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1、 27 大题训练 考点四 圆锥曲线 真题再现：1（2004 浙江）已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A(1,0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M(m,0)到直线 AP 的距离为 1，（1）若直线 AP 的斜率为 k，且|k|3,33,求实数 m 的取值范围；（2）当 m=2+1 时，APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲线的方程。2（2005 浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，长轴 A1A2的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程；()若直线 l1：xm(|m|1)，P 为 l1上的动点，使F1PF2最大的
2、点 P 记为 Q，求点 Q的坐标(用 m 表示)27 3（2006 浙江）如图，椭圆2222byax1（ab0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e=23.()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF2的中点，求证：ATM=AF1T.4（2007 浙江）如图，直线ykxb与椭圆2214xy交于AB，两点，记AOB的面积为S（I）求在0k，01b的条件下，S的最大值；（II）当2AB，1S 时，求直线AB的方程 A y x O B（第 20 题）27 5（2008 浙江）已知曲线C是到点1 32 8P，和到直线58y 距离
3、相等的点的轨迹 l是过点(10)Q ，的直线，M是C上（不在l上）的动点；AB，在l上，MAl，MBx轴（如图）（）求曲线C的方程；（）求出直线l的方程，使得2QBQA为常数 样题示范：1（2006 例卷 4）如图，已知)(2,2caaFGcEF，且0,2EGHPEGEH)(为动点G（I）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；（II）若点P的轨迹上存在两个不同的点BA,，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，则)(2中点为EFOacOC；（III）若OMcOFa且点P的轨迹上存在点Q，使得0OMOQ求点P的轨迹的离心率e的取值范围（中点为EFO）A B O Q y x
4、l M（第 20 题）G P H E O F 27 2（2007 例卷 3）)0,(mA，直线AB交抛物线xy42于BD,两点，点C与点D关于x轴对称，以BC为直径的圆与直线mx 相切于点M（1）求证：1m（2）若ABC的面积为 16，求切点M的坐标 3（2007 例卷 4）已知点A的坐标为)0,3(，CB,两点在线段：)33(0yx上滑动，且BC长为 2（1）求ABC的外心P的轨迹方程；（2）设直线bxyl 3:与P点的轨迹交于FE,两点，原点O到直线l的距离为d，求dEF|的最大值，并求出此时的b值 27 4（2007 样卷）设),(00yxM为一定点，且1,0,00000yxyx，过M的
5、动直线与曲线:Cxy1交于两点),(),(222111yxPyxP，求曲线C在21,PP两点处切线交点的轨迹方程。5（2008 样卷）如图，已知)1,0)(0,(),0,1(tttBA，点P在直线tx1上，点Q在直线AP上，且ABBQAPPQ（1）当ABC是正三角形时，求t的值；（2）求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。O P Q A B 27 6（2009 样卷）分类研究：一点差法：1（2005 全国 3）设),(),(2211yxByxA两点在抛物线22xy 上，l 是 AB 的垂直平分线.（）当且仅当21xx 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；（）当直线 l
6、的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.27 2（2005 湖北）设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点 N（1，3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.（）确定的取值范围，并求直线 AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上？并说明理由.二定点、定直线、定值 1（2005 山东）已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p.（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出
7、该定点的坐标 27 2（2008 安徽）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F （）求椭圆C的方程；（）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足|PBAQQBAP，证明：点Q总在某定直线上 3已知椭圆 C 的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（）求椭圆 C 的方程；（）设直线xmy1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线1A P与2A Q交于点 S。试问：当 m变化时，点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。27 4（2005 全国
8、1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在x轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA 与)1,3(a共线 （）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值 5椭圆1162522yx上任意一点 P 与过中心的弦 AB 的两端点 A，B 连线 PA，PB 与对称轴不平行，(P 在第一象限)，（1）求证：直线 PA，PB 的斜率之积为定值.（2）若 AB 和 x 轴重合 AP 交 y 轴于 M，BP 交 y 轴于 N，O 为椭圆的中心，求证：ONOM 为定值.（3）求四边形 BPMO 的面积的最大值.Y x B P O N A
