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1、第二章 基本定理 2.1 常微分方程的几何解释 一、教学目的与要求：（1）理解并掌握线素场的概念以及一阶显式方程),(yxfdxdy 的线素场与它的积分曲线的关系.（2）理解并掌握欧拉折线法和初值问题解的存在性定理.二、教学重点，难点：（1）线素场的概念以及一阶显式方程),(yxfdxdy 的线素场与它的积分曲线的关系.（2）欧拉折线法和初值问题解的存在性定理.2.1.1 线素场 我们在 1.1 节已经给出了微分方程及其解的定义.本节将就一阶显式方程 ),(yxfdxdy (1.9)给出这些定义的几何解释.由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征.首
2、先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数),(yxf在区域G内有定义(图 2-1),即对G内任意一点),(yx，都存在确定值),(yxf.以点),(yx为中点，作一单位线段，使其斜率恰为),(yxfk，称为在),(yx的线素.于是在G内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G上确定了一个线素场.图 2-1 例 1 试讨论方程 xydxdy 所确定的线素场.解 右端函数除 oy 轴以外的左右两个半平面处处有定义，因而方程在这两个半平面上都确定了线素场.易于看出这个线素场在点),(yx的线素与过原点),(yx和点),(yx的射线重合(图 2-2).图 2-2 例 2 考虑方
3、程 yxdxdy 所确定的线素场.解 右端函数除了 ox 轴以外的上下两个半平面上都有定义，方程在每一点),(yx所确定的线素都与原点到该点的射线垂直(图 2-3).图 2-3 s 在例 1 中，右端函数xy在y轴上无定义(变为无限).在例 2 中，右端函数xy在x轴上无定义(变为无限).为了进行弥补，一般的，当方程 ),(yxfdxdy （1.9）的右端函数),(yxf在某些点取无限值时，我们同时考虑方程 ),(),(11yxfyxfdydx (1.9)易见，在),(yxf取无限值的点，0),(1yxf.于是,可以说线素场在这些点平行于 oy 轴.例如，在例 1 中，同时考虑方程xydxdy
4、 及 yxdydx.在例 2 中，同时考虑方程yxdxdy 及 xydydx.这样，这两个方程，除点(0,0)外，都在全平面上确定了线素场.下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系.前面，我们已经把(1.9)的解)(xy的图象称为(1.9)的积分曲线.现在有如下定理.定理 2.1 曲线 L 为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在 L 上任一点，L 的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即 L 在每点均与线素场的线素相切.证明 必要性.设L为(2.1)的积分曲线,其方程为)(xy,则函数)(xy为(2.1)的一个解.于是,在其有定义的区间上有)(,()(xxfx,其左端为
5、曲线L在点)(,(xx的切线的斜率,右端恰为方程(2.1)的线素场在同一点)(,(xx处的线素的斜率.从而,曲线L在点)(,(xx的切线与线素场在该点线素重合.又因上式为恒等式,这就说明沿着整个曲线L都是这样.充分性.设方程为)(xy的曲线L,在其上任一点)(,(xx处,它的切线方向都与方程(2.1)的线素场的线素方向重合,则切线的斜率与线素的斜率应当相等.于是,在函数)(xy有定义的区间上,有恒等式)(,()(xxfx.这个等式恰好说明函数)(xy为方程(2.1)的解.从而曲线L为方程的积分曲线.这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切.或者直观地说成积
6、分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线.2.1.2 欧拉折线 在这一段里,我们利用线素场的概念简略地介绍一下欧拉折线法.以下假定函数),(yxf在区域:bxa,y上连续且有界,于是),(yxf在这个区域上确定了一个线素场.为了求初值问题 00)(),(yxyyxfdxdy (2.2)在区间,0bx上的近似解)(xyy,就是要在由),(yxf所确定的线素场中,求出经过点),(00yx的近似积分曲线(图 2-4).为此,把区间,0bxn等分,其分点为:,0khxxk nk,1,0,nxbh0,bxn.先求出),(00yxf.因为积分曲线在点),(00yx的斜率应为),(00yxf,于是用经过点
7、),(00yx而斜率为),(00yxf的直线段来近似积分曲线,其方程为)(,(0000 xxyxfyy.求出直线上横坐标为的点的纵坐标:)(,(010001xxyxfyyhyxfy),(000 如果h很小,则)(11xyy.从而点),(11yx就很接近积分曲线上的点)(,(11xyx.如果),(yxf连续,则),(11yxf就近似于)(,(11xyxf.于是由点),(11yx出发的斜率为),(11yxf的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为)(,(1111xxyxfyy.求出这直线段上横坐标为2x的点的纵坐标2y:)(,(121112xxyxfyyhyxfy),(111 依此类推,可以求出方程
