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1、 目 录 第一讲 消去问题（一）第二讲 消去问题（二）第三讲 一般应用题 第四讲 盈亏问题（一）第五讲 盈亏问题（二）第六讲 流水问题 第七讲 等差数列 第八讲 找规律 能力测试（一）第九讲 加法原理 第十讲 乘法法原理 第十一讲 周期问题（一）第十二讲 周期问题（二）第十三讲 巧算（一）第十四讲 巧算（二）第十五讲 数阵问题（一）第十六讲 数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲 平面图形的计算（一）第十八讲 平面图形的计算（二）第十九讲 列方程解应用题（一）第二十讲 列方程解应用题（二）第二十一讲 行程问题（一）第二十二讲 行程问题（二）第二十三讲 行程问题（三）第二十四讲 行程问题（四）能力
2、测试（三）第二十五讲 平均数问题（一）第二十六讲 平均数问题（二）第二十七讲 长方体和正方体（一）第二十八讲 长方体和正方体（二）第二十九讲 数的整除特征 第三十讲 奇偶性问题 第三十一讲 最大公约数和最小公倍数 第三十二讲 分解质因数（一）第三十三讲 分解质因数（二）第三十四讲 牛顿问题 能力测试（四）第一讲 消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解 答出来。这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法
3、”。例题与方法 在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。(1)买 1 个皮球和 1 个足球共用去 40 元，买同样的 5 个皮球和 5 个足球一共用去多 少元 (2)3 袋子、大米和 3 袋面粉共重 225、千克，1 袋大米和 1 袋面粉共重多少千克 （3）6 行桃树和 6 行梨树一共 120 棵，照这样子计算 8 行桃树和 8 行梨树一共有多 少棵 （4）学校买了 4 个水瓶和 25 个茶杯，一共用去 172 元，每个水瓶 18 元，每个茶杯 多少元 例 1 学校第一次买了 3 个水瓶和 20 个茶杯，共用去 134 元；第二次又买了同样的 3 个水瓶和 16
4、 个差杯，共用去 118 元。水瓶和茶杯的单价各是多少元 例 2 买 3 个篮球和 5 个足球共、用去 480 元，买同样的 6 个篮球和 3 个足球共用去 519 元。篮球和足球的单价各是多少元练习与思考 、1 袋黄豆和 1 袋绿豆共重 50 千克，同样的 7 袋黄豆和 7 袋绿豆共重（）千克。、买 5 条毛巾和 5 条枕巾共用去 90 元，买 1 条毛巾和 1 条枕巾要（）元。、买 4 本字典和 4 本笔记本共、用去了 68 元，买同样的 9 本字典和 9 本笔记本一 共要（）元。、9 筐苹果和 9 筐梨共重 495 千克，找这样计算，2 筐苹果和 2 筐梨共重（）千克。、妈妈买了米画布和
5、米白布，一共用去元。花布每米元，白布每米多少元 、果园里有行桃树和行梨树，桃树和梨树一共有棵。每行梨树棵，每行桃树多少棵 、食堂第一次运来袋大米和袋面粉，一共重 400 千克；第二次又运来 9 袋大 米和 4 袋面粉，一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克 9、3 豹味精和 7 包糖共重 3800 克，同样的 3 包味精和 14 包糖共重 7300 克。每包味 精和每包糖各重多少克 10、育新小学买了 8 个足球和 12 个篮球，一共用去了 984 元；青山小学买了同样的 16 个足球和 10 个篮球，一共用去 1240 元。每个足球和每个篮球各多少元 11、买 15 张桌子和
6、25 把椅子共用去 3050 元；买同样的 5 张桌子和 20 张椅子，需 要 1600 元。买一张桌子和一把椅子需要多少元 12、3 头牛和 6 只羊一天共吃草 93 千克，6 头牛和 5 只羊一天共吃草 130 千克。每 头牛每天比每只羊多吃多少千克 第二讲 消去问题（二）例 1、7 袋大米和 3 袋面粉共重 425 千克同样的 3 袋大米和 7 袋面粉共重 325 千 克。求每袋大米和每袋面粉的重量。3.三头牛和 8 只羊每天共吃青草 93 千克，5 头牛和 15 只羊每天吃青草 165 千克。一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克 练习与思考 1.3 个皮球和 5 个足球共 245 元，同
