中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案23181.pdf

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1、 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列 初中数学中考特殊四边形证明及计算 一解答题 1（1）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F 求证：AE=CF（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1处，点 B 落在点B1处，设 FB1交 CD 于点 G，A1B1分别交 CD，DE 于点 H，I 求证：EI=FG 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）分析：（1）由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，OA=OC，又由平行线的性质，可得1=2，继而利

2、用 ASA，即可证得 AOECOF，则可证得 AE=CF（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得 A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，继而可证得 A1IECGF，即可证得 EI=FG 解答：证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OA=OC，1=2，在 AOE 和 COF 中，AOECOF（ASA），AE=CF；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，B=D，由（1）得 AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在 A1IE 与 CGF 中，A1IECGF（AA

3、S），EI=FG word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用 2 在 ABC 中，AB=AC，点 P 为 ABC 所在平面内一点，过点 P 分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB交 BC 于点 D，交 AC 于点 F若点 P 在 BC 边上（如图 1），此时 PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC 内（如图 2），ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，P

4、D，PE，PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明 考点：平行四边形的性质 专题：探究型 分析：在图 2 中，因为四边形 PEAF 为平行四边形，所以 PE=AF，又三角形 FDC 为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中，PE=AF 可证，FD=PFPD=CF，即 PFPD+PE=AC=AB 解答：解：图 2 结论：PD+PE+PF=AB 证明：过点 P 作 MNBC 分别交 AB，AC 于 M，N 两点，PEAC，PFAB，四边形 AEPF 是平行四边形，MNBC，PFAB 四边形 BDPM 是平行四边形，AE=PF

5、，EPM=ANM=C，AB=AC，EMP=B，EMP=EPM，PE=EM，PE+PF=AE+EM=AM 四边形 BDPM 是平行四边形，MB=PD PD+PE+PF=MB+AM=AB，即 PD+PE+PF=AB 图 3 结论：PE+PFPD=AB 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 3如图，ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，以 AD 为边作等边 ADE，过点 C 作 CFDE交 AB 于点 F（1）若点 D 是 BC 边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出 A

6、EF 和 ABC 的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、C 外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 专题：证明题 分析：（1）根据 ABC 和 AED 是等边三角形，D 是 BC 的中点，EDCF，求证 ABDCAF，进而求证四边形 EDCF 是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出 AEF 和 ABC 的面积比；（3）根据 EDFC，结合ACB=60，得出ACF=BAD，求证 ABDCAF，得出 ED=CF，进而求证四边形 EDCF 是平行四边形

7、，即可证明 EF=DC 解答：（1）证明：ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，ADBC，且BAD=BAC=30，AED 是等边三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90ADE=9060=30，EDCF，FCB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACBFCB=30，ACF=BAD=30，在 ABD 和 CAF 中，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形 EDCF 是平行四边形，EF=CD word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）解：AEF 和 ABC 的面积比为：1：4；（3）解：成立 理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+B

8、CF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDB AFC=BDA，在 ABD 和 CAF 中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形 EDCF 是平行四边形，EF=DC 点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大 4如图，在菱形 ABCD 中，AB=10，BAD=60 度点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD 边向点 D 移动；设点 M 移动的时间为 t 秒（0t10）（1）点 N 为 BC 边上任意一点，在点 M 移动过程中，线

9、段 MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点 N 从点 B（与点 M 出发的时刻相同）以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC 边向点 C 移动，在什么时刻，梯形 ABNM 的面积最大并求出面积的最大值；（3）点 N 从点 B（与点 M 出发的时刻相同）以每秒 a（a2）个单位长的速度沿着射线 BC 方向（可以超越 C 点）移动，过点 M 作 MPAB，交 BC 于点 P当 MPNABC 时，设 MPN 与菱形 ABCD重叠部分的面积为 S，求出用 t 表示 S 的关系式，井求当 S=0 时的值 考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质 专题：压轴题 分析：（1

10、）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）易得菱形的高，那么用 t 表示出梯形的面积，用 t 的最值即可求得梯形的最大面积（3）易得 MNP 的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可 解答：解：（1）设：BN=a，CN=10a（0a10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0t10）所以，AM=1t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形 AMNB 的面积=（AM+BN）菱形高2=（t+a）菱形高2

