解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型12182.pdf

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1、-解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法点参数、K 参数、角参数 7、代入法 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 1中点弦问题 2焦点三角形问题 3直线与圆锥曲线位置关系问题 4圆锥曲线的有关最值围问题 5求曲线的方程问题 1曲线的形状-这类问题一般可用待定系数法解决。2曲线的形状未知-求轨迹方程 6存在两点关于直线对称问题 7两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 1椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。2双曲线有两种定

2、义。第一定义中，arr221，当 r1r2时，注意 r2的最小值为 c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离互相转化。3抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化-为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出

3、这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法，即设弦的两个端点 A(*1,y1),B(*2,y2),弦 AB 中点为 M(*0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求法，具体有：1)0(12222babyax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(*0,y0)，则有02020kbyax。(其中 K 是直线 AB 的斜率)2)0,0(12222babyax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(*0,y0)则有02020kbyax(

4、其中 K 是直线 AB 的斜率)3y2=2p*p0与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(*0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.(其中 K 是直线 AB 的斜率)4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|ABkxxAB12|12ak，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观

5、性，尤其是将*些代数式子利用其构造特征，想象为*些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。-FAPHBQ 如“2*+y，令 2*+y=b，则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“*2+y2,令dyx22，则 d 表示点 P*，y到原点的距离；又如“23xy，令23xy=k，则k 表示点 P*、y与点 A-2，3这两点连线的斜率 6、参数法 1点参数利用点在*曲线上设点常设“主动点，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如*轴上一动点 P，常设 Pt，0；直线*-2y+1=0 上一动点 P。除设 P*1,y1外，也可直接设 P2y1-1,y1 2斜率为参数 当直线

6、过*一定点 P(*0,y0)时，常设此直线为 y-y0=k(*-*0)，即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。3角参数 当研究有关转动的问题时，常设*一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法 这里所讲的“代入法，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“条件 P1,P2求或求证目标 Q，方法 1 是将条件 P1代入条件 P2，方法 2 可将条件 P2代入条件 P1，方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进展假设，代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法 一、定义法【典型例题】例 1、

7、(1)抛物线 C:y2=4*上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_ (2)抛物线 C:y2=4*上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：1A 在抛物线外，如图，连 PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。2B 在抛物线，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：1 2，2 连 PF，当 A、P、F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时 AF 的方程为-xy0ABCMD5FFPHy0 xA)1(13024xy 即 y=22(*-1),代入 y2=4*得

8、P(2,22)，注：另一交点为(2,21)，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去 2 1,41 过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时 Q点的纵坐标为 1，代入 y2=4*得*=41，Q(1,41)点评：这是利用定义将“点点距离与“点线距离互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆一定点，P 为椭圆上一动点。1PFPA 的最小值为 2PFPA2的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP 或准线作出来考虑问题。解：14-5 设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF

9、当 P 是FA 的延长线与椭圆的交点时,PFPA 取得最小值为 4-5。2作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，PHPFPHPF2,21即 PHPAPFPA 2 当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca 例 3、动圆 M 与圆 C1:(*+1)2+y2=36 切,与圆 C2:(*-1)2+y2=4 外切,求圆心 M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征：两个圆心与切点这三点共线 如图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线。列式的主要途径是动圆的“半径等于半-径如图中的MDMC 。解：如图，MDMC，

10、26MBMADBMBMAAC即 8 MBMA *点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为1151622yx 点评：得到方程*后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R R 为外接圆半径，可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=

11、532RsinA BCACAB53 即6 ACAB *点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点 2a=6，2c=10 a=3，c=5，b=4 所求轨迹方程为116922yx*3 点评：要注意利用定义直接解题，这里由*式直接用定义说明了轨迹双曲线右支 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=*2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到*轴的最短距离。分析：1 可直接利用抛物线设点，如设 A(*1,*12)，B(*2，*22)，又设 AB 中点为 M(*0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于*0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。-xy0MABA1A2M1M2B1B22M 到*轴的距

