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1、 全国高考卷文科数学试题及答案新课标 The document was prepared on January 2,2021 2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题 第卷 一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合A=1,3,5,7，B=x|2x5，则AB=()A1,3 B3,5 C5,7 D1,7 2设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A-3 B-2 C2 D 3 3为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，
2、则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A13 B12 C23 D56 4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知25,2,cos3acA，则b=()A 2 B3 C2 D3 5直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为()A13 B12 C23 D34 6若将函数y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()A y=2sin(2x+4)B y=2sin(2x+3)C y=2sin(2x4)Dy=2sin(2x3)7如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积
3、是283，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28 8若ab0，0c1，则()Alogaclogbc Blogcalogcb Caccb 9函数y=2x2e|x|在2,2的图像大致为()10执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x 11平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，322233131()sin2sin3f xx-x ax1313131313 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
4、，共 20 分把答案填在横线上 13设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=.输入1,2nxxyny14已知是第四象限角，且 sin(+4)=35，则 tan(-4)=.15设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0 相交于A，B两点，若|AB|=2 3，则圆C的面积为 .16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料，乙材料，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料
5、90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共70 分.17.（本题满分 12 分）已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=31，anbn+1+bn+1=nbn.()求an的通项公式；()求bn的前n项和.18.（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.()证明G是AB的中点；()在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC
6、 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积 19.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.()若n=19，求y与x的函数解析式；()若要
7、求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；()假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 20.（本小题满分 12 分）在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.()求OHON；()除H以外，直线MH与C是否有其它公共点说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(x-
8、2)ex+a(x-1)2.()讨论f(x)的单调性；()若有两个零点，求a的取值范围.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，AOB=120.以O为圆心，12OA为半径作圆.()证明：直线AB与O相切；()点C,D在O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数，a0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中
9、，曲线C2：=4cos.()说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；()直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足 tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.24.（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答题卡第 24 题图中画出y=f(x)的图像；()求不等式|f(x)|1 的解集.2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小
10、题 5 分，共 20 分 1323 1443 154 16216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共70 分.17解：()依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=31，解得a1=2 2 分 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 6 分()由()知 3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以bn是公比为31的等比数列.9 分 所以bn的前n项和Sn=111()313122 313nn 12 分 18()证明：PD平面ABC，PDAB 又DE平面PAB，DEABAB平面PDE 3 分 又PG 平面PDE，ABPG依题PA=PB，G是AB的中点6
11、 分()解：在平面PAB内作EFPA（或EF 7 分 理由如下：PCPA，PCPB，PC平面PAB EF PC 作EFPA，EF平面PAC即F是点E在平面PAC内的正投影.9分 连接CG，依题D是正 ABC的重心，D在中线CG上，且CD=2DG 易知DE223 22 233PG 1433VSDE 12 分 19解：()当x19 时，y=3800；当x19 时，y=3800+500(x-19)=500 x-5700.所以y与x的函数解析式为3800,19(*)5005700,19xyxNxx 3 分()由柱状图知，需更换的易损零件数不大于 18 为，不大于 19 为，所以n的最小值为 19.6