11、；梯形 MNCD 的面积=（MD+NC）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2 当梯形 AMNB 的面积=梯形 MNCD 的面积时，即 t+a=10，（0t10），（0a10）所以，当 t+a=10，（0t10），（0a10）时，可出现线段 MN 一定可以将菱形分割成面积相等的两部分 （2）点 N 从点 B 以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC 边向点 C 移动，设点 N 移动的时间为 t，可知0t5，因为 AB=10，BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t 所以梯形 ABNM 的面积=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0t5）所以当 t=5 时，梯形 ABNM 的

12、面积最大，其数值为 （3）当 MPNABC 时，则 ABC 的面积=MPN 的面积，则 MPN 的面积为菱形面积的一半为 25；因为要全等必有 MNAC，N 在 C 点外，所以不重合处面积为（at10）2 重合处为 S=25，当 S=0 时，即 PM 在 CD 上，a=2 点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件 5如图，在下列矩形 ABCD 中，已知：AB=a，BC=b（ab），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（）、（）、（）三个命题：命题（）：图中，若 AH=BG=AB，则四边形 ABGH 是矩形 ABCD 的内接菱形；命题（）：

13、图中，若点 E、F、G 和 H 分别是 AB、BC、CD 和 DE 的中点，则四边形 EFGH 是矩形ABCD 的内接菱形；命题（）：图中，若 EF 垂直平分对角线 AC，变 BC 于点 E，交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，则四边形 AECF 是矩形 ABCD 的内接菱形 请解决下列问题：（1）命题（）、（）、（）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）（3）试探究比较图，中的四边形 ABGH、EFGH、AECF 的面积大小关系 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：菱形的判定与

14、性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理 分析：（1）先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；根据三角形中位线定理得到四条边都相等；先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据 a 与 b 的大小关系，分 a2b，a=2b 和 a2b 三种情况讨论 解答：解：（1）都是真命题；若选（）证明如下：矩形 ABCD，ADBC，AH=BG，四边形 A

15、BGH 是平行四边形，AB=HG，AB=HG=AH=BG，四边形 ABGH 是菱形；若选（），证明如下：矩形 ABCD，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90，E、F、G、H 是中点，AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，AEHBEFDGHGCF，EF=FG=GH=HE，四边形 EFGH 是菱形；若选（），证明如下 EF 垂直平分 AC，FA=FC，EA=EC，又矩形 ABCD，ADBC，FAC=ECA，在 AOF 和 COE 中，ADFCOE（SAS）AF=CE，AF=FC=CE=EA，四边形 AECF 是菱形；word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）如图 4 所示：A

16、H=CF，EG 垂直平分对角线 FH，四边形 HEFG 是菱形；（3）SABGH=a2，SEFGH=ab，S菱形AECF=，a2=0（ba）S菱形AECFSABGH ab=0，S菱形AECFSEFGH a2 ab=a（a b）当 a b，即 0b2a 时，S菱形ABGHS菱形EFGH；当 a=b，即 b=2a 时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；当 a b，即 ba 时，S菱形ABGHS菱形EFGH 综上所述：当 Ob2a 时，SEFGHSABGHS菱形AECF 当 b=2a 时，SEFGH=SABGHS菱形AECF 当 b2a 时 SABGHSEFGHS菱形AECF 点评：本题主要考查了菱形

17、的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点注意第（3）题需要分类讨论，以防错解 6在平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 的延长线于点 F，以 EC、CF 为邻边作平行四边形 ECFG（1）如图 1，证明平行四边形 ECFG 为菱形；（2）如图 2，若ABC=90，M 是 EF 的中点，求BDM 的度数；（3）如图 3，若ABC=120，请直接写出BDG 的度数 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质 分析：（1）平

18、行四边形的性质可得 ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明CEF=CFE，根据等角对等边可得 CE=CF，再有条件四边形 ECFG 是平行四边形，可得四边形 ECFG 为菱形；（2）首先证明四边形 ECFG 为正方形，再证明 BMEDMC 可得 DM=BM，DMC=BME，再根据BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90可得到BDM 的度数；（3）分别连接 GB、GC，求证四边形 CEGF 是平行四边形，再求证 ECG 是等边三角形 由 ADBC及 AF 平分BAD 可得BAE=AEB，求证 BEGDCG，然后即可求得答案 解答：解：（1）证明：AF 平分BAD，BAF=DAF，四边形