9、 O M 27 6（2007 湖北）在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由 7已知抛物线 C:)0(22ppxy上横坐标为4 的点到焦点的距离为 5.（）求抛物线 C 的方程；（）设),(11yxA，),(22yxB是抛物线 C 上任意两点，且ayy|21（0a，且a为常数）.过弦 AB 的中点 M 作垂直于y轴的直线交抛物线于点 D，连结 AD、BD 得到A
10、BD，求证：ABD的面积为定值。A B x y N C O 27 三最值问题 1（2005 全国 2）P、Q、M、N 四点都在椭圆1222yx上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0 MFPF求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值 2，已知ABC的顶点 A、B 在椭圆./,2:,4322lABxylCyx且上在直线点上 （1）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及ABC的面积；（2）当90ABC，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程。27 3已知椭圆12322yx的左、右焦点分别为21,FF过1F的直线交椭圆于DB,两点，过2
11、F的直线交椭圆于CA,两点，且BDAC，垂足为P（）设P点的坐标为00,yx，证明：1232020yx；（）求四边形ABCD的面积的最小值 4（2007陕西）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于BA,两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值 27 5已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴上运动，且8AB，动点P满足35APPB，设点P的轨迹为曲线C，定点)0,4(M，直线PM交曲线C于另外一点Q (1)求曲线C的方程；(2)求OPQ面积的最大值 6（2008 湖南）若 A、B 是
12、抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02.（I）证明：点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.27 7（2009 桐乡一中）椭圆)0(12222babyax右焦点为)0,1(F，过点)2,0(P交椭圆于BA,，FAB的周长的最大值为8，),1(aQ，O为原点（1）求ba,的值；（2）求QAB
13、面积的最大值；（3）若存在椭圆一点N使四边形OANB为平行四边形，求直线AB的方程 8BA,是椭圆1162522yx上两点，且OBOA，求三角形AOB面积的最小值 9如图，P是抛物线xy22上的动点，点CB,在y轴上，圆1)1(22yx内切于 PBC，求PBC面积的最小值。B A P y x F O 27 四参数取值 1（2008 福建）如图、椭圆)0(12222babyax的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有222ABOBOA，,
14、求 a 的取值范围.2已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴顶点为0,1,短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点(0,)Pm,与椭圆C交于不同的两点A、B，且PBAP3 （）求椭圆C的离心率及其标准方程；（）求实数m的取值范围 27 3已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆，其离心率22e，且经过抛物线24xy的焦点。（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点 B（2，0）的直线 l 与椭圆交于不同的亮点 E、F(E 在 B、F 之间)且BEBF，试求实数的取值范围。4（2005 天津）抛物线 C 的方程为)0(2aaxy，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x00)作斜率为
15、 k1,k2的两条直线分别交抛物线C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012且kk（）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程（）设直线 AB 上一点 M，满足MABM，证明线段 PM 的中点在 y 轴上（）当=1 时，若点 P 的坐标为（1，-1），求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标1y的取值范围 27 5（2007 福建）直线:1l x ，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且FQFPQFQP（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAF，2MBBF，求12的值；6如图，A 为椭圆
16、22221(0)xyabab上的一个动点，弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2，当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有 AF1：AF23：1.()求椭圆的离心率；()设111222,AFF B AFF C.当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时，求12的值；当 A 点为该椭圆上的一个动点时，试判断是12否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.A B C x y F1 F2 27 7过点 T（2，0）的直线2:myxl交抛物线 y2=4x 于 A、B 两点.（I）若直线 l 交 y 轴于点 M，且,21BTMBATMA当 m 变化时，求21的值；（II）设 A、B 在直线nxg:上的射影为 D、E
17、，连结 AE、BD 相交于一点 N，则当 m变化时，点 N 为定点的充要条件是 n=2.8已知1F、2F分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足1212FFNF，122FF.设A、B是上半部分椭圆上满足NANB的两点，其中1 1,5 3.（）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；（）过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围。27 9椭圆1222 yx，直线l过m,0与椭圆交于BA,两点，若OPOBOA4，求m的取值范围。五：切线型：1（2004 福建）P 是抛物线 C：221xy