12、离是一种“点线距离，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(*1，*12)，B(*2，*22)，AB 中点 M(*0，y0)则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx 由得(*1-*2)21+(*1+*2)2=9 即(*1+*2)2-4*1*21+(*1+*2)2=9 由、得 2*1*2=(2*0)2-2y0=4*02-2y0 代入得(2*0)2-(8*02-4y0)1+(2*0)2=9 2020041944xxy，,5192450y 当 4*02+1=3 即 220 x时，45)(min0y此时)45,22(M 法二：如图，32222ABBFAFB

13、BAAMM 232MM，即23411MM，451MM，当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。M 到*轴的最短距离为45 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消*1，*2，从而形成 y0关于*0的函数，这是一种“设而不求的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M 到*轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合 -定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“压扁时，两边之和等于第三边的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例 6、椭圆

14、)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次交于 A、B、C、D、设 f(m)=CDAB,1求 f(m),2求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的构造不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影到*轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：1椭圆1122mymx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=*+1,代入椭圆方程即(m-1)*2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)*2+m(*+1)

15、2-m2+m=0(2m-1)*2+2m*+2m-m2=0 设 B(*1,y1),C(*2,y2),则*1+*2=-)52(122mmm 2)1211(2121122)(mmmmf 当 m=5 时，9210)(minmf 当 m=2 时，324)(maxmf-点评：此题因最终需求CBxx，而 BC 斜率为 1，故可也用“点差法设 BC 中点为M(*0,y0),通过将 B、C 坐标代入作差，得0100kmymx，将 y0=*0+1，k=1 代入得01100mxmx，120mmx，可见122mmxxCB 当然，解此题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在*轴的“投影发现CBxxmf)(是解此

16、题的要点。三、点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。假设设直线与圆锥曲线的交点弦的端点坐标为),(11yxA、),(22yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法。1.以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1、过椭圆141622yx一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(

17、11yxA、),(22yxB)1,2(M为AB的中点 421 xx221 yy 又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx 两式相减得0)(4)(22212221yyxx 于是0)(4)(21212121yyyyxxxx 即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例 2、双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。假设存在这样的直线l，求出它的方程，假设不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足-题设的条件。此题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦

18、达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且),(11yxA、),(22yxB 则221 xx，221 yy 122121yx，122222yx 两式相减，得 故直线)1(21:xyAB 由12)1(2122yxxy 消去y，得03422 xx 这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。评述：此题如果无视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。1假设中点M在圆锥曲线，则被点M平分的弦一般存在；2假设中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 3、椭圆12575

19、22xy的一条弦的斜率为 3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210 x 12021xxx，0212yyy 又 125752121xy，125752222xy 两式相减得0)(75)(2521212121xxxxyyyy 即0)(3)(221210 xxyyy0212123yxxyy 32121xxyyk3230y，即210y 点M的坐标为)21,21(。-例 4、椭圆1257522xy,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(y

20、xM，则 xxx221，yyy221 又 125752121xy，125752222xy 两式相减得0)(75)(2521212121xxxxyyyy 即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy32121 32121xxyyk33yx，即0 yx 由12575022xyyx，得)235,235(P)235,235(Q 点M在椭圆 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为)235235(0 xyx 例 1 椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为1122,P x yQ xy，PQ的中点为,M x y.则221112xy，1222212xy，2 12得：22

21、22121202xxyy，1212121202xxyyyyxx.又121212122,2,2yyxxx yyyxx，40 xy.弦中点轨迹在椭圆，所求弦中点的轨迹方程为40 xy在椭圆.例 2 直线:50l axyaa是参数与抛物线2:1fyx的相交弦是-AB，则弦AB的中点轨迹方程是.解 设1122,A x yB x y、，AB中点,M x y，则122xxx.:150l a xy，l过定点1,5N，51ABMNykkx.又2111yx，12221yx，2 12得：2212121212112yyxxxxxx，1212122AByykxxxx.于是5221yxx，即227yx.弦中点轨迹在抛物