8、(2.1)过点),(00yx的积分曲线在各分点的近似值 hyxfyykkkk),(111,nk,2,1 由于各近似直线段的方程为已知,所以对区间,0bx的任一点x,都可以求得解)(xyy 的近似值.这样求得的积分曲线的近似折线称为欧拉折线.可以证明,在一定条件下,当n无限增大而0h时,欧拉折线趋近于方程的积分曲线.欧拉折线法是利用“离散化”的方法来求初值问题解的近似值.这方面的研究工作是计算方法中微分方程数值解的计算理论.2.1.3 初值问题解的存在性 设函数),(yxf定义在平面区域G中,点Gyx),(00,考虑微分方程),(yxfdxdy (2.1)的初值问题 00)(),(yxyyxfd
9、xdy (2.2)关于初值问题解的存在性,我们在此不加证明的给出如下的经典结果.佩亚诺定理 如果),(yxf在区域G上连续,Gyx),(00,则初值问题(2.1)存在定义在点0 x的某一邻域中的解.)(xyy.也就是说,方程右端函数的连续性保证初值解的存在性.如果除了初值解的存在性,我们还希望保证解的唯一性,我们有理论上经常用到的解的存在唯一性定理.在下一节,我们将给出并证明这个重要的定理.思考题：1.何谓线素场?如何画线素场?2.一阶显式方程),(yxfdxdy所确定的线素场与它的积分曲线有何关系?3.何谓欧拉折线法?4.何谓初值问题解的存在性定理?2.2 解的存在唯一性定理 一、教学目的与
10、要求：（1）一阶微分方程的解的存在与唯一性定理.（2）熟练掌握 Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在性，会用 Picard 逼近法求近似解.（3）用贝尔曼(Bellman)不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性.二、教学重点，难点：（1）Picard存在唯一性定理及其存在性的证明.（2）逐次逼近分析法的应用及其思想.（3）用贝尔曼(Bellman)不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性.（4）由定理 2.2 知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件,可以举例说明它不是保证初值问题解存在唯一的必要条件.本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 ),(yxfdxdy
11、(2.1)的初值问题 00)(),(yxyyxfdxdy (2.2)的解的存在与唯一性定理.2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述 定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数),(yxf在闭矩形域 byybyaxxaxR0000,:上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点),(yx和),(yx有不等式：yyNyxfyxf),(),(则初值问题(2.2)在区间0000hxxhx上存在唯一解)(xy，00)(yx,其中),(max),min(),(0yxfMMbahRyx.在证明定理之前，我们
12、先对定理的条件与结论作些说明:1.在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数),(yxf在闭矩形域R上关于y的偏导数),(yxfy存在并有界，Nyxfy|),(|.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 yyNyyxfyxfyxfy),(),(),(其中满足yy，从而Rx),(.如果),(yxfy在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.2.现对定理中的数0h做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图 2-5 所示的情况.这时，过点),(00yx的积 图 2-5 分曲线)(xy当1xx 或2xx 时，
13、其中),(001axxx，),(002xaxx，到达R的上边界byy0或下边界 byy0.于是，当1xx 或2xx 时，曲线)(xy便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间axxax00上存在.但是，由 2.1 节的常微分方程的几何解释可知，定理 2.1 就是要证明：在线素场R中，存在唯一一条过点),(00yx的积分曲线)(xy.它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切.现在定理假定),(yxf在R上连续,从而存在 (,)max(,)x yRMf x y 于是，如果从点),(00yx引两条斜率分别等于M和M的直线，则积分曲线)(xy(如果存在的话)必被限制在图 2-6 的
14、带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 ),min(0Mbah 则过点),(00yx的积分曲线)(xy(如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中.图 2-6 2.2.2 存在性的证明 求解初值问题（2.2）的解)(xy,0000hxxhx,等价于求解积分方程 xxdyfyy0),(0 （2.3）在区间0000hxxhx 上的连续解.事实上，若)(xy为（2.2）的解，则：00)()(,()(yxxxfdxxd (2.4)对第一式从0 x到 x 取定积分可得 dfyxxx0)(,()(0 (2.5)反之，若)(xy为（2.3）的连续解，则有 dfyxxx0)(,()(0 由于对 f(x,y)