12、分()若每台机器都购买 19 个易损零件，则有 70 台的费用为 3800，20台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，所以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(380070+430020+480010)=4000.9 分 若每台机器都购买 20 个易损零件，则有 90 台的费用为 4000，10 台的费用为 4500，所以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(400090+450010)=4050.11分 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.12 分 20解：()依题M(0,t)，P(22tp,t).所以N(2tp,t
13、)，ON的方程为pyxt.联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty.解得y1=0，y2=2t.4 分 所以H(22tp,2t).所以N是OH的中点，所以OHON=2.6 分()直线MH的方程为2pytxt，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.解得y1=y2=2t.即直线MH与C只有一个交点H.所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.12 分 21解：()f(x)=(x-1)ex+a(2x-2)=(x-1)(ex+2a).xR 2分 (1)当a0 时，在(-,1)上，f(x)0，f(x)单调递增.3 分(2)当a2e，ln(-2a)1，在(ln(-2a),1)上，f(x)
14、0，f(x)单调递增.若a1，在(1,ln(-2a)上，f(x)0，f(x)单调递增.7 分()(1)当a=0 时，f(x)=(x-2)ex只有一个零点，不合要求.8 分(2)当a0 时，由()知f(x)在(-,1)上单调递减；在(1,+)上单调递增.最小值f(1)=-e0，若取b0 且bln2a，eb223(2)(1)()022aba ba bb，所以f(x)有两个零点.10 分(3)当a0 时，在(-,1上，f(x)0 恒成立；若a2e，由()知f(x)在(1,+)上单调递增，不存在两个零点.若ab0，0c1，则()B Alogaclogbc Blogcalogcb Caccb 9函数y=
15、2x2e|x|在2,2的图像大致为()D 10执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()C Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x yyC B yA D 输入1,2nxxyny 11平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，322233131()sin2sin3f xx-x ax13131313 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上 13设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=.23 14已
16、知是第四象限角，且 sin(+4)=35，则 tan(-4)=.43 15设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0 相交于A，B两点，若|AB|=2 3，则圆C的面积为 .4 16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料，乙材料，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.216000 三
17、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共70 分.17.（本题满分 12 分）已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=31，anbn+1+bn+1=nbn.()求an的通项公式；()求bn的前n项和.解：()依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=31，解得a1=2 2 分 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 6 分()由()知 3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以bn是公比为31的等比数列.9 分 所以bn的前n项和Sn=111()313122 313nn 12 分 18.（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥P-ABC
18、的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.()证明G是AB的中点；()在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积()证明：PD平面ABC，PDAB 又DE平面PAB，DEABAB平面PDE 3 分 又PG 平面PDE，ABPG依题PA=PB，G是AB的中点6 分()解：在平面PAB内作EFPA（或EF 7 分 理由如下：PCPA，PCPB，PC平面PAB EF PC 作EFPA，EF平面PAC即F是点E在平面PAC内的正投影.9分 连接CG，依题D是正
19、 ABC的重心，D在中线CG上，且CD=2DG 易知DE223 22 233PG 1433VSDE 12 分 19.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件
20、数.()若n=19，求y与x的函数解析式；()若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；()假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 解：()当x19 时，y=3800；当x19 时，y=3800+500(x-19)=500 x-5700.所以y与x的函数解析式为3800,19(*)5005700,19xyxNxx 3 分()由柱状图知，需更换的易损零件数不大于 18 为，不大于
21、19 为，所以n的最小值为 19.6 分()若每台机器都购买 19 个易损零件，则有 70 台的费用为 3800，20台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，所以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(380070+430020+480010)=4000.9 分 若每台机器都购买 20 个易损零件，则有 90 台的费用为 4000，10 台的费用为 4500，所以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(400090+450010)=4050.11分 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.12 分 20.（本小题满分 12 分）
22、在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.()求OHON；()除H以外，直线MH与C是否有其它公共点说明理由.解：()依题M(0,t)，P(22tp,t).所以N(2tp,t)，ON的方程为pyxt.联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty.解得y1=0，y2=2t.4 分 所以H(22tp,2t).所以N是OH的中点，所以OHON=2.6 分()直线MH的方程为2pytxt，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.解得y1=y2=2t.即直线MH与C只有一个交点H.所以