22、线，所求弦中点的轨迹方程为227yx在抛物线.3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例 5、中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为12222bxay，则5022ba 设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则 210 x，212300 xy12021xxx，12021yyy 又1221221bxay，1222222bxay 两式相减得0)()(2121221212xxxxayyyyb 即0)()(212212xxayyb 222121baxxyy322ba 联立解得752a，252

23、b 所求椭圆的方程是1257522xy-例 3 ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解 由抛物线方程得8,0G.设BC的中点为00,M xy，则AGM、三点共线，且2AGGM，G分AM所成比为2，于是002281282012xy，解得00114xy，11,4M.设1122,B x yC xy，则128yy.又21132yx，122232yx，2 12得：22121232yyxx，121212323248BCyykxxyy.BC所在直线方程为4411yx，即4400 xy.例 4 椭圆222210 xyabab的一条准线方程是1

24、x，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，假设AB的中点为1 1,2 4C，求椭圆方程.解 设1122,A x yB x y、，则121211,2xxyy，且2211221xyab，12222221xyab，2 12得：2222121222xxyyab，221212221212112bxxyybxxayya ，21221221AByybkxxa，222ab，3 又21ac，2ac，4而222abc，5-由3，4，5可得2211,24ab，所求椭圆方程为2211124xy.4.圆锥曲线上两点关于*直线对称问题 例 6、椭圆13422yx，试确定的m取值围，使得对于直线mxy 4，椭圆上总有不

25、同的两点关于该直线对称。解：设),(111yxP，),(222yxP为椭圆上关于直线mxy 4的对称两点，),(yxP为弦21PP的中点，则12432121yx，12432222yx 两式相减得，0)(4)(322212221yyxx 即0)(4)(321212121yyyyxxxx xxx221，yyy221，412121xxyy xy3 这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy 4的交点必须在椭圆 联立mxyxy43，得mymx3 则必须满足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m 5.求直线的斜率 例 5 椭圆221259xy上不同的三点11229,4,5

26、A x yBC xy与焦点4,0F的距离成等差数列.1求证：128xx；2假设线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.1证 略.2解 128xx，设线段AC的中点为04,Dy.又AC、在椭圆上，22111259xy，122221259xy，2-12得：22221212259xxyy，1212121200998362525 225xxyyxxyyyy .直线DT的斜率02536DTyk，直线DT的方程为0025436yyyx.令0y，得6425x，即64,025T，直线BT的斜率9055644425k.6.确定参数的围 例 6 假设抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3l

27、 ym x对称，数m的取值围.解 当0m 时，显然满足.当0m 时，设 抛 物 线C上 关 于 直 线:3l ym x对 称 的 两 点 分 别 为1122,P x yQ xy、，且PQ的中点为00,M xy，则211yx，1222yx，2 12得：221212yyxx，1212120112PQyykxxyyy，又1PQkm，02my.中点00,M xy在直线:3l ym x上，003ym x，于是052x.中点在抛物线2yx区域 M200yx，即2522m，解得1010m.综上可知，所数m的取值围是10,10.7.证明定值问题 例 7 AB是椭圆222210 xyabab不垂直于x轴的任意一

28、条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.-证明 设1122,A x yB xy且12xx，则2211221xyab，12222221xyab，2 12得：2222121222xxyyab，2121221212bxxyyxxayy，2121221212ABbxxyykxxayy.又1212OPyykxx，221ABOPbkka，22ABOPbkka 定值.8.其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例 9，过抛物线)0(22ppxy上一定点 Pxy00,y00，作两条直线分别交抛物线于 Axy11,，B22,yx 1求该抛物线上纵坐标为p2的点到