7、样的 6 个皮和 10 个足球共（）元。2.5 盒铅笔和 9 盒钢笔共 190 支，同样的 2 盒铅笔和 6 盒钢笔共 100 支。3 盒铅笔 和 3 盒钢笔共（）支，1 盒铅笔和 1 支钢笔共（）支。3.育才小学体育组第一次买了 4 个篮球和 3 个排球，共用去了 141 元；第二次买 了 5 个篮球和 4 个排球，共用去 180 元。每个篮球和每个排球各多少元 4.3 筐苹果和 5 筐梨共重 138 千克，5 筐同样的苹果和 3 筐同样的共重 134 千克。，每筐苹果和每筐梨各重多少千克 5.某食堂第一次运进大米 5 袋，面粉 7 袋，共重 1350 千克；第二次运进大米 3 袋，面粉 5
8、 袋，共重 850 千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克 6.3 件上衣和 7 条裤子共 430 元，同样的 7 件上衣和 3 条裤子共 470 元。每件上 衣和每条棵子各多少元 7.2 千克水果糖和 5 千克饼干共 64 元，同样的 3 千克水果糖和 4 千克饼干共 68 元。每千克水果糖和每千克饼干各多少元 8.5 包科技书和 7 包故事书共 620 本，6 包科技书和 3 包故事书共 420 本。每包科技书比每包故事书少多少本 9.3 个水瓶和 8 个茶杯共 92 元，5 个水瓶和 6 个茶杯共 102 元。每个水瓶和每个茶杯各多少元 10.甲有 5 盒糖，乙有 4 盒糕共值 44 元。
9、如果甲、乙两人对换一盒，则每人所有物品的价值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元 第三讲 一般应用题 在小学里，通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。“典型 应用题”有基本的数量关系、解题模式，较复杂的问题可以通过“转化”，向基本的问题靠拢。我 们已经学过的“和差问题”、和“倍差问题”等等，都是“典型应用题”。“一般应用题|”没有各顶的数量关系，也没有可以以来的 解题模式。解题时要具体问题具体分析，在认 真审题，理解题意的基础上，理清一知条件与所求问题之间的数量关系，从而确定解题 的方法。对于比较复杂的问题，可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析。例题与方法 例 1、把一条
10、大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重 4 千克，鱼头的重量等于 鱼尾的重量加身一般的重量，而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条鱼重多少千克 例 2、一所小学的五年级有四个班，其中五（1）班和五（2）班共有 81 和五（3）班共有 83 人五（3）班和五（4）班共有 86 人，五（1）班比五（这所学校五年级四个班各有多少人 人，五（4）班多 2）班 2 人。例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼，甲钓了客人和甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了 5 条，乙钓了 3 条，吃鱼时，来了一位 8 角钱作为餐费。问：甲、乙两为渔夫 各应得这 8 角钱中的几角 例 4、一个工地用两台挖土机挖土，
11、小挖土机工作 6 小时，大挖土机工作 8 小时，一共挖土 312 方。已知小挖土机 5 小时的挖土量等于大挖土机 2 小时的完土量，两种挖 土机每小时各挖土多少方 例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时，甲和丙都比乙多拿西瓜 7。5 千克。结果甲和丙各给乙元钱。每千克西瓜多少元|例 6、小红有 一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个。而按 钱数算，5 分币比 2 分币多 4 角。已知这些硬币中有 36 个 1 分币。问：小红的储蓄筒里 共存了多少钱 练习与思考 （第 14 题 13 分，其余每题 12 分，共 100 分。）1.有一段木头，不知它的长度
12、。用一根绳子俩量它，绳子多 15 米；如果将绳子对 折以后再来量，又不够 04 米。问：这段绳子长多少米 2.甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布，原约定各拿花布同样多。结果甲拿 了 6 米，乙拿了 14 米。这样，乙就要给甲 12 元钱。每米花布的单价是多少元 3.甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克。分苹果时，甲和丙都比乙 多拿 7。8 千克苹果，这样甲和丙各应给乙 6 元钱。每千克苹果多少钱 4.学校买了 2 张桌子和 5 把椅子，共付了 330 元 。每张桌子的价钱是每把椅子的 3 倍。每张桌子多少元 5.某校六年级有甲、乙、丙丁四个班，不算甲班，期于三个班的总人数是 131
