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1、高等数学中微积分经济的应用 摘要：随着我国经济发展进程不断加快，科学技术水平不断提升，我国逐渐转向知识经济发展时代，数学科学的地位得到有效巩固，呈现逐渐上升的趋势。信息化进程快速推进，经济理论中的定性分析方式逐渐变化为定量与定性相结合的分析方式，主要采用数据对其进行深入论证以及证明。高等数学在经济发展进程中起着关键的推动作用。目前，我国各大高校已经将高等数学应用于多个专业领域之中，越来越多的人意识到可以采用高等数学的方式来对经济理论进行深入解析。关键词：高等数学微积分经济应用分析 高等数学逐渐被广泛应用在经济领域中，不仅为经济研究奠定了良好的基础，还成为一种具有科学性、合理性的技术，在日常生活
2、中起着不容小觑的作用。数学知识不仅贯穿于人们生产生活的发展始终，还被深入应用于各大科技领域。高等数学中的微积分应用较为宽广，可以将其应用于物理、经济、交通以及工程相关领域中。因此，在经济飞速发展的今天，将数学价值充分发挥出来成为一项重要任务，让学生全面利用与高等数学相关的知识分析社会中存在的经济现象成为一项关键内容。一、高等数学教学中存在的缺陷 高等数学中最显著的特征是抽象性、逻辑性、应用性。目前我国大学生普遍存在不爱学习高等的现象，没有兴趣进行以后的高等数学学习。高校数学老师在考试前会为学生圈出重点内容，帮助学生简单了解重点内容，导致学生难以对其进行深入学习，学生经常抱着 60 分万岁的心态
3、，严重缺乏积极主动性。二、高等数学中微积分的经济应用 1.采用微积分进行边际分析 经济学经常会出现边际问题，主要包括边际成本、边际收益、边际利润等内容。边际问题的实质是问题中涉及经济函数的变化率。如果一个函数用 f(x)表示，那么其导函数就可以用 f(x)表示，导函数就成为该函数的边际函数。对边际函数中某一个点求值时，这个值就成为这个边际函数的边际值。在实际问题中经常会给出总成本函数来求出边际成本。边际成本的求法是对总成本函数的产量进行求导，阐释的经济内涵为：当产量为 q 时再生产一个单位所导致总成本增加的值；边际收益的求法是对总收益函数中的销售量来求导，表达的经济内涵是销售量为 q 时，再销
4、售一个单位所导致总收益增加的量；边际利润是对总利润函数中的销售量来求导，包含的主要内容是当销售量为q时，对其销售一个单位时，总利润所增加的值。例如，某产品的需求函数为 P=80-0.1x，成本函数为C(x)=5000+20 x（元）。求边际利润函数 L(x)，分别求 x=150 和x=400 时的边际利润并说出所表达的经济含义。解：根据已知题意，利润函数 L(x)=需求量价格-成本函数=x(80-0.1x)-(5000+20 x)=-0.1x2+60 x-5000，所以若想求出边际利润函数就要对利润函数 L(x)进行求导工作，最终得出边际利润函数 L(x)=-0.2x+60，故 L(x)丨(x
5、=150)=-0.2150+60=30，L(x)丨(x=400)=-0.2400+60=-20。当 x=150 时，表达的经济含义为：当需求量为 150 时，再增加一件利润将会增加 30 元。当 x=400时，表达的经济含义为：当需求量为 400 时，再增加一件利润将会亏损 20 元。该例题可以全面反映出并不是消费者的需求量增高就使企业获得的利润额度一同升高，相反企业很有可能出现亏损。虽然例题中边际利润、边际成本、边际收益等相关问题的求解方式较简单，但将其应用于实际生活中较难理解，而且在实际生活之中与边际相关的问题解决方式起着重要的作用。边际革命在西方经济理论之中具有较高的价值意义，同时也是一
6、种新的发展趋势。分析价值意义时，可以广泛应用边际效用学说以及计算边际效益的方式，促使研究人员能够对价值效益进行深入认识与研究，全方面了解产品价值与边际效用之间的直接联系。对边际概念进行深入了解时，可以采用高等数学中的微积分理念，使个人获得最大收益以及能够妥善处理经济均衡点，最终促使边际学说被广泛应用于经济学理论的各大分支之中。边际分析体现的实质内容是经济学家对数学以及心理学的全面整合，即微积分，充分利用微积分深入研究经济学相关理论内容。因此，在从事相关经济工作时，相关工作人员要采用合理且科学的措施处理相关边际问题，帮助企业决策人员做出正确的经济决策，为企业带来良好的经济收益。2.采用微积分开展
