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1、P v vx vy 涉及的公式：22yxvvv xyvvtan v v水 v船 船vdtm in，sindx 水船vvtan d 第五章 平抛运动 5-1 曲线运动&运动的合成与分解 一、曲线运动 1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。3.特点：方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。F合0，一定有加速度 a。F合方向一定指向曲线凹侧。F合可以分解成水平和竖直的两个力。4.运动描述蜡块运动 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。2.互成角度
2、的两个分运动的合运动的判断：两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。两初速度为 0 的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。两个初速度不为 0 的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。三、有关“曲线运动”的两大题型（一）小船过河问题 模型一：过河时间 t 最短：模型二：直接位移 x 最短：模型三：间接位移 x 最短：触类旁通1(20
3、11 年上海卷)如图 54 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为时，船的速率为（C）。d v v水 v船 当 v水v船时，Lvvdx船水cosmin，sin船vdt，水船vvcos sin)cos-(min船船水vLvvs v船 d sin.vA sin.vB cos.vC cos.vD 解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故 v船v cos，C 正确 2(2011 年江苏卷)如图 55
4、所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OAOB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为(C)At甲t乙 D无法确定 解析：设游速为v，水速为v0，OAOBl，则t甲lvv0lvv0；乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图 4 所示，合速度必须沿OB方向，则t乙2lv2v20，联立解得t甲t乙，C 正确（二）绳杆问题(连带运动问题)1、实质：合运动的识别与合运动的分解。2、关键：物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；沿绳（或杆）方向的分
5、速度大小相等。模型四：如图甲，绳子一头连着物体 B，一头拉小船 A，这时船的运动方向不沿绳子。处理方法：如图乙，把小船的速度 vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为 v1和 v2，v1就是拉绳的速度，vA就是小船的实际速度。触类旁通如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是(C）A物体做匀速运动，且 v2v1 B物体做加速运动，且 v2v1 C物体做加速运动，且 v2v1 D物体做减速运动，且 v2r，联立式解得r4743gv20.思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和
6、竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动，应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。例：如图 1 所示，排球场总长为 18m，设球网高度为 2m，运动员站在离网 3m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。（不计空气阻力）（1）设击球点在 3m 线正上方高度为处，试问击球的速度在什么范围内才能使球即不触网也不越界（2）若击球点在 3m 线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多大，考点一：沿初速度方向的水平位移：根据mamgatbtvssin,21,20.sin20gbvs 考点二：入射的初速度：.2sin,21,sinsin002bgvtvata
7、bgmmga 考点三：P 到 Q 的运动时间：.sin2,21,sinsin2gbttabgmmga 5-3 圆周运动&向心力&生活中常见圆周运动 一、匀速圆周运动 1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。2.特点：轨迹是圆；线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。3.描述圆周运动的物理量：（1）线速度 v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢
8、量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是 m/s，匀速圆周运动中，v 的大小不变，方向却一直在变；（2）角速度是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是 rads；（3）周期 T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是 s；（4）频率 f 是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是 Hz；（5）转速 n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为 r/s，以及 r/min 4.各运动参量之间的转换关系：5.三种常见的转动装置及其特点：模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动 触类旁通1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水
9、平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则(AC)AA球的角速度必小于B球的角速度 BA球的线速度必小于B球的线速度 CA球的运动周期必大于B球的运动周期 DA球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 解析：小球 A、B 的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传送。则可以知道，两个小球的线速度 v 相同，B 错；因为 RARB，则AB,TATB,正确；又因为两小球各方面条件均相同，所以，两小球对筒壁的压力相同，D 错。所以 A、C 正确。r R O B A BABABATTrRvv,A B O r R O rRTTRrvv
10、ABABBA,A B r2 r1 ABBABAnnrrTTvv2121,2、两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示，AB 两点的半径之比为 2:1，CD 两点的半径之比也为 2:1，则 ABCD 四点的角速度之比为 1122 ，这四点的线速度之比为 2142 。二、向心加速度 1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改变线速度的方向而非大小。3.意义：描述圆周运动速度方向