29、其焦点 F 的距离；2当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数.解(1)略(2)：设 Ay12,y1,B(y22,y2)，则 kAB=122122121yyyyyy kPA=02202202012012011,1yyyyyykyyyyyyPB 由题意，kAB=-kAC,02102012,11yyyyyyy则 则：kAB=021y为定值。例 10、抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx210()()1求证：直线与抛物线总有两个不同交点 2设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数

30、 f(t)的表达式。1证明：抛物线的准线为114：xp -由直线*+y=t 与*轴的交点t，0在准线右边，得tptp 14440，而 故直线与抛物线总有两个交点。2解：设点 A(*1，y1)，点 B(*2，y2)【同步练习】1、：F1，F2是双曲线12222byax的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点 A、B，假设mAB，ABF2的周长为 A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、假设点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线*+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是 A、y2=-16*B、y2=-32*C、y2=16*D、y2=32*3、ABC 的三边 AB、B

31、C、AC 的长依次成等差数列，且ACAB，点 B、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是 A、13422yx B、)0(13422xyx C、)0(13422xyx D、)00(13422yxyx且 4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1，0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是 A、)1(49)21(22xyx B、)1(49)21(22xyx C、)1(49)21(22xyx D、)1(49)21(22xyx 5、双曲线116922yx上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 6、抛物线 y=2*2截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方

32、程是 7、抛物线 y2=2*的弦 AB 所在直线过定点 p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线*2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=k*+1 与双曲线*2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k=10、设点 P 是椭圆192522yx上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求 sinF1PF2-的最大值。11、椭圆的中心在原点，焦点在*轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，假设直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2，1)，34AB，求直线 l 的方程和椭圆方程。12、直线 l 和双曲线)0,0(12222b

33、abyax及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。求证：CDAB。参考答案 1、C aBFBFaAFAF2,21212，,24,42222maABBFAFaABBFAF选 C 2、C 点 P 到 F 与到*+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为y2=16*，选 C 3、D 22 ACAB，且ACAB 点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的局部、又 A、B、C 三点不共线，即 y0，应选 D。4、A 设中心为(*，y)，则另一焦点为(2*-1，2y)，则原点到两焦点距离和为 4得4)2()12(122yx，49)21(22yx又 ca,2)1(22yx(*-1)2

34、+y221)7、y2=*+2(*2)设 A(*1，y1)，B(*2，y2)，AB 中点 M(*，y)，则-yF2F1Px20 xykkMPAB，222yxy，即 y2=*+2 又弦中点在抛物线 P，即 y22*，即*+22 8、4 22,8,4222ccba，令22x代入方程得 8-y2=4 y2=4，y=2，弦长为 4 9、12或 y=k*+1 代入*2-y2=1 得*2-(k*+1)2-1=0(1-k2)*2-2k*-2=0 0012k得 4k2+8(1-k2)=0，k=21-k2=0 得 k=1 10、解：a2=25，b2=9，c2=16 设 F1、F2为左、右焦点，则 F1(-4，0)

35、F2(4，0)设212211,PFFrPFrPF 则221222121)2(cos22crrrrrr 2-得 2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos=212212224rrbrrbr1+r2212rr，r1r2的最大值为 a2 1+cos的最小值为222ab，即 1+cos2518 cos257，257arccos0则当2时，sin取值得最大值 1，即 sinF1PF2的最大值为 1。11、设椭圆方程为)0(12222babyax 由题意：C、2C、cca2成等差数列，22224caccacc即，a2=2(a2-b2),a2=2b2 椭圆方程为122222bybx，设 A(*1，y1)，

36、B(*2，y2)则12221221bybx12222222bybx -得022222122221byybxx0222kbybxmm 即022kk=1 直 线 AB 方 程 为 y-1=*+2 即 y=*+3，代 入 椭 圆 方 程 即*2+2y2-2b2=0 得*2+2(*+3)2-2b2=0 3*2+12*+18-2b2=0，342)218(121231112221bxxAB 解得b2=12，椭圆方程为1122422yx，直线 l 方程为*-y+3=0 12、证明：设 A(*1，y1)，D(*2，y2)，AD 中点为 M(*0，y0)直线 l 的斜率为 k，则 11222222221221b

