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1、考点四十一：与圆有关的计算 聚焦考点温习理解 一、正多边形与圆 1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。2。正多边形的边心距:正多边形内切圆的半径.3 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角.。4 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。二、弧长和扇形面积、弧长公式 的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为、扇形面积公式 其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 其中 l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。名师点睛典例分类 考点典例一、正多边形与圆的有关计算
2、【例】（2017 四川宜宾第 15 题)如图，O 的内接正五边形 AB的对角线与 B相交于点G,A=2，则的长是 【答案】1【解析】0180n180rnllRRnS213602扇rlrlS2215 EG=1 考点：正多边形和圆【举一反三】（2017 江苏徐州第 1题)正六边形的每个内角等于 【答案】120.【解析】试题解析:六边形的内角和为：(6-2）180=720，正六边形的每个内角为:=12。考点:多边形的内角与外角.考点典例二、计算弧长【例 2】（217 浙江宁波第 9 题)如图,在中，,以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为()A。B 。D。【答案】B.【解析】试题解析:如图，连
3、接 OD,OE 57 2 06RtABC9 0A=2 2B C=BCOABACDED E4p2pp2p AC，A是圆 O 的切线 OAC，B O 是 BC 的中点 点 E，点分别是C，AB 的中点 OEB,D=A O=OD AC=AB BC2 由勾股定理得B2 E1 的弧长=。故选 B。考点:。三角形的中位线;2。弧长的计算。【点睛】本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意:已知圆的半径是,弧B 对的圆心角的度数是,则弧 AB 的长=【举一反三】(2017 山东烟台第 9 题)如图,中，,以为直径的交于点,则弧的长为（）A B.C。D.【答案】12122D E90118021 8
4、 0nRABCD070B6BCADOCDEDE31326734【解析】试题解析：连接 O，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，D=B=7,AD=B6，OA=OD3,ODO,OED=D70，DOE=8270=0，的长=。故选：B.考点：弧长的计算;平行四边形的性质;圆周角定理 考点典例三、圆锥的有关计算【例 3】(07 贵州遵义第 8 题）已知 圆锥的底面积为c D E4 0321 8 03，母线长为 6cm,则圆锥的侧面积是（)A82 B7cm C.18cm D2cm2【答案】A。考点:圆锥的计算.【点晴】考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式；用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长.【举一
5、反三】(201黑龙江齐齐哈尔第题)一个圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()A.B.C.【答案】A【解析】试题分析:设底面圆的半径为，侧面展开扇形的半径为 R，扇形的圆心角为 n 度.由题意得底面面积=r2,l底面周长=2r,S扇形=3S底面面积3r2,l扇形弧长=l底面周长=r 由扇形l扇形弧长R 得 3r2=2rR,故 R3r 由扇形弧长=得:2r,解得 n=20.故选 A.考点：。圆锥的计算;2.几何体的展开图.120 180 240 300 12121 8 0nR3180nr考点典例四、求扇形的面积【例 4】(2017 湖南怀化第 14 题）如图,的半径为
6、 2，点，在上,，则阴影部分的面积为 .【答案】2 考点：扇形面积的计算.【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题,解答本题的关键是掌握扇形的面积公式,难度一般.【举一反三】（2017 新疆乌鲁木齐第 14 题）用等分圆周的方法，在半径为的图中画出如图所示图形,则图中阴影部分面积为 【答案】【解析】试题解析:如图，设的中点我 P,连接 O，OP，AP,的面积是:12=,扇形 OAP 的面积是:S扇形=,AP 直线和P 弧面积:S弓形=,OABO9 0A O B=13 32A B34346634阴影面积:3S弓形.故答案为：.考点：扇形面积的计算.考点典例五、求圆锥侧面积【例 5】(2017
7、 新疆乌鲁木齐第 8 题）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是()A.C.D 【答案】B【解析】试题解析：由三视图可知,原几何体为圆锥,，S侧=rl=.故选 B 考点：由三视图判断几何体;圆锥的计算.【点睛】本题考查了圆锥的计算,圆锥的高。圆锥的底面半径和圆锥的母线构成一个直角三角形，扇形的面积公式为:【举一反三】有一圆锥,它的高为cm,底面半径为 6cm,则这个圆锥的侧面积是 cm（结果保留）【答 案】60。3 323 32245222()(3)2212122212lR 考点:1。圆锥的计算；。勾股定理 考点典例六、求阴影部分的面积【例】(217 浙江衢州第
8、10 题)运用图形变化的方法研究下列问题:如图，A是的直径，CD，F 是O 的弦,且 ADF,B=10,CD=,8.则图中阴影部分的面积是（)A B.D 【答案】A。【解析】试题解析：作直径 CG,连接 OD、OE、OF、G CG 是圆的直径，CDG9,则 DG=，又EF=,DG=EF，,扇形 ODG扇形 O,BCDEF,2251042452422221 0 6C G C DD GE FSCD=SD,SOE=SEF,S阴影=S扇形 OCD+S扇形 OEF=S扇形CD+S扇形 ODG=S半圆52 故选 A.考点：1。圆周角定理;2.扇形面积的计算.【点睛】本题考查了扇形面积公式,求出 SBE=C