11、方向改变快慢的物理量。4.公式：.)2(22222rnrTvrrvan 5.两个函数图像：触类旁通1、如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车 A，小车下装有吊着物体 B 的吊钩。在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体 B 向上吊起。A、B 之间的距离以 d=H2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中 H 为吊臂离地面的高度)规律变化。对于地面的人来说，则物体做(AC)速度大小不变的曲线运动 速度大小增加的曲线运动 加速度大小方向均不变的曲线运动 加速度大小方向均变化的曲线运动 2、如图所示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为 R，OB 沿竖直方向
12、，上端 A 距地面高度为 H，质量为 m 的小球从 A 点由静止释放，到达 B 点时的速度为，最后落在地面上 C 点处，不计空气阻力，求：(1)小球刚运动到 B 点时的加速度为多大，对轨道的压力多大；(2)小球落地点 C 与 B 点水平距离为多少。三、向心力 1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。2.方向：总是指向圆心。3.公式：.)2(22222rnmrTmmvrmrvmFn 4.几个注意点：向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向心力也是变力。在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。描述做匀
13、速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。四、变速圆周运动的处理方法 1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。2.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：rmrvmFn22。合外力沿切线方向的分力产生切线加速度：FT=maT。O O an an r r v 一定 一定 A B 3.离心运动：（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足 F供=F需=m2r 时，物体做圆周运动；当 F供F需=m2r 时，物体做离心运动。（2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是 F供gR 小球固定在轻杆的一端在竖
14、直平面内转动 杆对球可以是拉力也可以是支持力 若 F0，则 mgmv2R，vgR 若 F 向下，则 mgFmv2R，vgR 若 F 向上，则 mgFmv2R或 mgF0，则 0vgR 小球在竖直细管内转动 管对球的弹力FN可以向上也可以向下 依据 mgmv20R判断，若 vv0，FN0；若 vv0，FN向下 球壳外的小球 在最高点时弹力FN的方向向上 如果刚好能通过球壳的最高点 A，则 vA0，FNmg 如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力 FN0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动 六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析（一）解题步骤：明确研究对象；定圆心找半
15、径；对研究对象进行受力分析；对外力进行正交分解；列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；解方程并对结果进行必要的讨论。（二）典型模型：I、圆周运动中的动力学问题 谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。模型一：火车转弯问题：FN a、涉及公式：LhmgmgFsinmgtan合 RvmF20合，由得：LRghv 0。b、分析：设转弯时火车的行驶速度为 v，则：模型二：汽车过拱桥问题：触类旁通1
16、、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为，如图所示，弯道处的圆弧半径为 R，若质量为 m 的火车转弯时速度小于，则(A)A内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C这时铁轨对火车的支持力等于 D这时铁轨对火车的支持力大于 解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为gRtan。2、如图所示，质量为 m 的物体从半径为 R 的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为 v。若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是 f，则物体与碗的动摩擦因数为（B）。A、mgf B、2mvmgRfR C、2mvmgRfR D、2mvfR 解析：
17、设在最低点时，碗对物体的支持力为 F，则RvmmamgF2，解得RvmmgF2，由 f=F 解得Rvmmgf2，化简得2mvmgRfR，所以 B 正确。II、圆周运动的临界问题 A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题 谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：a、涉及公式：RvmFmgN2,所以当mgRvmmgFN2，此时汽车处于失重状态，而且 v 越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜告诉行驶。b、分析：当gRvR
18、vmmgFN2：（1）gRv，汽车对桥面的压力为 0，汽车出于完全失重状态；（2）gRv 0，汽车对桥面的压力为mgFN0。（3）gRv，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。c、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足RvmmgFN2，汽车对桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）（1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于 0，小球的重力提供向心力。即：gR2临界临界vRvmmg。（2）小球能过最高点的条件：时当gR.gRvv，绳v v v O 绳R b a O 模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：模型
19、五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：触类旁通1、如图所示，质量为 kg 的小杯里盛有 1 kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为 1 m，小杯通过最高点的速度为 4 m/s，g 取 10 m/s2，求：(1)在最高点时，绳的拉力 (2)在最高点时水对小杯底的压力(3)为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最高点的临街速度.0临界v（2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当 v=0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 FN，其大小等于小球的重力，即 FN=mg；当gR0v时，轻杆