37、yaxbyax-得0222020kbyax 设),(),(),(002211yxMBCyxCyxB中点为，则002212221222112211byaxbyax-得02221021kbyax 由、知 M、M均在直线022:22kbyaxl上，而 M、M又在直线 l 上，假设 l 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立 假设 l 与*轴垂直，则由对称性知命题成立 假设 l 不过原点且与*轴不垂直，则 M 与M重合 CDAB 四、弦长公式法 假设直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),2211yxByxA（则 弦长221221)()(yyxxAB 2122124)(1xxxxk同理

38、：|AB|=122121224)(|11yyyyyyk 特殊的，在如果直线 AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|ABkxxAB12|12ak，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。-例求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段 AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例题 1：直线1 xy与双曲线14:22yxC交于

39、A、B 两点，求 AB 的弦长 解：设),(),2211yxByxA（由14122yxxy得224(1)40 xx得23250 xx 则有35322121xxxx 得，练习 1：椭圆方程为1222 yx与直线方程21:xyl相交于 A、B 两点，求 AB 的弦长 练习 2：设抛物线xy42截直线mxy 2所得的弦长AB长为53，求m的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设),(),2211yxByxA（联立方程122122yxxy得03462 xx 则21322121xxxx 解:设),(),2211yxByxA（联立方程:mxyxy242得0)44(422

40、mxmx 则4122121mxxmxx 例题 2：抛物线32xy上存在关于直线0 yx对称相异的两点 A、B，求弦长AB 分析：A、B 两点关于直线0 yx对称，则直线AB的斜率与直线斜率的积为1且AB的中点在直线上 解：BA、关于0:yxl对称 1ABlkk1lk 设直线AB的方程为bxy，),(),2211yxByxA（-联立方程32xybxy 化简得032bxx 121xxAB中点)21,21(bM在直线0 yx上 则 212121xxxx 小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点联立方程消元韦达定理弦长公式 作业：（1）过抛物

41、线24yx的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于 A，B 两点，且316AB，求的值（2）椭圆方程1222 yx及点)2,0(B，过左焦点1F与B的直线交椭圆于C、D两点，2F为椭圆的右焦点，求2CDF的面积。【典型例题】五、数形结合法 例 1：P(a,b)是直线*+2y-1=0 上任一点，求 S=136422baba的最小值。分析：由此根式构造联想到距离公式，解：S=22)3()2(ba设 Q(-2,3),则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离 Smin5535|1322|点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题 注：可令根式为 t 消元后，它是一个一元二次函数 例

42、2：点 P(*,y)是圆*2+y2-6*-4y+12=0 上一动点，求xy的最值。解：设 O0，0，则xy表示直线 OP 的斜率，由图可知，当直线 OP 与圆相切时，xy取得最值，设最值为 k，则切线：y=k*,即 k*-y=0 圆(*-3)2+(y-2)2=1,由圆心3，2到直线 k*-y=0 的距离为 1 得11|23|2kk,433k-433,433maxminxyxy 例 3：直线 l：a*+y+2=0 平分双曲线191622yx的斜率为 1 的弦，求 a 的取值围.分析：由题意，直线 l 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点 M 与点 P

43、的连线的斜率即-a 的围。解：设 A(*1,y1),B(*2,y2)是双曲线上的点，且 AB 的斜率为 1，AB 的中点为 M(*0,y0)则：1916191622222121yxyx-得01916,09160022122212yxyyxx即 即 M(*0,y0)在直线 9*-16y=0 上。由 9*-16y=0 得 C79,716,D79,716 点 M 的轨迹方程为 9*-16y=0(*7716)kPD=167297160792,167297160792PDk 由图知，当动直线 l 的斜率 k16729,169169,16729时，l 过斜率为 1 的弦 AB的中点 M，而 k=-a a