15、在 R 上连续，从而)(,(xxf连续故对上两式两边求导得)(,()(xxfdxxd 且000)(,()(0ydxxxfyxxx即yx)(为（2.2）的连续解.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在0000hxxhx上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似函数序列.00)(yx dyfyxxx),()(0001 (2.4)xxdfyx0)(,()(102 (2.5)xxnndfyx0)(,()(10 (2.6)近似序列)(xn的每一项都在,0000hxhx上有定义,这是因为Mbh 0,于是 bMhx
16、xMdfxxx0010)(,(这样，我们在区间,0000hxhx上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列),(,),(),(21xxxn 2.证明近似序列)(xn在区间0000hxxhx上一致收敛（序列.为此考虑函数项级数：110)()()(nkkxxx （2.7）它前几项和为 )()()()()(1101xxxxxsnnkkkn 于是)(xn 一致收敛性等价于级数(2.7）的一致收敛性，我们对级数（2.7）的通项进行诂计 2000101120001|!2|)()(|)(,()(,(|)()(|)(,(|)()(|0000 xxMNdxMNdNdffxxxxMdfxxxxxxxxxx
17、假设对正整数 n 有不等式 nnnnxxnMNxx|!|)()(|011 则当0000hxxhx时，由 Lipsthits条件有 100111|)!1(|!|)()(|)(,()(,(|)()(|000nnnxxnxxnnnxxnnnxxnMNdxnMNdNdffxx 于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数 n 有 nnnnxxnMNxx|!|)()(|011 0000hxxhx （2.8）从而当00hxx时 nnnnhnMNxx011!|)()(|由于正级数101!nnnhnMN收敛，由 weierstrass判别法知，级数（2.7）在,0000hxhx一致收敛，因而)(xn 在,0000h
18、xhx上一致收敛.现设)()(limxxnn，0000hxxhx则由)(xn连续性和一致收敛性得)(x在,0000hxhx上连续且byx|)(|0.3.证明)(lim)(xxnn是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在 n 次近似序列（2.6）两端取极限有 xxnnxxnnnndfydfyx00)(,(lim)(,(lim)(lim1010 即 xxndfyx0)(,()(0 这表明.)(x是积分方程(3.5)在,00hxx的连续解.2.2.3 唯一性的证明 下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式.贝尔曼引理 设
19、)(xy为区间,ba上非负的连续函数，bxa0.若存在0,0k使得)(xy满足不等式 xxdttykxy0)()(,bax (2.9)则有0)(xxkexy,bax 证明 先证明0 xx 的情形.令xxdttyxR0)()(，于是从(2,9)式立即有 )()(xkRxR 上式两端同乘以因子)(0 xxke,则有 )()(00)(xxkxxkeexRdxd 上式两端从 x0到 x 积分，则有 )()(00)(xxkxxkeexkR 即 )(0)(xxkexkR 由(2.9)知，)()(xkxy,从而由上式得到 )(0)(xxkexy,0 xx 0 xx 的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3
20、)解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解)(1xy之外，还另外有解)(2xy，我们下面要证明：在 00hxx上，必有)()(21xyxy.事实上，因为 dttytfyxyxx)(,()(0101 及 dttytfyxyxx)(,()(0202 将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有 xxxxdttytyNdttytftytfxyxy00)()()(,()(,()()(212121 令Nkxyxyxy,0,)()()(21,从而由贝尔曼引理可知，在00hxx上有0)(xy，即).()(21xyxy 至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.2.2.4 二点说
21、明 为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明.1.存在唯一性定理不仅保证了初值解的存在性和唯一性，并且给出求方程近似解的一种方法Picrcl逐步逼近法.在区间00hxx上,当用n次近似解来逼近精确解时,不难估计它的误差.事实上,有 101!)()()()(nkkknkkknkxxNNMxxxx 这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数)(xn.2.如果方程(2.1)是线性方程，即 )()(xqyxpdxdy 其中 p(x)和 q(x)在区间,ba上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于 y 满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理 2.2 中的方法，可