19、ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=CFE，CEF=CFE，CE=CF，又四边形 ECFG 是平行四边形，四边形 ECFG 为菱形 （2）如图，连接 BM，MC，ABC=90，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形 ECFG 为菱形，ECF=90，四边形 ECFG 为正方形 BAF=DAF，BE=AB=DC，M 为 EF 中点，CEM=ECM=45，BEM=DCM=135，在 BME 和 DMC 中，BMEDMC（SAS），MB=MD，DMC=BME BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90，BMD 是等腰直角三角形，

20、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 BDM=45；（3）BDG=60，延长 AB、FG 交于 H，连接 HD ADGF，ABDF，四边形 AHFD 为平行四边形，ABC=120，AF 平分BAD，DAF=30，ADC=120，DFA=30，DAF 为等腰三角形，AD=DF，平行四边形 AHFD 为菱形，ADH，DHF 为全等的等边三角形，DH=DF，BHD=GFD=60，FG=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF，在 BHD 与 GFD 中，BHDGFD（SAS），BDH=GDF BDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60 点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与

21、性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法 7在 ABC 中，BAC=90，AB=AC，若点 D 在线段 BC 上，以 AD 为边长作正方形 ADEF，如图 1，易证：AFC=ACB+DAC；（1）若点 D 在 BC 延长线上，其他条件不变，写出AFC、ACB、DAC 的关系，并结合图 2 给出证明；（2）若点 D 在 CB 延长线上，其他条件不变，直接写出AFC、ACB、DAC 的关系式 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：几何综合题

22、 分析：（1）AFC、ACB、DAC 的关系为：AFC=ACBDAC，理由为：由四边形 ADEF 为正方形，得到 AD=AF，且FAD 为直角，得到BAC=FAD，等式左右两边都加上CAD 得到BAD=CAF，再由 AB=AC，AD=AF，利用 SAS 可得出三角形 ABD 与三角形 ACF 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出AFC=ADB，又ACB 为三角形 ACD 的外角，利用外角的性质得到ACB=ADB+DAC，变形后等量代换即可得证；（2）AFC、ACB、DAC 的关系式是AFC+ACB+DAC=180，可以根据DAF=BAC=90，等号两边都减去BAF，可得出DAB=FAC，再由

23、 AD=AF，AB=AC，利用 SAS 证明三角形 ABD与三角形 AFC 全等，由全等三角形的对应角相等可得出AFC=ADB，根据三角形 ADC 的内角和为180，等量代换可得证 解答：解：（1）关系：AFC=ACBDAC，（2 分）证明：四边形 ADEF 为正方形，AD=AF，FAD=90，BAC=90，FAD=90，BAC+CAD=FAD+CAD，即BAD=CAF，（3 分）在 ABD 和 ACF 中，ABDACF（SAS），（4 分）AFC=ADB，ACB 是 ACD 的一个外角，ACB=ADB+DAC，（5 分）ADB=ACBDAC，ADB=AFC，AFC=ACBDAC；（6 分）（

24、2）AFC、ACB、DAC 满足的关系式为：AFC+DAC+ACB=180，（8 分）证明：四边形 ADEF 为正方形，DAF=90，AD=AF，又BAC=90，DAF=BAC，DAFBAF=BACBAF，即DAB=FAC，在 ABD 和 ACF 中，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 ABDACF（SAS），ADB=AFC，在 ADC 中，ADB+ACB+DAC=180，则AFC+ACB+DAC=180 点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键 8已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的

25、交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线 BC 运动，连接 DP，作 CNDP 于点 M，且交直线 AB 于点 N，连接 OP，ON（当 P 在线段 BC 上时，如图 1：当 P在 BC 的延长线上时，如图 2）（1）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论：BN=CP；OP=ON，且 OPON；（2）设 AB=4，BP=x，试确定以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系 考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质 专题：代数几何综合题 分析：（1）根据正方形的性质得出 DC=BC，DCB=CBN=90，求出CPD=DCN=CNB，证 DCPCB