20、对小球的支持力的方向竖直向上，大小杆v 甲 v 乙 当gRv时，FN=0；当gRv时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。（3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况：当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；当gR0v时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力 FN，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是gFNm0；当gRv时，FN=0；当gRv时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而两种情况：（1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度 v的限制条件是.gRv
21、Q P M O L A F 答案：(1)9 N，方向竖直向下；(2)6 N，方向竖直向上；(3)m/s=m/s 2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使其做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是(AB )Aa 处为拉力，b 处为拉力 Ba 处为拉力，b 处为推力 Ca 处为推力，b 处为拉力 Da 处为推力，b处为推力 3、如图所示，LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为 5m，MPQ 是一半径 R=的半圆，QOM 在同一竖直面上，在恒力 F 作用下，质量 m=1kg 的物体 A 从 L 点由静止开始运
22、动，当达到 M 时立即停止用力，欲使 A 刚好能通过 Q 点，则力 F 大小为多少（取 g=10m/s2）解析：物体 A 经过 Q 时，其受力情况如图所示：由牛顿第二定律得：RvmFmgN2 物体 A 刚好过 A 时有 FN=0；解得smgRv/4，对物体从 L 到 Q 全过程，由动能定理得：2212mvmgRLMF，解得 F=8N。B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题 谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。模型六
23、：转盘问题 Q P M mg FN O 处理方法：先对 A 进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发现支持力 N 与 mg 相互抵销，则只有 f 充当该物体的向心力，则有mgfRnmRTmRmRvmF2222)2()2(，接着可以求的所需的圆周等效处理：O 可以看作一只手或一个固定转动点，B 绕着 O 经长为 R 的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。还是先对 B 进行受力分析，发现，上图的 f 在此图中可 O A N mg f 等效为 O B R 【综合应用】1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其
24、边缘上有一点 A，当 A 通过与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动已知轮子的半径为 R，求：(1)轮子的角速度满足什么条件时，点 A 才能与质点 B 相遇(2)轮子的角速度满足什么条件时，点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同 解析：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处，则点 A 从 a 处转到 d 处所转过的角度应为2n32，其中n为自然数 由h12gt2知，质点B从O点落到d处所用的时间为t2Rg，则轮子的角速度应满足条件 t(2n32)g2R，其中n为自然数(2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下
25、，因此速度相同时，点 A 必然运动到了 c 处，则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为2n，其中 n 为自然数 转过的时间为)12(nt 此时质点 B 的速度为 vBgt，又因为轮子做匀速转动，所以点 A 的速度为 vAR 由 vAvB 得，轮子的角速度应满足条件Rgn)12(，其中n为自然数 2、(2009 年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛比赛路径如下图所示，赛车从起点 A 出发，沿水平直线轨道运动 L 后，由 B 点进入半径为 R 的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到 C 点，并能越过壕沟已知赛车质量 m kg，通电后以额定功率 P W工作，
26、进入竖直轨道前受到的阻力恒为 N，随后在运动中受到的阻力均可不记图中 L m，R m，h m，x m问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间(取 g10 m/s2)解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律 xv1t，h12gt2，解得：v1xR2h3 m/s 设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得 mgmv22R ，12mv2312mv22mg(2R)解得v3 5gh4 m/s 通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin4 m/s 设电动机工作时间至少为t，根据功能关系 PtFf
27、L12mv2min，由此可得t s.3、如下图所示，让摆球从图中 A 位置由静止开始下摆，正好到最低点 B 位置时线被拉断设摆线长为 L m，摆球的质量为，摆线的最大拉力为 10N，悬点与地面的竖直高度为 H=4m，不计空气阻力，g 取 10 m/s2。求：（1）摆球着地时的速度大小（2）D 到 C 的距离。解析：（1）小球刚摆到 B 点时，由牛顿第二定律可知：lvmmgFBm2，由并带入数据可解的：smvB/4，小球离开 B 后，做平抛运动.竖直方向：221gtlH，落地时竖直方向的速度：gtvy 落地时的速度大小：22yBvvv，由得：./8smv （2）落地点 D 到 C 的距离.358
28、mtvsB 第六章 万有引力与航天 6-1 开普勒定律 一、两种对立学说（了解）1.地心说：（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。2.日心说：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。二、开普勒定律 1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴 R 的三次方与公转周期 T 的
29、二次方的比值都相同，即kkTa,23值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴 a 即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。牛刀小试1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是(AB )。A地心说的参考系是地球 B日心说的参考系是太阳 C地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值 D日心说是由开普勒提出来的 2、开普勒分别于 1609 年和 1619 年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是(B )A所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B对