13、人，不算丁班，期于三个班的总人数是 134 人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少 1 人，甲、乙丙、丁四个班共有多少人 6.李大伯买了 15 千克特制面粉和 35 千克大米，共用去元。已知粉的价格是 1 千克大米的 2 倍。李大伯买特制面粉和大米各用去多少元 1 千克特特制面 7.14 千克大豆的价钱与 8 千克花生的价钱相等，已知 1 千克花生比 1 千克大豆贵 12 元，大豆和花生的单价各是多少元 8.某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天加工 56 个零件。这样，不仅提 前 3 天完成原计划加工凌驾的任务，而求多加工了 120 个零件。这个车间实际加工了多 少个零
14、件 9.用 8 千克丝可以织 6 分米宽的绸 4 米，现在有 10 千克的丝，要织 75 分米宽的 绸，可以织几米|第四讲 盈亏问题（一）盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按 某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，又会不足（亏），求物品的数 量和分配对象的数量。例如：小朋友分苹果，如果每人分 2 个，就多余 16 个；如果每人分 5 个，就缺少 14 个。小朋友有多少个苹果有多少个 比较两次分的结果，第一次余 16 个，第二次少 14 个，两次相差 1+14=30（个）。这是因为第二次比第一次每人多分了 5-2=3（个）苹果。相差 30 个，就说
15、明有 30 3=10（个）小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。例题与方法 例 1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分 3 粒，就会余下糖果 17 粒；如果每人分 5 粒，就会缺少糖果 13 粒。问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果 共有多少粒 例 2、学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果么人搬 5 块，就有两 人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人这批砖共有多少块 例 3 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分 18 棵，就会有余下 24 棵；如果每班分 20 棵，正好分完。这个学校有多少个班这批树苗共有多少棵 练习与思考 1.小朋友分糖果若每人分 4 粒则
16、多 9 粒；若每人呢分 5 粒则少 6 粒。问：有多少 小朋友有多少粒糖果 2.小朋友分糖果，每人分 10 粒正好分完；若每人呢分 16 粒，则有 3 个小朋友分 不到糖果。问：有多少粒糖果 3.在桥上测量桥高。把绳长对折后垂到水面，还余 4 米；把绳长 3 折后垂到水面，还余 1 米。桥高多少米绳长多少米 4.某校安排新生宿舍，如果每间住12 人，就会有 34 人没有宿舍住；如果每间住 14 人就会有空出 4 间宿舍。这个学校有多少间要安排多少个新生 5.在依次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有 2 人擦 4 块，其 余的人各擦 5 块，就会多下 12 块玻璃没有人擦；如果么人
17、擦 6 块，刚好擦完。擦玻璃的 同学有多少人玻璃共有多少块 6.有一个数，减去 3 所的差的 4 倍，等于它的 2 倍加上 36。这个数是多少 7.体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买 10 个“冠 军”牌足球，还差 42 元；后来他向朋友借了 1000 元，买了 31 个“冠军”牌足球，结果 多了 13 元。体育老师原来身边带了多少元 8.某小学生乘汽车去春游，如果每辆车坐 65 人，就会有 15 人不能乘车；如果每 辆车多坐 5 人恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车有多少个学生 第五讲 盈亏问题（二）上一讲，我们讲了盈亏问题的一般情形，也就是在量词分配中恰好洋盈（多
18、余），一次亏（不足）。事实上，在许多问题里，也会出现两次都是盈（多余），或者两次都是 亏（不足）的情况。例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人 9 支缺 15 支；每人 7 支就缺 7 支。问：三好学生有多少人，铅笔有多少支 例 2、某小学的部分同学外出参观，如果每辆车坐 55 人就会余下 30 个座位；如果每 辆车坐 50 人，就还可以坐 10 人。有多少辆车去参观的学生多少人 例 3、学校规定上午 8 时到校。王强上学去，如果每分钟走 60 米，可以提早 10 分钟 到校；如果每分钟作呕 50 米可以提早 8 分钟到校。问：王强什么时候离开家他家离学校 多远 练习与思考 （第 1.14