26、N，求出 CP=BN，证 OBNOCP，推出 ON=OP，BON=COP，求出PON=COB即可；（2）同法可证图 2 时，OP=ON，OPON，图 1 中，S四边形OPBN=S OBN+S BOP，代入求出即可；图2 中，S四边形OBNP=S POB+S PBN，代入求出即可 解答：（1）证明：如图 1，正方形 ABCD，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DPCN，CMD=DOC=90，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在 DCP 和 CBN 中，DCPCBN，CP=BN，在

27、 OBN 和 OCP 中 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载，OBNOCP，ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90，ONOP，即 ON=OP，ONOP （2）解：AB=4，四边形 ABCD 是正方形，O 到 BC 边的距离是 2，图 1 中，S四边形OPBN=S OBN+S BOP，=（4x）2+x2，=4（0 x4），图 2 中，S四边形OBNP=S POB+S PBN=x2+（x4）x=x2x（x4），即以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系是：点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的

28、应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似 9 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CE=BK=AG （1）求证：DE=DG；DEDG（2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：正方形的性质；全等三角形

29、的判定与性质；平行四边形的判定；作图复杂作图 分析：（1）由已知证明 DE、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明 DEDG；（2）根据正方形的性质分别以点 G、E 为圆心以 DG 为半径画弧交点 F，得到正方形 DEFG；（3）由已知首先证四边形 CKGD 是平行四边形，然后证明四边形 CEFK 为平行四边形；（4）由已知表示出的值 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90 又CE=AG，DCEDAG，DE=DG，EDC=GDA，又ADE+EDC=90，ADE+GDA=90 DEDG （2）解：如图 （3）解：四边形 CEFK 为平行四边形 证明：设

30、 CK、DE 相交于 M 点 四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，ABCD，AB=CD，EF=DG，EFDG，BK=AG，KG=AB=CD，四边形 CKGD 是平行四边形，CK=DG=EF，CKDG，KME=GDE=DEF=90，KME+DEF=180，CKEF，四边形 CEFK 为平行四边形 （4）解：，设 CE=x，CB=nx，CD=nx，DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，BC2=n2x2，=word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证

31、三角形全等得出结论，此题较复杂 10如图，点 P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点，点 E 在射线 BC 上，且 PB=PE，连接 PD，O 为AC 中点（1）如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，试猜想 PE 与 PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图 2，当点 P 在线段 OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图 3，当点 P 在 AC 的延长线上时，请你在图 3 中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形

32、的性质 分析：（1）根据点 P 在线段 AO 上时，利用三角形的全等判定可以得出 PEPD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由 PB=PE，得出 PE=PD，要证 PEPD；从三方面分析，当点 E在线段 BC 上（E 与 B、C 不重合）时，当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，当点 E 在 BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用 PE=PB 得出 P 点在 BE 的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以 P 为圆心，PB 为半径画弧即可得出 E 点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案 解答：解：（1）当点 P 在线段 AO 上时，在 ABP

33、和 ADP 中，ABPADP，BP=DP，PB=PE，PE=PD，过点 P 做 PMCD，于点 M，作 PNBC，于点 N，PB=PE，PNBE，BN=NE，BN=DM，DM=NE，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 在 Rt PNE 与 Rt PMD 中，PD=PE，NE=DM，Rt PNERt PMD，DPM=EPN，MPN=90，DPE=90，故 PEPD，PE 与 PD 的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PEPD；（2）四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线，BA=DA，BAP=DAP=45，PA=PA，BAPDAP（SAS），PB=PD，又PB=PE，PE=PD（i）

34、当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时，PEPD（ii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图 ADPABP，ABP=ADP，CDP=CBP，BP=PE，CBP=PEC，PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD 综合（i）（ii），PEPD；（3）同理即可得出：PEPD，PD=PE 点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 巩固训练：1如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F，连

