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1、 15 10 A 4 C C 5 5 19 概率论部分 1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。例 1：袋中有 4 个白球，5 个黑球，6 个红球，从中任意取出 9 个球，求取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、5 个红球的概率.解：设 B取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、5 个红球 样本空间的样本点总数：n C 9=5005 事件 B 包含的样本点：r C1C 3C 5=240，则 P(B)=240/5005=0.048 4 5 6 例 2：在 09 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：A4=5040，设 B=能排成一个四
2、位偶数。若允许千位数为 0，此时个位数可在 0、2、4、6、8 这五个数字中任选其一，共有 5 种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有 A3 种选法；从而共有 5 A3=2520 个。其中，千位 9 9 数为 0 的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8 这四个数字中任选其一，有 4 种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有 A2 种选法；从而共有 4 A2=224 5A3 4 A2 个。因此 P(B)9 8 10 8 8 =2296/5040=0.456 2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例 1：事件 A 与
3、B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(A B)解：P(AB)=P(A)P(B)=0.3，P(AB)=P(A)P(AB)=0.2，P(A B)=P(A)P(B)P(AB)=0.8 例 2：若 P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(AB)，P(A B)，P(A|B)，P(A|B)，P(A|B)解：P(AB)=0.1，P(A B)=0.8，P(A|B)=P(A|B)=P(AB)P(A B)=2/3 P(AB)P(B)=3/7，P(A|B)=P(AB)P(B)P(B)P(AB)=4/7，P(B)P(B)1 P(B)3.准确地选择
4、和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件 A 表示“顾客买下该箱”，Bi 表示“箱中恰好有i 件次品”，i 0,1,2。则 P(B0)0.8，P(B)0.1，P(B)0.1，P(A|B C 4)1，P(A|B)19 4，P(A|B C 4)18 12。1 2 0 2 1 4 2 4 20 20 4
5、 12 由全概率公式得 P(A)P(Bi)P(A|Bi)0.8 1 0.1 0.1 0.94；i0 由贝叶斯公式 P(B|A)P(B0)P(A|B0)0.8 1 0.85。0 P(A)0.94 19 X X i 4.随机变量及其分布 (1)一维离散型 例：随机变量 X 的分布律为.X 1 2 3 4 p k 2k 3k 4k 确定参数 k 求概率 P(0X3)，P(1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数Y (X 3)2 的分布律及期望 E(X 3)2 解：由 pi 1，有 k2 k3 k4 k=1 得 k=0.1 i P(0X3)=P(X=1)P(X=2)=0.3，
6、P(1X3)=P(X=2)=0.2 0 0.1 F(x)0.3 0.6 1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 x 4 E(X)xi pi i=3，E(X 2)x 2 p i=10，D(X)=E(X 2)(E(X)2=1 Y 0 1 4 P 0.3 0.6 0.1 E(X 3)2=1 (2)一维连续型 例：已知随机变量 X 的概率密度为 f xkx 2 0 x 2，0 其他 确定参数 k 求概率 P(1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数Y 的密度函数及期望 E()解：由 f(x)dx=1，有 f(x)dx=2 kx 2dx 8 k=1，得 k=3/8 0
7、3 P(1X3)=3 f(x)dx=2 3 x 2dx=7/8.1 0 x3 F(x)1 8 x 0 0 x 2 x 2 E(X)xf(x)dx=2 3 x3dx=3/2，E(X 2)x 2 f(x)dx=2 3 x 4dx=12/5 0 8 0 8 D(X)=E(X 2)(E(X)2=3/20 1 i 8 X j 3 y 5 f(y)4 0 y 0 其他 2 3 5 E()=f(x)dx=0 8 x 2 dx=7(3)二维离散型 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y X 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 2 0.02
8、0.05 0.1 0.13 求概率 P(XY)，P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k)k=0,1,2 和 P(Y=k)k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2)k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关求 Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律解：P(XY)=0.7，P(X=Y)=0.2 X 的分布律 X 0 1 2 p 0.5 0.2 0.3 Y 的分布律 Y 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.3 0.4 X 的条件分布律 X|Y=2