22、以证明对任意初始值),(00yx,0bax,),(0y.线性方程满足00)(yxy的解在整个区间,ba上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6)dqpyxxxnn0)()()()(10 在区间,ba上存在且连续即可.由定理 2.2 知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.例 1 试证方程 0,ln0,0yyyydxdy当当 经过 xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 右端函数除 x轴外的上、下平面都满足定理 2.2 的条件，因此对于Ox轴外任何点),(00yx，该方程满足00)(yxy的解都存在且唯一.于是，
23、只有对于Ox轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.我们注意到 y=0 为方程的解.当 y 0 时，因为 yydxdyln 故可得通解为 xCeey xCeey 为上半平面的通解,xCeey为下半平面的通解.这些解不可能 y=0 相交.因此，对于 Ox轴上的点)0,(0 x，只有 y=0 通过，从而保证了初值解的唯一性.但是，yyyyxfyxflnln)0,(),(因为yylnlim0,故不可能存在0N,使得 yNxfyxf)0,(),(从而方程右端函数在 y=0 的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性
24、，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数 f(x,y)在 R 上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的.例 2 讨论方程 323ydxdy 解的唯一性.解 方程的右端函数323),(yyxf,在全平面连续，当0y时，用分离变量法可求得通解 3)(Cxy，C 为任意常数.又 y=0 也是方程的一个特解，积分曲线如图 2-7.图 2-7 从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过 x 轴上任一点)0,(0 x的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为)(xyy，它可表为：对任意满足bxa0的
25、a 和 b.bxbxbxaaxaxxy当当当33)(0)()(思考题：(1)何为毕卡(Picard)逐次逼近序列和毕卡(Picard)近似解?如何构造毕卡(Picard)逐次逼近序列?(2)定理 2.2 的条件和结论是什么?如何用毕卡(Picard)逐次逼近法证明一阶微分方程初值问题00)(),(yxyyxfdxdy 解的存在性?(3)为什么选取0min(,)bhaM?(4)何谓贝尔曼(Bellman)不等式？怎样证明贝尔曼(Bellman)不等式？如何用贝尔曼(Bellman)不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性？(5)第 n 次近似解与精确解之间的误差估计式是什么?怎样进行误差估计?(
26、6)由定理 2.2 知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件,那么这个条件是否是必要的呢?为什么？2.3 解的延展 一、教学目的与要求：（1）掌握解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解的存在区间.（2）掌握第一、二比较定理的内容和作用.（3）理解并掌握在解决解的延展性问题时,将延展定理和比较定理配合使用的技巧.二、教学重点，难点：（1）解的延拓定理条件及其证明.（2）应用解的延拓定理讨论解的存在区间.（3）在解决解的延展性问题时,如何将延展定理和比较定理配合使用.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的
27、.通常方程(2.1)的右端函数),(yxf存在区域D可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.2.3.1 延展解、不可延展解的定义 定义 2.1 设)(1xy是初值问题（2.2）在区间RI 1上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间RI 2上的解)(2xy，且满足 (1)21II (2)当1Ix时，)()(21xx 则称解)(1xy,1Ix是可延展的，并称)(2x是)(1x在2I上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解)(2x，则称)(1x,1Ix是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间1I和2I可以是开的也可以是闭的.
28、2.3.2 不可延展解的存在性 定义 2.2 设),(yxf定义在开区域2RD 上，如果对于 D 上任一点),(00yx，都存在以),(00yx为中心的，完全属于 D 的闭矩形域 R，使得在 R 上),(yxf的关于 y 满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域 R 的大小以及常数 N 可以不同，则称),(yxf在 D 上关于 y 满足局部李普希兹条件.结论:如果方程(2.1)的右端函数),(yxf在区域2RD 上连续，且对 y 满足局部李普希兹条件，则对任何Dyx),(00，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路：仅证0 xx 方向，（0 xx 方向同理）任取点2.2000),(定