30、任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大 C在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律 D开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作 6-2 万有引力定律 一、万有引力定律 1.月地检验：检验人：牛顿；结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量 m1和 m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。3.表达式：221rmmGF，).(/1067.62211引力常量kgmNG 4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质
31、量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中 r 指球心间的距离。5.四大性质：普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。6.对 G 的理解：G 是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是22/kgmN。G 在数值上等于两个质量为 1kg 的质点相距 1m 时的相互吸引力大小。G 的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引
32、力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。牛刀小试1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有(B )A不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B可看作质点的两物体间的引力可用 F=221rmmG 计算 C由 F=221rmmG知，两物体间距离 r 减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大 D引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于1011Nm2/kg2 2、下列说法中正确的是(ACD)A总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒 B总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略 C总结出万有引力定律的物理学家是牛顿 D第一次精确测
33、量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许 7.万有引力与重力的关系：(1)“黄金代换”公式推导：当FG 时，就会有22gRGMRGMmmg。(2)注意：重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。牛刀小试设地球表面的重力加速度为 g0
34、，物体在距地心 4 R(R 为地球半径)处，由于地球的作用而产生的重力加速度为 g，则 gg0为(D )A161 B41 C14 D116 8.万有引力定律与天体运动：(1)运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。(2)从力和运动的关系角度分析天体运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即 F需=F万。如图所示，由牛顿第二定律得：2m,LGMFmaF万需，从运动的角度分析向心加速度：.)2(22222LfLTLLvan（3）重要关系式：.)2(222222LfmLTmLmLvmLGMm 牛刀小试1、两颗球形行星 A 和 B 各有一颗卫星 a 和
35、 b，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比=q，则两颗卫星的周期之比等于pqq。2、地球绕太阳公转的角速度为1，轨道半径为 R1，月球绕地球公转的角速度为2，轨道半径为 R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍 解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为321221 RR。3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M2之比21MM=p；火星的半径R1与地球的半径R2之比21RR=q，那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比21gg等于(A )A2qp Bp q2 Cqp Dp
36、 q 9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。模型：如右图所示，在一个半径为 R，质量为 M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为 R/2 的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。根据“思路分析”所述，引力 F 可视作 F=F1+F2：MRMRRMRdGMmF81342342342/3332的小球质量为，
37、因半径为已知,222222212222828728,282RddRdRdGMmRdMmGdGMmFFFRdMmGRdmMGF所以,则挖去小球后的剩余部分对球外质点 m 的引力为222228287RddRdRdGMm。能力提升某小报登载：年月日，国发射了一颗质量为 100kg，周期为 1h 的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的14，月球表面重力加速度约为地球的16，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为103km)证明：因为GMmR2m42T2R，所以T2R3GM，又GMmR2mg得gGMR2，故Tmin
38、2R3GM2R月g月214R地16g地 23R地2g地2错误!s103s。环月卫星最小周期约为，故该报道是则假新闻。6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点 一、解题思路“金三角”关系：（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即 rnmrTmrmrvmmarGMm22222)2(2是本章解题的主线索。（2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即gmgrGMm,2为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。（3）重力与向心力的联系：grTmrmrvmmg,2222为对应轨道处的重力加速度，适用于已知 g 的特殊情况。二、天体质量的估算