44、的取值围为：16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹并不是一条直线9*-16y=0，而是这条直线上的两条射线无端点。再利用图形中的特殊点射线的端点C、D的属性斜率说明所求变量a 的取值围。六、参数法 -例 4k 参数：过 y2=*上一点 A4，2作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点。求证：直线 BC 的斜率是定值。分析：1点 A 为定点，点 B、C 为动点，因直线 AB、AC 的倾斜角互补，所以 kAB与 kAC相反，故可用“k 参数法，设 AB 的斜率为 k，写出直线 AB 的方程，将 A

45、B 的方程与抛物线方程联立，因 A 为交点，则方程有一根故用韦达定理容易解出点 B 坐标，同理可得点 C 坐标，再求 BC 斜率。2 因点 B、C 在抛物线上移动，也可用“点参数法，设 B*1,y1,C(*2,y2),因*1=y12,*2=y22,即可设 By12,y1,C(y22,y2)。再考虑 kAB=-kAC得参数 y1,y2的关系。解法 1：设 AB 的斜率为 k，则 AC 的斜率为-k AB：y-2=k(*-4),与 y2=*联立得：y-2=k(y2-4),即 ky2-y-4k+2=0 y=2 是此方程的一解，2yB=kkykkB21,24*B=yB2=,44122kkk Bkkkk

46、k21,44122 kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 Ckkkkk21,44122 kBC=414414412121222kkkkkkkkkk为定值 解法 2：设 By12,y1,C(y22,y2)，则 kBC=122122121yyyyyy kAB=2142,214222221121yyykyyyAB 由题意，kAB=-kAC,-4,21212121yyyy则 则：kBC=41为定值。点评：解法 1 运算量较大，但其方法是一种根本方法，因 k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出 BC 的斜率为定值；解法 2 利用点 B，C 在抛物线上设点，形成含两个参数 y1,y2的问题

47、，用整体思想解题，运算量较小。例 5角参数：在圆*2+y2=4 上，有一定点 A2，0和两动点 B，CA，B，C 按逆时针排列，当 B，C 两点保持BAC=3时，求ABC 的重心的轨迹。分析：圆周角BAC=3可转化为圆心角BOC=32，选用“角参数，令 B2cos，2sin则 C(2cos(+32),2sin(+32)则重心可用表示出来。解：连 OB，OC，BAC=3，BOC=32 设 B2cos,2sin(034),则 C(2cos(+32),2sin(+32)设重心 G*，y，则：*=)32cos(2cos2231 y=)32sin(2sin2031 即：*=)3cos(1 32)3cos

48、(123x y=)3sin(32)3sin(23y+)35,3(3 1)23()123(22yx。*0)有公共点时 a 的取值围 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式0 可求得 a 的取值围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点 P用参数形式，代入直线方程，转化为三角问题：asin*+bcos*=c 何时有解。解法一：由直线方程 3*-4y+10=0 得2543xy代入椭圆方程得1)2543(1222xxa0421415)1691(22xxa 0，得0)1691(4214)415(22a解得3282a，又 a0,372a 解法二：设有公共点为 P，因公共点 P

49、 在椭圆上，利用椭圆方程设 Pacos，sin再代入直线方程得 3acos-4sin+10=0 4sin-3acos=10。16910cos1693sin1694222aaaa 令 sin=16932aa，cos=16942a，则 sin(-)=169102a，由1)sin(即 sin2(-)1 得11691002a9a284，a2328(a0)a3212 点评：解法 1，2 给出了两种不同的条件代入顺序，其解法 1 的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法 2 先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线 l：A*+By+C=0 与

50、椭圆12222byax有公共点,求应满足的条件此时，假设用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点 P，利用椭圆，设 Pacos，bsin代入直线方程得 Aacos+Bbsin=-C。12222bBaAC时上式有解。C2A2a2+B2b2-因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。八、充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以防止求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线l：2410 xy上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：即()()()1142 14022xyxy，其圆心为 C2111，又 C 在直线l上，