29、理Dyxp存在唯一解)(0 xy在,)1(000 xxI =,000hxx上有定义 又点2.2)1(0)1(01),(定理Dyxp存在唯一解)(1xy在,)2(001xxI=,1000hhxx上有定义 图 28 由解的唯一性，在 I0和 I1的公共部分上，)()(10 xx)()(01xx是的一个延展解 继续这种延展过程，直到一个解)(xy,),(x，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解，),(就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明 显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间.因为如果区间右端点是闭的，那么解)(xy的曲线可以达到.于是点D)(,(，由
30、定理 2.2，可将)(xy延展到的右方，这与)(xy,),(x是不可延展解矛盾.同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3 不可延展解的性质 定理 2.3 如果方程(2.1)的右端函数),(yxf在区域2RD 中连续,且对y满足局部Lipschitz条件,那么对任何一点Dyx),(00,初值问题(2.1)的以(00,yx)为初值的解)(xy可以向左右延展,直到点)(,(xx任意接近区域D的边界.在证明之前,先对“)(,(xx任意接近区域D的边界”的含义解释一下.这句话是说:当区域D有界时,积分曲线向左右延展可以任意接近区域D的边界,当区域D无界时,积分曲线向左右延展,或者任意接近D的边界(
31、如果有的话),或者无限远离.证明 先证区域D有界的情况.设区域D的边界为DDL(的闭包为DD).对于任意给定的正数,记L的邻域为U.于是,集合2/2/UDD为一闭集.易知DD2/,且2/D有界.(图)只要能够证明曲线)(xy可以到达2/D的边界2/L,由0的任意性,也就证明了积分曲线)(xy可以任意接近D的边界L了.事实上,以2/D中的任意一点为中心,以4/为半径的闭圆域均在区域D之内.且在闭区域4/4/UDD之内.从而,以2/D中的任意一点为中心,以4/21a为边长的正方形也应该在4/D之内,记),(max4/),(1yxfMDyx 则过2/D的任意一点),(*yx的积分曲线,必至少可在区间
32、hxx*上存在,其中)82,82min(),min(1111MMaah 于是,过点),(00yx的积分曲线)(xy每向右或向左延展一次,其存在区间就伸长一个确定的正数h,由于2/D有界,)(xy经过有限次延展后一定可以达到2/D的边界2/L,于是命题得证.其次考虑区域D为无界的情况.这时我们考虑D与闭圆域 222:nyxSn,2,1n 的交集nnnDSDD的边界上的点,或者是D的边界上的点,或者是nS圆周上的点.同时有nnDD1.根据前面的认证,过nD内任一点的积分曲线能够任意接近nD的边界.于是,过点),(00yx的积分曲线)(xy,或者保持在某个圆域nS之内延展而无限接近D的边界,或者可以
33、越出任意大的圆域nS而无限远离.定理证毕.例 1 试讨论方程2ydxdy通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解 此时区域 D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是 xCy1 故通过(1,1)的积分曲线为 xy21 它向左可无限延展，而当 x 2-0 时，y+,所以，其存在区间为(-,2)，参看图 2-10.图 2-10 通过(3,-1)的积分曲线为 xy21 它向左不能无限延展，因为当 x 2+0 时，y-,所以其存在区间为(2,+).顺便指出：这个方程只有解 y=0 可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管),(yxf在整个平面满足延展
34、定理条件，解上的点能任意接近区域 D 的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例 2 讨论方程 xxdxdy1cos12 解的存在区间.解 方程右端函数在无界区域,0),(1yxyxD内连续，且对 y 满足李普希兹条件，其通解为 xCxy0,1sin 过 D内任一点),(00yx的初值解.图 2-11 001sin1sinxyxy 在(0,+)上有定义，且当 x 0 时，该积分曲线上的点无限接近 D的边界线 x=0，但不趋向其上任一点(图 2-11).在区域内的讨论是,0),(2yxyxD类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的
35、例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例 3 考虑方程),()(22yxfaydxdy 假设),(yxf及),(yxf 在 xoy平面上连续，试证明：对于任意0 x及ay0,方程满足00)(yxy的解都在(-,+)上存在.图 2-12 证明 根据题设，可以证明方程右端函数在整个 xoy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，ay为方程在(-,+)上的解.由延展定理可知，满足000,)(xyxy任意，ay0的解)(xyy 上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，)(xyy 又不能穿过直线 ay，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-,+)上存在(图 2-