7、弹性分析 实际生活之中，我们不仅要对边际绝对改变量以及绝对变化率进行分析，还要对经济函数中的相对改变量以及变化率进行深入研究。弹性分析主要研究的内容是一项经济变量变动百分之几会对另一项经济变量带来哪种影响，实际就是反映出两者发生变化时对两者敏感程度造成的影响。弹性分析不仅广泛应用于经济分析之中，在日常生活之中也被广泛应用。弹性公式为：E=数量的相对变动价格的相对变动。由于经济函数不同，弹性也不相同，而且弹性种类较多，较为常见的就是需求价格弹性。在实际经济分析过程中，合理确定需求价格弹性有助于预测市场的走向趋势以及定价策略的制定。若需求函数为 Q=Q(p)，则需求弹性为 Ed=-dQ/dPP/Q
8、。当需求弹性大于 1 时，说明商品需求富含弹性，即商品的需求量变化程度较高且高于价格的变动，这时可以采取降低价格的方式增加收入和需求量。当需求弹性等于 1 时，说明商品需求弹性为单位弹性，表明商品需求量与价格变化同步，采取何种方式都不会对收入带来影响。当需求弹性小于 1 时，说明商品需求缺乏弹性，表明商品的需求量变化比价格变化程度低，这时可以采取提升价格的方式增加收入。根据需求弹性所表示的经济含义，商品需求弹性较高时，需求量与价格之间发生变动的程度较为敏感，销售方可以采用降低价格的方式促进消费者消费，为企业带来经济利益。当商品需求组弹性较低时，两者之间的相互影响较为缓慢，销售者可以适当提升商品
9、价格，降低因销售量减少而对整体经济效益产生的不利影响。根据相关调查显示，日常生活中必需品的需求价格弹性较低，而奢侈品、轿车等商品的需求价格弹性较高。3.充分利用微积分求最值 在实际生活中对经济情况进行分析时经常会出现最大收益、最佳成本等相关问题，在数学领域内可以将这一系列的问题归类为函数最值问题，即求出边际函数上边际点的极值。最优化理论不仅是经济决策者做出最优方案的依据，同时还是开展经济分析时常用的原理。最优化位置就是一切经济活动均处于巅峰位置，在这一点的周围均处于下滑趋势，因此必须用微积分中导数为零这一数学理论。例如，某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为 C(x)=5x+200（万元），所
10、得收入为 R(x)=10 x-0.01x（万元），问每批生产多少台，才能使得利润达到最大？解：设利润为 L(x)，则L(x)=R(x)-C(x)=5x-0.01x-200，其次对 L(x)求导，得出L(x)=5-0.02x，另 L(x)=0，得出 X=250 台，由于 L(x)=-0.020，因此，L(250)=425（万元）即为驻点和极大值，同时也就是最大值，当 X=250 时，最大利润为 425 万元。计算过程充分利用了微积分相关内容来求出极值点。在实际生活之中，大幅度增加产量并不一定会增加利润，只有确定恰当的生产量才可以为企业带来最佳利润。因此，一名优秀的生产经营者要全面掌握数学相关原理
11、以及计算方式，在经营决策过程中为相关工作人员提出合理意见，帮助其做出正确的经济决策。4.采用微积分方式分析经济总量及其变动 对经济进行深入分析时，相关研究人员经常采用微积分的方式综合评价经济总量，帮助企业决策者制定正确的决策策略。例如，某类产品的边际成本为 C(x)=6+0.5x（万元吨），固定成本 C(0)=5万元，边际收入为 R(x)=12-x（万元吨），求得最大利润时的产量以及利润？解：总成本 C(x)=C(0)+(6+0.5x)dx=0.25x+6x+5，总收益函数 R(x)=R(0)+(12-x)dx=-0.5x+12x，所以总利润L(X)=R(X)-C(x)=-0.75x+6x-5
12、，所以对利润函数求导L(x)=-1.5x+6，并且将导函数另为 0，得出 x=4，因此得出唯一驻点，其就是极值点以及最值点，最大利润 L(4)=7（万元）这道试题将微积分中定积分方式与经济函数最大值问题相联系起来，类似例题中的相关情景经常会出现在日常生活之中。学生要全面把握微积分相关知识，一旦遇到类似问题，可以及时选取合适的数学方式予以解决，而且数学知识的合理运用可以为经济发展注入积极力量。三、结束语 综上所述，高等数学中微积分在经济学中的应用是非常广泛的，在实际经济分析阶段，应用到的数学知识远远不止这些，还包括数学模型、优化理论等。因此，越来越的国家将高等数学相关知识作为经济分析工具，促使经济分析变得更加准确，有助于经济决策者做出合理的经济策略。