19、题 13 分，其余每题 12 分，共同学们打羽毛球，每两人一组。每组分 100 分。）6 个羽毛球，少 10 个球；每组分 4 个羽 毛球，少 2 个球。问：共、有多少个同学打球有多少个羽毛球 2.学校将一批钢笔奖给三好学生，每人 8 支缺 11 支；每人 7 支缺 7 支。问：三好学生有多少人钢笔有多少支 3.某小学的部分学生去春游，如果每辆车坐 50 人，就会余下 30 个座位；如果每 辆车坐 40 个人，还可以坐 10 人。问有多少辆车去春游的学生多少人 4.一筐苹果分给一个小组，每人 5 个剩 16 个；每人 7 个缺 12 个。这个小组有多少人共有多少苹果 5.一些学生分练习本。其中
20、两人每人分 6 本，其余每人分 4 本，就会多 4 本；如果有一人分 10 本，其余每人分 6 本，就会少 18 本。学生有多少人练习本多少本 6.一个学生从家到学校，先用每分 50 米的 速度走了 2 分，如果这样走下去，他会迟到 8 分；后来他改用每分 60 米的速度前进，结果早到学校 5 分。这个学生家到学校的路程是多少米 7.筑路对计划每天筑路 720 米，实际每天比原计划多筑 成任务时间的前 3 天，就只剩下 1160 米未筑。这条路多长 8.老师给幼儿园小朋友分苹果。每 2 人 3 个苹果，多 802 米，这样，在规定完 2 个苹果，每 3 人 5 个苹果，少 4 个苹果。问：有多
21、少小朋友多少苹果 第六讲 流水问题 想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡，与从长江三峡顺水而下回南京，哪个 花的时间少哪个花的时间多为什么 原因很简单。在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的，因为长江的水是 一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的，船的速度会受到江水的影响。而在平静 的湖水中行船时，船的速度不会受到水流的影响。考虑船在水流速度的情况下行驶的问 题，就是我们这一讲要讲的流水问题。船在顺水航行时（比方说，从长江三峡顺流而下到南京），船一方面按照自己本身的 速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶，同时整个水面又按照水的流动速度在前进，水推动着船向前，所以，船顺水时的航行速度应该
22、等于船本身的速度与水流速度的和。也就是 顺水速度=船速+水速 比方说，船在静水中行驶 10 千米，水流速度是每小时 5 千米，那么，船顺水航行 的速度就是每小时 10+5=15（千米）。同学们可以想一想，上面的问题中，如果是问“船逆水航行的速度是多少”答案 又该怎么样呢船逆水行驶，情况恰好相反。本来船每小时行驶 10 千米，但由于水每小时 又把它往回推了 5 千米，结果船每小时只向上游行驶了 105=5（千米）。也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差。即 逆水速度=船速水速 例 1、一艘每小时行驶 30 千米的客轮，在一河水中顺水航行 165 千米，水速每小 时 3 千米。问：这艘客轮需要
23、航行多少小时 例 2、一艘船顺水行 320 千米需要 8 小时，水流速度是每小时 15 千米，这艘船逆 水每小时行多少千米这艘船逆水行这段路程，需要多少小时 例 3、甲船逆水航行 360 千米需要 18 小时，返回原地需要 10 小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要 15 小时，返回原地需要多少小时 练习与思考 1.一只小船以每小时 30 千米的速度在 176 千米长的河中逆水而行，用了 211 小时。这只小船返回原处需要用多少小时 2.船在静水中的速度是每小 25 千米，河水流速位每小 5 千米，一只船往返甲、乙两港共花了 9 小，两港相距多少千米 3.两地距 280 千米，一艘 船在期 航
24、行，流用去 14 小，逆流用去 20 小。求 艘 船在静水中的速度和水流的速度。4.一架 机所 的燃料，最多可以用 6 小，机去是 ，每小 可以 千米，回 逆，每小 可以 1200 千米。架 机最多 出多少千米，就需要往回 1500 5.乙船 水航行 2 小，行了 120 千米，返回原地用了 4 小。甲船 水航行同 一段水路，用了 3 小。甲船返回原地比去 多用多少小 第七讲 等差数列 （1）1，2，3，4，5，6，7，8，（2）2，4，6，8，10，12，14，16，（3）1，4，9，16，25，36，49，上面三 数都是数列。数列中称 ，第一个数叫第一，又叫首，第二个数叫第二 以此 推，最
