《多次相遇问题44799.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多次相遇问题44799.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、v1.0 可编辑可修改 11 “多次相遇问题”剖析 一、直线型 直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型 两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a 处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了 1 个全程，到达对岸 b 后两人转向第二次迎面相遇在 c
2、 处，共走了 3 个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍。之后的每次相遇都多走了 2 个全程。所以第三次相遇共走了 5 个全程，依次类推得出：第 n 次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S 为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍，分开看每个人都是 2 倍关系，经常可以用这个 2 倍关系解题。即对于甲和乙而言从 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍。v1.0 可编辑可修改 22 相遇次数 全程个数 再走全程数 1 1 1 2 3 2 3 5 2 4 7 2 n 2n-1 2 2、背面追及相遇 与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从 A、
3、B 两地同时出发，如下图，此时可假设全程为 4 份，甲 1 分钟走 1 份，乙 1 分钟走 5 份。则第一次背面追及相遇在 a处，再经过 1 分钟，两人在 b 处迎面相遇，到第 3 分钟，甲走 3 份，乙走 15 份，两人在 c 处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是 1 个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为 3 个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍，单看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍。依次类推，得：第 n 次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。(二)单岸型 单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况
4、。1、迎面碰头相遇：v1.0 可编辑可修改 33 如下图，假设甲、乙两人同时从 A 端出发，假设全程为 3 份，甲每分钟走 2 份，乙每分钟走 4 份，则甲乙第一次迎面相遇在 a 处，此时甲走了 2 份，乙走了 4 份，再过 1分钟，甲共走了 4 份，乙共走了 8 份，在 b 处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第 n 次碰头相遇时，两人的路程和为 2ns。2、背面追及相遇 与迎面相遇相似，假设全程为 3 份，甲每分钟走 1 份，乙每分钟走 7 份，则第一次背面相遇在 a 处，2 分钟后甲走了 2 份，乙走了 14 份，两人在 b 处相遇。第一次相遇，两人走的路
5、程差为 2S，第二次相遇两人走的路程差为 4S，依次类推，可以得出：当第 n次追及相遇时，两人的路程差为 2ns。“直线型”总结(熟记)两岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。单岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和为 2ns。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差为 2ns。v1.0 可编辑可修改 44 下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：模型一：根据 2 倍关系求 AB 两地的距离。【例 1】甲、乙两人在 A、B 两地间往返散步，甲从 A，乙从 B 同时出发，第一次相遇点距 B 60 米，当
6、乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇。A、B 相距多少米 A、150 B、170 C、180 D、200 【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在 a 处，第二次相遇在 b 处，aB 的距离为60，Ab 的距离为 10。以乙为研究对象，根据 2 倍关系，乙从 a 到 A，再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍，即为 602=120 米，Ab 为 10，则 Aa 的距离为 120-10=110 米，则 AB 距离为 110+60=170 米。模型二：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例 2】甲、乙两人在长 30 米的泳池内游泳，甲每分钟游米，乙每分钟游米。两人同时分别从泳池的两端出发
7、，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则 从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次 A、2 B、3 C、4 D、5 v1.0 可编辑可修改 55 模型三：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求 AB 两地的距离。【例 3】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行 20 千米，乙车每小时行 50 千米，已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的地点相距60 千米，则 A、B 相距多少千米 A、95 B、100 C、105 D、110 【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为 20：50=2：5。将全程看成 7份，则第一次
8、相遇走 1 个全程时，甲走 2 份，乙走 5 份。以甲为研究对象(也可以以乙)，第 10 次迎面相遇走的全程数为 210-1=19 个，甲走 1 个全程走 2 份，则走 19 个全程可走 192=38 份。7 份是一个全程，则 38 份共有 387=53 份(当商是偶数时从甲的一端数，0 也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第 1 个全程在乙的一端，第 2个全程在甲的一端)从乙端数 3 份。同理当第 18 次相遇，甲走的份数为(218-1)2=70份。共有 707=10 个全程，10 为偶数在甲的端点。如下图：则第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米，所以 AB 长为
9、(60/4)7=105 千米。v1.0 可编辑可修改 66 点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 36 千米，已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇的地点相距 40千米，则 A、B 相距多少千米 A、90 B、180 C、270 D、110 【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，
10、甲、乙路程比为 45：36=5：4，则将全程分成 9 份。则一个全程时甲走 5 份，乙走 4 份。以甲为研究对象，第 2 次相遇，走的全程数为 22-1=3 个，则甲走的份数为 35=15 份，一个全程为 9 份，则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 159=16 份，则从乙端数 6 份。第 3 次相遇走的份数为(23-1)5=25 份，转化为全程的个数为 259=27，则从甲端数 7 份。如下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40 千米，则 AB 相距(40/4)9=90 千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为
11、相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为 36：45=4：5。如下图：v1.0 可编辑可修改 77 根据路线图看出甲乙第 2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O，根据三角形相似，可得 CE:EG=3:6=1:2，则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S/3，同理 DO:ON=7：2，则第 3次相遇距 A 地的比例为 7S/9，则两次相遇比例为为 40 千米，则 S=90千米。点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的
12、提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。模型四：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用 s-t 图形成“沙漏”模型速解。【例 5】A、B 两地相距 950 米。甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时。甲步行，每 分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近。A、1 B、2 C、3 D、4 v1.