36、12).2.3.4 比较定理 在解决许多问题时,我们经常将延展定理和比较定理配合使用.下面就来介绍比较定理.我们在考察方程),(yxfdxdy (2.1)之外,还同时考察),(yxFdxdy )1.2(我们有如下的定理:定理 2.4 (第一比较定理)设定义在某个区域D上的函数),(yxf和),(yxF满足条件:(1)在D上满足存在唯一性定理条件;(2)在D上有不等式),(yxf x 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有 y=x，即 若方程(2)有奇解必定是 y=x，然而 y=x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解.2.4.3 包络线及奇解的求法 下面，我们从几何的角度给出一
37、个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分0),(Cyx求它奇解的方法.当任意常数 C 变化时，通积分0),(Cyx给出了一个单参数曲线族(C)，其中 C 为参数，我们来定义(C)的包络线.定义 2.4 设给定单参数曲线族 0),(:)(CyxC (2.10)其中 C 为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线 L，其上任一点均有(C)中某一曲线与 L 相切，且在 L 上不同点，L 与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线 L 为曲线族(C)的包络线或简称包络.见图 2-14 图 2-14 定理 2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线 L 是(1.9)的奇积分曲线.证明 只须证明(
38、C)的包络线 L 是方程(1.9)的积分曲线即可.设 p(x,y)为 L 上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线 l 过 p 点，且与 L 相切，即 l 与 L 在 p 点有公共切线.由于 l 是积分曲线，它在 p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以 L 在 p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了.这就表明 L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而 L 是(1.9)的积分曲线.证毕.注：一阶微分方程的通解包络一定是奇解，反之微分方程的奇解（若存在）也是微分方程通解的包络.如：方程2)(32xdxdyxdxdyy的解为：也是它的解
39、此外为任整数exy，cccxxy323,2,y=3322xxycxee是通解的包络.有了定理 2.6 之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法.定理 2.7 若 L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的 C-判别式 0),(0),(CyxCyxC (2.11)反之，若从(2.11)解得连续可微曲线)(),(:CyCx 且满足：0)()(22CC和0),(),(),(),(22CCCCCCyx,（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.证明 对 L 上任取一点 p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线 l 在 p
40、点与 L 相切，设 l 所对应的参数为 C，故 L 上的点坐标 x 和 y 均是 C 的连续可微函数，设为)(Cxx,)(Cyy 又因为 p(x,y)在 l 上，故有恒等式 0),(),(CCyCx (2.12)L 在 p 点的切线斜率为)()(CxCykL l 在 p 点的切线斜率为 CCyCxCCyCxkyl),(),(),(),(因为 l 与 L 在 p 点相切，故有lLkk，即有关系式 0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx (2.13)另一方面，在(2.12)式两端对 C 求导得 0),(),()(),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxC
41、CyCxCyx 此式与(2.13)比较，无论是在)(),(CyCx和yx,同时为零，或不同时为零的情况下均有下式 0),(),(CCyCxC (2.14)成立.即包络线满足 C-判别式(2.11).反之，在上任取一点 q(C)=(C),(C),则有 0),(),(0),(),(CCCCCCC (2.15)成立.因为yx,不同时为零，所以对(2.10)在 q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线)()(:ykxxhy或,它在 q 点的斜率为 CCCCCCkyx),(),(),(),(2.16)另一方面，在 q 点的斜率为 )()(CCk (2.17)现在，由(2.15)的第一式对 C 求导得
42、0),(),()(),(),()(),(),(CCCCCCCCCCCCyx 再利用(2.15)的第二式推出 0)(),(),()(),(),(CCCCCCCCyx (2.18)因为)(),(CC和yx,分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出kk,即曲线族(2.10)中有曲线 在 q 点与曲线 相切.因此，是曲线族(2.10)的包络线.例 3 求323ydxdy的奇解.解 在本章 2.2 节已解得方程通解为3)(Cxy由 C-判别式 23)(30)(CxCxy 解得0y.由于01y,01)(C,所以0y为原方程的奇解.例 4 求方程 21ydxdy 的奇解.解 由上