18、上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点Q（）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求SQSTSPST的取值范围 27 2（2004 湖南）如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。()设点 P 分有向线段AB所成的比为，证明QBQAQP()设直线AB 的方程是 x2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程。3点A),(00yx在抛物
19、线2xy 上运动，过点A作A处切线的垂线交抛物线于另一点B，直线AB于y轴的交点是P，O是原点，（1）问OAP是否能构成等边三角形，若能，求出A点坐标；若不能，说明理由。（2）当0 x为何值时，OAB的面积最小 O B A y x P Q 27 4（2006 全国 2）已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AFFB（0）过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明FM AB为定值；（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf()的表达式，并求 S 的最小值 5（2007 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2y
20、x相交于AB，两点一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l yc 交于点PQ，（1）若2OA OB，求c的值；（5 分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5 分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由（4 分）A B C P Q O x y l 27 6（2008 山东）如图，设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过 M引抛物线的切线，切点分别为 A，B.（）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时，4 10AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB
21、 的对称点 D在 抛 物 线22(0)xpy p上，其 中，点 C 满 足OCOAOB（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.7如图，曲线)0(2:)0,0(1:2222221ppyxCyabbyaxC与抛物线的交点分别为A，B，曲线C1与抛物线C2在点A处的切线分别为.,2121kkll和且斜率分别为和 （I）pkk是否与21无关？若是，给出证明；若否，给以说明；（II）若222),2,0(baDyl当轴的交点为与取得最小值 9 时，求曲线 C1与抛物线C2的方程。27 8（2005 湖南）已知椭圆 C：22ax22by1（ab0）的左右焦点为 F
22、1、F2，离心率为e.直线 l：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点F1关于直线 l 的对称点，设AMAB.（）证明：1e2；（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.9（2005 江西）设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.27 六几点性质：1过定点)0,(mP的动直线与抛物线pyx22交于BA,两点，抛物线过两点的切线交点为M，两条切线的斜率分别为2
23、1,kk。求证：PMkkk221 2抛物线)0(22ppxy的准线l与x轴交于A，焦点为F，（1）过A作直线交抛物线于CB,，求证CFBFkk为定值；（2）过F作直线交抛物线于NM,，若P是l上任一点，求证：PNPFPMkkk,成等差数列。27 3),(00yxP是抛物线)0(22ppxy上一个定点，BA,上抛物线上两个动点，且满足mmkkPBPA(为定值），（1）求证直线AB过定点；（2）在椭圆中是否有类似的结论？4QP,是椭圆12222byax上两个动点，A是右顶点，且满足mmkkQAPA(为定值），求证：直线PQ过定点 27 七轨迹问题 1（2006 陕西）如图,三定点 A(2,1),B
24、(0,1),C(2,1);三动点 D,E,M 满足AD=tAB,BE=t BC,DM=t DE,t0,1.()求动直线 DE 斜率的变化范围;()求动点 M 的轨迹方程.2（2007 天津）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF（）证明2ab；（）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程 y x O M D A C 1 1 2 1 2 B E 27 3（2008 上海）设)0(),(bbaP是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点
25、),1(b的直线.记Q是直线l与抛物线pyx22)0(p的异于原点的交点.（1）已知2,2,1pba.求点Q的坐标；（2）已知点)0(),(abbaP在椭圆1422 yx上，abp21.求证：点Q落在双曲线14422yx上；（3）已知动点),(baP满足0ab，abp21.若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.八双曲线：1设点00,P xy在直线,01xm ymm 上，过点P作双曲线221xy的两条 切 线PAPB、，切 点 为AB、，定 点M(m1，0)（1）过点A作直线0 xy的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程；（2）求证：AMB、三点共线 27 2双曲线)0,0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，左右顶点分别为21,AA，直线l过2F且与右支交于QP,两点，直线21,PAPA的斜率之积为为 1（1）求双曲线离心率；（2）若直线2PA与右准线交于B，问QBA,1是否共线并证明；（3）连结QF1交左支于M，求1F分MQ的比的取值范围。3双曲线1322yx左顶点为A，右焦点为F，P是双曲线右支上一点，问是否存在常数，使PAFPFA O M B 2A 1A 2F 1F Q P y x