13、0 可编辑可修改 88 【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为 150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为个。对于单岸型，相遇 6 个全程，则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出 s-t 图：观察上图可知，可第 3 次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。而在三次迎面相遇中第 2 次相遇离 B 地最近，并且可根据三角形相似求出离 B地的距离。【例 6】河道赛道长 120 米，水流速度为 2 米/秒，甲船静水速度为 6 米/秒，乙船静水速度 为 4 米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇 A、
14、48 B、50 C、52 D、54 【答案及解析】C。由题知，得出如下关系：顺流 逆流 甲 8(15)4(30)乙 6(20)2(60)注：()中为走完全程的时间。v1.0 可编辑可修改 99 假设 A 到 B 是顺流，由上表可知甲、乙两人第 2 次迎面相遇共有 4 个全程。由于甲的速度快，则第 2 次相遇前甲已走了 2 个全程。共 15+30=45 秒。当第 45 秒时乙走了一个顺流全程 20 秒和 25 秒的逆流，走的路程为 252=50 米，则在剩余的 70 米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为 t，则有 70=(8+2)t，求得 t=7 秒，则共用时间 45+7=52秒。本题同样可用“
15、沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：顺流 逆流 甲 3 6 乙 4 12 根据时间的关系，得出 s-t 图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在 P 点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外 EP 段为顺流，根据三角形相似可求出走 EP 用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走 EP 用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52。v1.0 可编辑可修改 1010 二、环型 环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分开讨论如
16、下：(一)甲、乙两人从 A 地同时反向出发：如下图，一个周长分成 4 份，假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B，乙是逆时针每分钟走 3 份到 B，则第一次相遇两人走了 1 个周长，则再过 1 分仲，甲再走 1 份到 C，同样乙走 3 份也到 C，则第二次相遇共走了 2 个周长，依次类推，可得出：第 n 次迎面相遇共走了 n 圈。(二)甲、乙两人从 A 地同时同向出发：如下图，全程分成 4 份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走 1 份，乙每分钟走 5 份，则 1 分钟后两人在 B 处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为 1 个周长。再过 1 分钟后，甲到 C 处，乙也到 C 处，两人
17、第二次背面追及相遇，多走的路程差同样为一个周长，依次类推，可以得出：第 n 次背面追及相遇，路程差为 n 圈。v1.0 可编辑可修改 1111 环型多次相遇问题相对比较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。比如在直径两端出发。考生可通过下面的例题把握。【例 1】老张和老王两个人在周长为 400 米的圆形池塘边散步。老张每分钟走 9 米，老王每分钟走 16 米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇 A、33 B、45 C、48 D、56 【答案及解析】C。第一次迎面相遇时间为 400(9+16)=16，则第三次迎面相遇时间为 163=48。【例 2】小明、小亮从
18、 400 米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替调转方向，小明速度 3 米/秒，小亮速度 5 米/秒，则在两人第 30 次相遇时小明共跑了多少米 A、11250 B、11350 C、11420 D、11480 【答案及解析】A。由题意知，第 1 次是迎面相遇，第 2 次是背面追及相遇，之后都是迎面与背面相遇交替。则在 30 次相遇中，迎面相遇 15 次，背面相遇 15 次。迎面相遇一次用时为 400(3+5)=50，背面相遇一次用时为 400(5-3)=200，则 30 次相遇共用时为 15(50
19、+200)=3750s，则小时在这段时间里跑的路程为 37503=11250 米。v1.0 可编辑可修改 1212 【例 3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米 A、320 B、360 C、420 D、480 【答案及解析】D。如下图，假设甲、乙分别在直径 A、B 两端以顺时针和逆时针运动。第 1 次相遇在 C 点距 B 点 100 米，第 2 次相遇在 D 点，距 A 点 60 米。当在直径端点两岸行走时，可将环型转化为直线型，则第 2
20、次相遇每个人走的路都是第 1 次相遇的 2 倍。以乙为研究对象，则从 C 到 D 走的路是 B 到 C 的 2 倍，即 200 米，因 AD 为 60 米，则 CA 为 200-60=140 米，所以半个周长为 100+140=240 米，周长为2402=480 米。总结 对于多次相遇问题，近几年随着题目难度的上升，会逐渐成为考试的主角。考生在备考中要有意识的培养上述几种模型的解题技巧，尤其是直线型的多次相遇问题，对于给定两者速度的题目，且相遇次数较少时能熟练运用“沙漏模型”解题，可直观有效地提高解题的速度。对于环型，不像直线型那么复杂，注意处理好相遇次数，是迎面还是追及相遇，运用公式可快速解题。最后希望上述几种模型的解题技巧对各位考生能起到抛砖引玉的作用，同时祝各位充分备考的考生能取得一个理想的成绩！