43、面的例 1，该方程的通解为)sin(Cxy,由 C-判别式)cos(0)sin(CxCxy (2.19)的第二式解出 2kCx,2,1,0k 代入第一式，得到1y.因为01y,01)(C,故1y为方程的奇解.例 5 求克莱洛方程)(yyxy 的奇解，其中 是二次可微函数且0.解 由第 1 章 1.6 节的例 2 可知该方程的通解为)(CCxy C-判别式为)(0)(CxCCxy (2.19)因为01y,0)()(CC,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解.例 6 求曲线,使其每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积均等于 2(图 2-15).解 首先,由解
44、析几何知识可知,凡满足4ab的直线 1byax 都是所求曲线,但除此之外,是否还有其他的曲线呢?设),(yx为 所 求 曲 线 上 的 点,),(YX为 其 切 线 上 的 点,则 过),(yx的 切 线 方 程 为)(xXyyY.显然yyxa,yxyb,此处a与b分别为切线在Ox轴和Oy轴上的截距.当0ab时 有4)(yxyyyx或yyyx4)(2,解 出y,得 到 克 莱 罗 方 程yyxy2.其通解为CCxy2)0(C.易于验证它们恰为前面所指出的直线族.此外,还有奇解,它由对应于(2.19)的方程组 012CxCCxy 所确定,解上述方程组得到 CyCx1 消去C,得到双曲线1xy.它
45、就是所求的曲线.当0ab时,可求得直线族 CCxy2 )0(C 同时,还有由方程组 012CxCCxy 所确定的曲线,消去参数C,得双曲线1xy.它也是所求曲线.事实上,只有双曲线1xy才是“真正的”所求的曲线.思考题：(1)如何判断方程),(yxfdxdy不存在奇解?(2)如何求方程),(yxfdxdy的包络线及奇解?(3)方程),(yxfdxdy的积分曲线族(C)的包络线L与),(yxfdxdy的奇积分曲线之间有何关系?(4)克莱洛方程是否总有奇解,为什么?2.5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性 一、教学目的与要求：（1）理解解对初值的连续依赖性与可微性定理及其成立的条件.（2）掌
46、握解对初值的连续依赖性定理及其证明过程.二、教学重点，难点：解对初值的连续依赖性与可微性定理的条件及解对初值的连续依赖性定理的证明.直到现在，我们都是把初值),(00yx看成固定的数值，然后再去研究微分方程(2.1)经过点),(00yx的解.这个解是自变量 x 的函数.易于看出，当初值 x0和 y0变动时，对应的解也要跟着变动.所以，方程(2.1)的解也应该是初值),(00yx的函数.例如，方程 ydxdy过点),(00yx的解为00 xxeyy，它显然是所有变量00,yxx和的函数.对于一般情形，为了表示微分方程(2.1)过点),(00yx的解是所有变量00,yxx和的函数，我们采用记号.)
47、,(00yxxy按记号的定义，应有000),(yyxx.现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的?我们知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解.但是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题的解在实用上就不会有多大的价值.所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值00,yx变化不大时，相应的解变化不大.下面给出其数学上的确切的定义.定义 2.5 设初值问题*0*0)(),(yxyyxfdxdy 的解),(*0*0yxx
48、y在区间,ba上存在，如果对任意0，存在0),(*0*0yxx,使得对于满足*00 xx,*00yy的一切),(00yx，相应初值问题(2.2)的解),(00yxxy都在,ba上存在，且有 ),(),(*0*000yxxyxx,bax.则称初值问题(2.2)的解),(00yxxy在点),(*0*0yx连续依赖于初值00,yx(图 2-16).图 2-16 定理 2.8 (解对初值连续依赖定理)设 f(x,y)在区域 D 内连续，且关于变量 y 满足李普希兹条件.如果Dyx),(*0*0，初值问题(2.2)有解),(*0*0yxxy,且当bxa时，Dyxxx),(,(*0*0,则对任意0，存在0
49、，使对于满足*00 xx,*00yy 的任意),(00yx，初值问题 00)(),(yxyyxfdxdy (2.2)的解),(00yxxy也在区间,ba上有定义，且有 ),(),(*0*000yxxyxx 证明 对给定0，选取10，使得闭区域 U：bxa,1*0*0),(yxxy 整个含在区域 D 内，这是能够做到的，因为区域 D 是开的，且当 bxa时，Dyxxx),(,(*0*0,所以，只要1选取足够小，以曲线),(*0*0yxxy为中线，宽为 21的带开域 U 就整个包含在区域 D 内，如图 2-17 所示.图 2-17 选取满足 )(110abNeM 其中 N 为李普希兹常数，),(m
50、ax),(yxfMUyx，另外，还要保证闭正方形*00*00,:yyxxR 含于带形区域 U 的内部.由存在唯一性定理可知，对于任一Ryx),(00,在0 x的某领域上存在唯一解),(00yxxy，且在),(00yxx尚有定义的区间上，有 dyxfyyxxxx0),(,(),(00000 (2.20)另外，还有 dyxfyyxxxx0),(,(),(*0*0*0*0*0 对上述两式作差并估值：),(),(*0*000yxxyxx dyxfdyxfyyxxxx0*0),(,(),(,(00*0*00*0 dyxfyxfyxfyyxxxx0*0),(,(),(,(),(,(0000*0*00*0*