35、接 AF，CE（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若BAD 的平分线与 FC 的延长线交于点 G，则 ACG 是等腰三角形吗？并说明理由 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质 专题：证明题；几何综合题；探究型 分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，ABE=CDF，AEB=CFD=90，得到 ABECDF，所以 AECF，AE=CF，可证四边形 AECF 为平行四边形；（2）因为 AEFG，得到G=GAE利用 AG 平分BAD，得到BAG=DAG，从而求得ODA=DAO所以CAG=G，可得 CAG 是等腰三角形 解答：（1）证明：矩形 ABC

36、D，ABCD，AB=CD ABE=CDF，又AEB=CFD=90，AECF，ABECDF，AE=CF 四边形 AECF 为平行四边形 （2）解：ACG 是等腰三角形 理由如下：AEFG，G=GAE AG 平分BAD，BAG=DAG 又 OA=AC=BD=OD，ODA=DAO BAE 与ABE 互余，ADB 与ABD 互余，BAE=ADE BAE=DAO，EAG=CAG，CAG=G，CAG 是等腰三角形 点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角

37、形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 2如图，在 Rt ABC 中，BAC=90，E，F 分别是 BC，AC 的中点，延长 BA 到点 D，使 AD=AB连接 DE，DF（1）求证：AF 与 DE 互相平分；（2）若 BC=4，求 DF 的长 考点：平行四边形的判定 专题：计算题；证明题 分析：（1）连接 EF、AE，证四边形 AEFD 是平行四边形即可（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得 AE 长即可 解答：（1）证明：连接 EF，AE 点 E，F 分别为 BC，AC 的中点，EF

38、AB，EF=AB 又AD=AB，EF=AD 又EFAD，四边形 AEFD 是平行四边形 AF 与 DE 互相平分 （2）解：在 Rt ABC 中，E 为 BC 的中点，BC=4，AE=BC=2 又四边形 AEFD 是平行四边形，DF=AE=2 点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 3如图，以 ABC 三边为边在 BC 同侧作三个等边 ABD、BCE、ACF 请回答下列问题：（1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形 考点

39、：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定 专题：证明题；探究型 分析：1、本题可根据三角形全等证得 DE=AF，AD=EF，即可知四边形 ADEF 是平行四边形 2、要使四边形 ADEF 是矩形，必须让FAD=90，则BAC=360906060=150 解答：证明：（1）等边 ABD、BCE、ACF，DB=AB，BE=BC又DBE=60EBA，ABC=60EBA，DBE=ABCDBECBADE=AC 又AC=AF，AF=DE同理可证：ABCFCE，证得 EF=AD 四边形 ADEF 是平行四边形（2）假设四边形 ABCD 是矩形，四边形 ADEF 是矩形，DAF=90 又等边 ABD、

40、BCE、ACF，DAB=FAC=60 BAC=360DAFFACDAB=150 当 ABC 满足BAC=150时，四边形 ADEF 是矩形 点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定 4已知：如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，E、F 分别是 AB、CD 的中点（1）在边 AD 上取一点 M，使点 A 关于 BM 的对称点 C 恰好落在 EF 上设 BM 与 EF 相交于点 N，求证：四边形 ANGM 是菱形；（2）设 P 是 AD 上一点，PFB=3FBC，求线段 AP 的长 考点：菱形的判定；矩形的性质 专题：计算题；证明题 分（1）设 AG 交 MN 于 O，由题意

41、易得 AO=GO，AGMN，要证四边形 ANGM 是菱形，还需证明word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 析：OM=ON，又可证明 ADEFBCMO：ON=AO：OG=1：1，MO=NO；（2）连接 AF，由题意可证得PFA=FBC=PAF，PA=PF，PA=，求得 PA=解答：（1）证明：设 AG 交 MN 于 O，则 A、G 关于 BM 对称，AO=GO，AGMN E、F 分别是矩形 ABCD 中 AB、CD 的中点，AE=BE，AEDF 且 AE=DF，ADEFBC MO：ON=AO：OG=1：1 MO=NO AG 与 MN 互相平分且互相垂直 四边形 ANGM 是菱形 （2）解：连接

42、 AF，ADEFBC，PAF=AFE，EFB=FBC 又EFAB，AE=BE，AF=BF，AFE=EFB PAF=AFE=EFB=FBC PFB=PFA+AFE+EFB=PFA+2FBC=3FBC PFA=FBC=PAF PA=PF 在 Rt PFD 中，根据勾股定理得：PA=PF=，解得：PA=点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5如图 1，在 ABC 中，AB=BC=5，AC=6 ECD 是 ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接 AE、AC和 BE 相交于点 O（1）判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2）如图 2，P 是