9、 0 1 2 p 1/2 1/6 1/3 Y 的条件分布律 E(X)xi pij=0.8，E(X)x p 2 2=1.4，D(X)=E(X 2)(E(X)2=0.76 i j i j E(Y)y j pij=2，E(Y 2)y 2 p=5，D(Y)=E(Y 2)(E(Y)2=1 i j i j i 2 x 6 2 ij ij Y|X=1 0 1 2 3 p 0.15 0.25 0.25 0.35 y 1 y x ydx Y X|Y E(XY)xi y j pij=1.64，cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.04 i j XY =0.046 相关 Z=XY 的分布律 Z 0 1
10、2 3 4 5 p 0.05 0.13 0.22 0.3 0.17 0.13 W=maxX，Y的分布律 W 0 1 2 3 p 0.05 0.18 0.37 0.4 V=minX，Y的分布律 V 0 1 2 p 0.55 0.22 0.23 (4)二维连续型 cx 2 y,x 2 y 1 例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x,y)，0,其它 确定常数 c 的值；求概率 P(XY)求边缘密度 f X(x)，fY(y)，判断 X,Y 是否相互独立求条件密度 f X|Y(x|y)，fY|X(y|x)求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数
11、XY，判断是否不相关 解：由 f(x,y)dxdy=1，有 f(x,y)dxdy=1 dx 1 cx 2 ydy=1，得 c=21/4 P(XY)=dy 21 2=0.85 1 x2 0 4 1 21 x 2 ydy 21 x 2(1 x 4)1 x 1 f X (x)x2 4 8 0 其它 21 7 5 f (y)x 2 ydx y 2 2 0 0 y 1 其它 X 与 Y 不独立 f(x,y)3 3 f(x|y)fY(y)x 2 y 2 2 0 y x y 其它 y cov(X,Y)D(X)D(Y)y 4 90 4 2 2 3 2 1 x2 4 x ydy f(x,y)8 y x 2 y
12、1 fY|X(y|x)f X(x)0 1 x 4 其它 E(X)x f(x,y)dxdy=1 dx 1 21 3=0 E(X 2)x 2 f(x,y)dxdy=1 1 21 dx x ydy=7/15 D(X)=E(X 2)(E(X)2=7/15 1 x2 4 E(Y)y f(x,y)dxdy=1 1 21 dx x y dy=7/9 1 x2 4 E(Y 2)y 2 f(x,y)dxdy=1 dx 1 21 2 3 =7/11 D(Y)=E(Y 2)(E(Y)2=28/891 1 x2 4 x y dy E(XY)xy f(x,y)dxdy=1 1 21 dx x y dy=0 1 x2 4
13、 cov(X,Y)=0，XY=0，X 与 Y 不相关 5.会用中心极限定理解题。例 1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为1.52，求在 100 次射击中有 180 到 220 发炮弹命中目标的概率 例 2：设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880 粒发芽的概率。解：设这批种子发芽数为 X，则 X B(1000,0.9)，由中心极限定理得 所求概率为 PX 880 1 (880 900)1 (2.108)(2.108)0.9826。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1.统计量的判断。2.计算样本均值与样本方差及样本矩。
14、3.熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体 X 的概率密度为 f x 1x,0 x 1 0,其它 ，X 1,X n 是来自总体 X 的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5.掌握无偏性与有效性的判断方法。例：设 X1,X 2,X 3 是来自总体 X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 S/n s/n 0 0 0 2 1 3 1 1 1 1 3 1 5 X 1 10 X 2 2 X 3；3(X 1 X 2 X 3)；X 1 X 2 X 3；2(X 1 X 2)；3 X1 4 X 2 12 X 3 求出方差，比较哪个
15、更有效。6.会求正态总体均值与方差的置信区间。7.理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。例：设 X N(u,2)，u 和2 未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写出 检验 u 与给定常数 u0 有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2 与给定常数2 比较是否显著偏 大的步骤。解:(1)1.提出假设 H :u u,H1:u u2.选取统计量t (X u0)3.对给定的显著性水平，查表得t(n 1)2 4.计算 t (x u0)5.判断 若 t t(n 1),拒绝 H ;2 反之,接受 H .(2)1.提出假设 H:2 2,H:2 2 2.选取统计量2(n 1)S 2 2 0 3.对给定的显著性水平，查表得2(n 1)4.计算 2 (n 1)s 2 0 5.判断 若2 2(n 1),拒绝 H;反之,接受 H.1.