39、模型一：环绕型：谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量 G和环形卫星的 v、T、r 中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。已知 r 和 T:.4223222GTrMrTmrMmG 已知 r 和 v:.222GrvMrvmrMmG 已知 T 和 v:.223222GTvMrTmrvmrMmG 模型二：表面型：谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。.22GgRMmgRMmG 变形：如果物
40、体不在天体表面，但知道物体所在处的 g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：.)()(22GhRgMmghRMmG 触类旁通1、(2013福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(A)AGM42r3T2 BGM42r2T2 CGM42r2T3 DGM4r3T2 解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由GMmr2mr42T2可得 GM42r3T2，A 正确。2、(2013全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次
41、发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量G1011Nm2/kg2，月球半径约为103km。利用以上数据估算月球的质量约为(D)A1010kg B1013kg C1019kg D1022kg 解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由GMmr2mr42r2得M42r3GT2，又rR月h，代入数值得月球质量M1022kg，选项 D 正确。3、土星的 9 个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为105 km，公转周期为 18 h 46 min，则土星的
42、质量为 1026 kg。4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为L3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量22332GtLR。5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面
43、的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是(A )AM=GgR2 BM=gGR2 CM=2324GTR DM=GRT2324 解析：月球绕地球运转的周期T与月球的质量无关。三、天体密度的计算 模型一：利用天体表面的 g 求天体密度：.4334,32GRgRMmgRMmG 物体不在天体表面：.4)(334,)(3232GRhRgRMmghRMmG 模型二：利用天体的卫星求天体的密度：.33443434,4323323233222RGTrRGTrRMRMTrmrMmG 变形 四、求星
44、球表面的重力加速度：在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：.22星星星星星星RGMgRmMGmg 牛刀小试（2012 新课标全国卷，21）假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(A)A1dR B1dR C.2RdR D.2dRR 解析：设地球的质量为M，地球的密度为，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度gGMR2，地球的质量可表示为M43R3 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(Rd)为半径的地球的质量为 M43(Rd)
45、3，解得M(RdR)3M，则矿井底部处的重力加速度gGMRd2，所以矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比gg1dR，选项 A 正确，选项 B、C、D 错误。五、双星问题：特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。符号表示：LmmmrLmmmrmvmrvmrmF211221212,1,1.处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：Gm1m2L2m12r1m22r2，由此得出：(1)m1r1m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。(2)由于2T，r1r2L，所以两恒星的质量之和m1m242L3GT2。牛刀小试1、(2010
46、 年全国卷)如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在 O 的两侧引力常量为 G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 T2.已知地球和月球的质量分别为 1024kg 和1022kg.求 T2与 T1两者的平方之比(结果保留两位小数)解析：(1)
47、A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等，且 A 和 B 与 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期因此有 m2rM2R，rRL 联立解得RmmML，rMmML 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：LmMMTmLGMm222，化简得)(23mMGLT.(2)将地月看成双星，由(1)得)(23mMGLT 将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得LTmLGMm222 化简得GMLT32 所以两种周期的平方比值为 212TTMmM错误!.2、(2013山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作
48、用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(B)T T T T 解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由GMmr2mr12；GMmr2Mr22；rr1r2得：GMmr2r2r42T2同理有GkMmnr2nr42T21，解得T1n3kT，B 正确。6-4 宇宙速度&卫星 一、涉及
49、航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度：1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。2.取值范围及运行状态：skm
50、vv/9.71发,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。skmvv/9.71发，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。smvskmvvv/2.11/9.7,21发发即,一般情况下人造地球卫星发射速度。（三）运行速度：1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。2.大小：对于人造地球卫星，,22rGMvrvmrMmG该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行的环绕速度，其大小随轨道的半径 r而 v。3.注意：当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。牛刀小试1、地球的第一宇宙速度约为 8 km/s，某行星的质量是地球的 6 倍