx，试将1221212log2|1|1|xxxx+表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域.21 二、参考答案 1.函数 一、填空题【虹口 02】1 i 【普陀 02】1()fxx=(0)x 【青浦 02】2logyx=【奉贤
24、 03】3 【闵行 03】3 【崇明 04】12 【虹口 04】6【金山 04】2 【宝山 06】4 【嘉定 06】6 【松江 06】2log 3【长宁 06】12 【崇明 07】2 【浦东 07】3,)+【青浦 07】20164 【杨浦 08】()(),11,+【宝山 09】12 【杨浦 09】3x=【闵行 10】6 【松江 10】2cosxx+【崇明 11】2 【浦东 11】2 21 2 21,222+22 【徐汇 11】9 【宝山 12】3103【嘉定 12】49(1,)48【金山 12】6【闵行 12】【浦东 12】2,1)2【普陀 12】1,)2+【松江 12】2 22+【杨浦 12
25、】3【奉贤 12】11(1,0,1)22 二、选择题 【闵行 14】C 【杨浦 14】C【崇明 16】B【奉贤 16】B【浦东 16】B【青浦 16】B【长宁 16】A 三、解答题【奉贤 18】（1）2197.2；（2）53.6.【宝山 18】（1）(,0)(1,)+；（2）21,12.【虹口 18】（1）1a=（2）35a 【青浦 18】（1）0 （2）01a【崇明 19】（1）()()()2800.811284,0164log0.816,1640 xxyf xxx+=+（2）14 分钟 23 【嘉定 19】（1）080 x；（2）隧道内车流量的最大值约为 3250 辆/小时，此时车流密度约
26、为 87 辆/千米.【金山 19】（1）单调递减；（2）1,2 【闵行 19】（1）4625；（2）22()0.080.28fxmm=+，0.04m=时，取最小值174625，|2|2()20.04xfx=；1744662525，选2()fx.【浦东 19】（1）够用；（2）652.2公斤.【松江 19】（1）19t（2）当促销费为 7 万元时，网店利润的最大为 42 万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).【杨浦 19】（1）()(2148,10,205144,20,24xxyxx+=+；（2）94.4【徐汇 20】（1）(3,4x；（2）当(0,1x时，值域为1；当(1,2x时，值域为3,4；当(2,3x时，值域为7,8,9；集合nM中的元素的个数为(1)2nn+个；（3）3a.【长宁 20】（1）()xf既不是奇函数也不是偶函数.（2）5(,)2+（3）函数()yf x=有对称中心322(,)3273aaa+【浦东 21】（1）1()f x不是，2()fx是；（2）8a；（3）1128.【普陀 21】（1）(,1；（2）4k；（3）1ytt=+，(1,3t.