43、线段 BC 上一动点（图 2），（不与点 B、C 重合），连接 PO 并延长交线段 AE 于点 Q，QRBD，垂足为点 R四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形 PQED 的面积 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：菱形的判定与性质 专题：动点型；数形结合 分析：（1）利用平移的知识可得四边形 ABCE 是平行四边形，进而根据 AB=BC 可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形 PQED 的面积为三角形 BED 的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可 解答：解：（1）四边形 ABCE 是菱形，证

44、明如下：ECD 是由 ABC 沿 BC 平移得到的，ECAB，且 EC=AB，四边形 ABCE 是平行四边形，（2 分）又AB=BC，四边形 ABCE 是菱形（4 分）（2）由菱形的对称性知，PBOQEO，S PBO=S QEO（7 分）ECD 是由 ABC 平移得到的，EDAC，ED=AC=6，又BEAC，BEED，（8 分）S四边形PQED=S QEO+S四边形POED=S PBO+S四边形POED=S BED=BEED=86=24（10 分）点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键 6如图，已知矩形 ABCD，AD=4，CD=10，P

45、 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点 （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形；（3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由 考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定 分析：（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当 DP=CP 时，四边形 PMEN 是菱形，P 是 AB 的中点，所以可求出 AP 的值 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（3）四边形 PMEN 是矩形的话，DPC 必需为 90，判断一下 DPC 是不

46、是直角三角形就行 解答：解：（1）M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点，MEPC，ENPD，四边形 PMEN 是平行四边形；（2）当 AP=5 时，PA=PB=5，AD=BC，A=B=90，PADPBC，PD=PC，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点，NE=PM PD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四边形 PMEN 是菱形；（3）假设 DPC 为直角三角形 设 PA=x，PB=10 x，DP=，CP=DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10 x）2=102 x210 x+16=0 x=2 或 x=8 故当 AP=2 或 AP=8 时，能够构成直角三角形 点

47、评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质 7如图：矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1（1）判断 BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形 EFPH 的面积 考点：矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质 专题：计算题；证明题 分析：（1）根据矩形性质得出 CD=2，根据勾股定理求出 CE 和 BE，求出 CE2+BE2的值，求出 BC2，根据勾股定理的逆定理求出即

48、可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形 DEBP 和 AECP，推出 EHFP，EFHP，推出平行四边形 EFPH，根据矩形的判定推出即可；（2）根据三角形的面积公式求出 CF，求出 EF，根据勾股定理求出 PF，根据面积公式求出即可 解答：（1）BEC 是直角三角形，理由是：矩形 ABCD，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 ADC=ABP=90，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=，同理 BE=2，CE2+BE2=5+20=25，BC2=52=25，BE2+CE2=BC2，BEC=90，BEC 是直角三角形 （2）解：四边形 EFPH 为矩形，证明

49、：矩形 ABCD，AD=BC，ADBC，DE=BP，四边形 DEBP 是平行四边形，BEDP，AD=BC，ADBC，DE=BP，AE=CP，四边形 AECP 是平行四边形，APCE，四边形 EFPH 是平行四边形，BEC=90，平行四边形 EFPH 是矩形 （3）解：在 RT PCD 中FCPD，由三角形的面积公式得：PDCF=PCCD，CF=，EF=CECF=，PF=，S矩形EFPH=EFPF=，答：四边形 EFPH 的面积是 点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度

50、也适中 8如图，四边形 ABCD 是正方形，点 P 是 BC 上任意一点，DEAP 于点 E，BFAP 于点 F，CHDE于点 H，BF 的延长线交 CH 于点 G（1）求证：AFBF=EF；（2）四边形 EFGH 是什么四边形？并证明；（3）若 AB=2，BP=1，求四边形 EFGH 的面积 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出 AEDBFA，进而得出 AE=BF，即可证明结论；（2）首先得出四边形 EFGH 是矩形，再利用 AEDBFA，同理可得：AEDDHC，进而得出 EF=EH，即