9、是解决本题的关键.【举一反三】(2017 重庆 A 卷第 9 题）如图，矩形BCD 的边 A=1,BE 平分ABC,交 A于点 E,若点 E 是 AD 的中点，以点为圆心,BE 为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（）A B.C.D【答案】B。【解析】试题解析:矩形 ABCD 的边 AB=，B平分ABC，ABE=EBF=45,ADC，AEB=BE,B=E=1，BE=,点 E 是 A的中点，AE=,图中阴影部分的面积=S矩形 ABCSABES扇形 EBF=211=故选 B.考点:1。矩形的性质;2。扇形的面积计算 课时作业能力提升 一选择题 1(27 甘肃兰州第 2 题)如图，正方形内接于
10、半径为 2 的，则图中阴影部分的面积为(）122 522432 42832 8212245（2）36032 4ABCDO A 。C.D【答案】【解析】试题解析:连接 AO，DO，BC是正方形，A=,AD=,圆内接正方形的边长为 2,所以阴影部分的面积=4（)2=(2)m2.故选 D.考点:正多边形和圆;。扇形面积的计算 2。(201湖南株洲第题)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是（).正三角形 正方形 C.正五边形.正六边形【答案】A。【解析】3。（2017 湖北咸宁第 7 题）如图,的半径为,四边形内接于,连接，若,则的长为()1p+2p+1p-2p-2222O A O
11、D2142O3ABCDOODOB,BCDBOD BD A B.C。【答案】C.试题分析：已知四边形 ABCD 内接于O,根据圆内接四边形对角互补可得BCD+A1,由圆周角定理可得BOD2A,再由BD=BCD 可得 2+A=80，所以A=6，即可得BOD10，所以的长=2；故选 C.考点：弧长的计算;圆内接四边形的性质.(2017 贵州黔东南州第题)如图，正方形 AB中,E 为 AB 中点，FEAB,F=A，FC 交 BD于 O，则DOC 的度数为（）A.0.6。5 C.75 D4【答案】A.【解析】试题解析：如图,连接 DF、F.FEAB，AE=EB，FAFB，F=2AE,AFB=FB,AFB
12、 是等边三角形,2323BD1203180AF=AD=，点是DBF 的外接圆的圆心,FB=F30，四边形 ABCD 是正方形,DC，B=ABC=90，ADBBC=45，FAD=B,FADC,ADF=FCB=15,DO=OB+OB=.故选 A.(016 内蒙古巴彦淖尔第 9 题)如图,O的外切正六边形ABCDE的边长为,则图中阴影部分的面积为()A B.C D【答案】A.考点：正多边形和圆；扇形面积的计算 二.填空题 123233223336.(201山东德州第7 题)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示。圆的圆心与矩形对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(
13、为其中两个交点）,图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为，根据设计要求,若,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面枳的比值)为 .【答案】【解析】试题解析:如图，过 F 作 FGO,连接 OG,OM,ON OFH 是等腰直角三角形,F=O Fn5=,AB=，BC=2OF2 矩形 AB面积=S 空白=S 扇形 FO2SA=窗户的透光率=考点:扇形的面积及概率 7.OABC DE,FG1m45EOF（+2）282222229 0112+21 13 6 02+12（+2）28（217 甘肃庆阳第 17 题）如图，在BC 中,AC9,AC1,B2,以点 A 为圆心、C的长为半径
14、画弧，交 AB 边于点 D,则弧 CD 的长等于 (结果保留)【答案】.考点:弧长的计算；含0 度角的直角三角形。(2017 广西贵港第 17 题）如图，在扇形中，是的中点,与交于点，以为圆心,的长为半径作交于点,若,则图中阴影部分的面积为 (结果保留)【答案】.【解析】试题解析：连接 O、A，点 C 为A 的中点，CDO30,DOC0，ADO 为等边三角形，S扇形 AO=,S阴影=S扇形 ABS扇形(S扇形OSCOD)3OABCOA,CDO ACDABDOOCCEOBE4,120O AAO B 423326 0483 6 03=.考点：扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质.9。(2017 江
15、苏无锡第7 题）如图,已知矩形 ABCD 中,AB3，AD=2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形ABC的内部作半圆 O1和半圆 O2,一平行于B 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点、点，且F(E与 AB 在圆心1和2的同侧)，则由，EF,，所围成图形（图中阴影部分)的面积等于 【答案】【解析】试题解析:连接1O2,O1E,则四边形 O12F是等腰梯形，过 E 作 EG1O，过 FO12，四边形 EHF 是矩形，GEF=2,O1G,O1E=1，221 2 041 2 0281(2 23)3 6 03 6 0321 648233334233A EF B5 34612GE,；O1G0，AO1E=
16、3，同理BO2=30,阴影部分的面积S 矩形ABO212扇形 AO1ES梯形 EFOO1=312=(2+3)3 考点:1。扇形面积的计算；2。矩形的性质 10.（201山东烟台第 18 题)如图,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形。已知,取的中点，过点作交弧于点,点是弧上一点,若将扇形沿翻折,点恰好与点重合。用剪刀沿着线段依次剪下，则剪下的纸片(形状同阴影图形）面积之和为 。【答案】36108【解析】试题解析：如图，CDA,DCAOB0,OA=O=OB=6,OC=O=OD,ODCB=30，作 D于点 E，321112O GO E230136012325 346AOB6OA
17、OACCOACDABDFABBODODBFFADFBD,1212扇形 ACB(阴影部分）=4,则弓形CB 胶皮面积为(32+4）cm2 考点:。垂径定理的应用；2.扇形面积的计算 1.(017 郴州第 1题）已知圆锥的母线长为,高为，则该圆锥的侧面积为 (结果保留）.【答案】15 考点:圆锥的计算。13。（2017 哈尔滨第8 题）已知扇形的弧长为，半径为 8,则此扇形的圆心角为 。【答案】0【解析】试题分析:设扇形的圆心角为 n,则=4,解得，n=90，故圆心角为0。考点：弧长的计算 14(2017 黑龙江绥化第 16 题）一个扇形的半径为，弧长为,则此扇形的面积为 （用含的式子表示）【答案】3。【解析】220360785 cm4 cm2cm4p8180n3 cm2 cm2cm