23、除H以外，直线MH与C没有其它公共点.12 分 21.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.()讨论f(x)的单调性；()若有两个零点，求a的取值范围.解：()f(x)=(x-1)ex+a(2x-2)=(x-1)(ex+2a).xR 2分 (1)当a0 时，在(-,1)上，f(x)0，f(x)单调递增.3 分(2)当a2e，ln(-2a)1，在(ln(-2a),1)上，f(x)0，f(x)单调递增.若a1，在(1,ln(-2a)上，f(x)0，f(x)单调递增.7 分()(1)当a=0 时，f(x)=(x-2)ex只有一个零点，不合要求.8 分(2)当a0
24、时，由()知f(x)在(-,1)上单调递减；在(1,+)上单调递增.最小值f(1)=-e0，若取b0 且bln2a，eb223(2)(1)()022aba ba bb，所以f(x)有两个零点.10 分(3)当a0 时，在(-,1上，f(x)0 恒成立；若a2e，由()知f(x)在(1,+)上单调递增，不存在两个零点.若a0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.()说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；()直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足 tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：()消去参数t得到C1的普通方程x2+(y
25、-1)2=a2.所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆.3 分 将x=cos，y=sin 代入可得C1的极坐标方程为2-2 sin+1-a2=0.5 分()联立2-2 sin+1-a2=0 与=4cos消去得 16cos2-8sin cos+1-a2=0，由 tan=2 可得 16cos2-8sin cos=0.从而 1-a2=0，解得a=1.8 分 当a=1 时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1.10分 24.（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答题卡第 24 题图中画出y=f(x)的图像；()求不等式|f(
26、x)|1 的解集.解：()4,13()32,1234,2xxf xxxxx y=f(x)的图像如图所示.5 分()由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1 时，解得x=1 或x=3.当f(x)=-1 时，解得x=13或x=5.8 分 结合f(x)的图像可得|f(x)|1 的解集为x|x13或 1 x5.10 分 小题详解 一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合A=1,3,5,7，B=x|2x5，则AB=()B A1,3 B3,5 C5,7 D1,7 解：取A，B中共有的元素是3,5，故选 B 2设(1+2i)
27、(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A A-3 B-2 C2 D 3 解：(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选 A 3为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()C A13 B12 C23 D56 解：设红、黄、白、紫 4 种颜色的花分别用 1,2,3,4 来表示，则所有基本事件有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共 6 个，其中 1 和 4 不在同一花坛的事件
28、有 4 个，其概率为P=4263，故选 C 4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知25,2,cos3acA，则b=()D A 2 B3 C2 D3 解：由余弦定理得：5=4+b2-4b23，则 3b2-8b-3=0，解得b=3，故选 D 5直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为()B A13 B12 C23 D34 解：由直角三角形的面积关系得 bc=22124b bc，解得12cea，故选 B 6若将函数y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()D A y=2sin(2x+4)B y=2s
29、in(2x+3)C y=2sin(2x4)Dy=2sin(2x3)解：对应的函数为y=2sin 2(x-14)+6，即y=2sin(2x3)，故选 D 7如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A A17 B18 C20 D28 解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积 34728383VR，解得 R=2，表面积227342+21784S，故选 B 8若ab0，0c1，则()B Alogaclogbc Blogcalogcb Caccb 解：取特值a=1，b=，c=，可排除 A，C，D，故选 B 9函数y=2
30、x2e|x|在2,2的图像大致为()D 解：当 0 x2 时，y=4xex，函数先减后增，且y|x=0，最小值在(0,内.故选 D 10执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()C Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x 解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为(1,0,1)，(2,2)，(3,6)，输出x=，y=6，故选 C 11平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，输入1,2nxxyny 322233131()sin2sin3f xx-x ax1313132()sin cossin3f xx-xx ax222()1(cossin)cos
31、3f x-xxax2cos213x2111 1cos21|3333 3xaa ，解得，23 解：依题x+2(x+1)=0，解得x=23 14已知是第四象限角，且 sin(+4)=35，则 tan(-4)=.43 解：依题+4是第一象限角，cos(+4)=45，tan(-4)=-tan(4-)=-tan2-(+4)=-sin2-(+4)/cos2-(+4)=-cos(+4)/sin(+4)=43 15设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0 相交于A，B两点，若|AB|=2 3，则圆C的面积为 .4 解：圆方程可化为x2+(y-a)2=a2+2，圆心C到直线距离d=|2a，由d2+3
32、=a2+2，解得a2=2，所以圆半径为 2，则圆面积为 4 16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料，乙材料，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.216000 解：设生产 A、B 两种产品各x件、y件，利润之和是z2100 x+900y，约束条件是1.50.51500.390536000,0 xyxyxyxy，即3300103900536000,0 xyxyxyxy 作出可行域四边形OABC，如图.画出直线l0：7x+3y=0，平移l0到l，当l经过点B时z最大，联立 10 x+3y=900 与 5x+3y=600 解得交点B(60,100)，所以 zmax=126000+90000=216000.