25、后一个数叫做 个数列的末。的个数叫做 数。一个数列中，如果从第二 起，每一 与它前面一 的差都相等，的数列叫等差数列。后 与前 的差叫做 个等差数列的公差。如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。首 是 4，末 是 28，共差是 3。一 我 学 有关等差数列的知。例 与方法 例 1、在等差数列 1，5，9，13，17，401 中 401 是第几 例 2、100 个小朋友排成一排 数，每后一个同学 的数都比前一个同学 的数 多 3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。已知小宏 的数是 300，小明 的 数是几 例 3、有一堆粗 均匀的 木，堆成梯形，最上面的一 有 5
26、 根 木，每向下一 增加一根，一共堆了 28 。最下面一 有多少根 例 4、1+2+3+4+5+6+97+98+99+100=例 5、求 100 以内所有被 5 除余 10 的自然数的和。例 6、小王和小胡两个人 跑，限定 10 秒，跑的距离 就 。小王第一秒跑 1 米，以后每秒都比以前一秒多跑米，小胡自始至 每秒跑米，能取 与思考 （每 10 分，共 100 分。）1.数列 4，7，10，295，298 中 298 是第几 2.牛每小 都比前一小 多爬米，第 10 小 牛爬了米，第一小 牛爬多少 米 3.在 立俄，10，13，16，中，907 是第几个数第 907 个数是多少 4.求自然数中
27、所有三位数的和。5.求所有除以 4 余 1 的两位数的和。6.+.+0 11+0 13+0 15+0 99 的和是多少 7.梯子最高一 32 厘米，最底一 110 厘米，中 有 6 ，各 的 度成等差数列，中 一 多少厘米 8.有 12 个数 成等差数列，第六 与第七 的和是 12，求 12 个数的和。9.一个物体从高空落下，已知第一秒下落距离是米，以后每秒落下的距离是都比前一秒多米 50 秒后物体落地。求物体最初距地面的高度。10.求下面数字方 中所有数的和。1，2，3，98，99，100 2，3，4，99，100，101 3，4，5，100，101，102 100,101,102,197,
28、198,199 第八讲 找规律 你能找出下面各数列暴烈的 律 在括号内填上合适的数（1）8，15，22，（），36，；（2）17，1，15，1，13，1，（），（），9，1，；（3）45，1，43，3，41，5，（），（），37，9，；（4）1，2，4，8，16，（），64，；（5）10，20，21，42，43，（），（），174，175，；（6）1，2，3，5，8，13，21，（），55。例 1.1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，6，7，从第一个数算起，前 100 个 数的和是多少 .与思考 （第 1 30 分，其余每 10 分，共 100 分。）（1）找 律，在括号内填上合适
29、的数。（1）1,3,9,27,(),243;（2）2,7,12,17,22,(),(),37;（3）1,3,2,4,3,(),4;（4）0,3,8,15,24,(),.48;（5）6,3,8,5,10,7,12,9,(),11;（6）2,3,5,(),(),17,23;（7）81,64,（），36，（），16，9，4，1；（8）21，26，19，24，（），（），15，20；（9）1，8，9，17，26，（），69；（10）4，11，18，25，（），39，46；2.一串数按下面 律排列：1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，从第一个数算起，前 100 个数的和是多少 3
30、.有一串黑白相 的珠子（如下），第 100 个黑珠前面一共有多少个白珠 4.在平面中任意作 100 条直，些直 最多能形成多少个交点 5.在平面中任意作 20 条直，些直 最多可把 个平面分成多少个部分 6.序号 1 2 3 4 5 算式 1+1 2+3 3+5 1+7 2+9 序号 6 7 8 9 算式 3+11 1+13 2+15 3+17 根据上面的 律，第 40 个序号的算式是什么算式 1+103“的序号上多少 7.小正方形的 是 1 厘米，依次作出下面 些 形。已知第一幅 的周 是 10 厘米。（1）36 个正方形 成的 形的周 是多少厘米 （2）周 是 70 厘米的 形，由多少个正
31、方形 成已知第一幅 的周 是 10 厘米。（1）36 个正方形 成的 形的周厂是多少厘米 （2）周 是 70 厘米的 形，由多少个正方形 成 8 在方格 上画折 （如本 例 4 ），小方格的 是 1，中的 1，2，3，4，分 表示折 大第 1，2，3，4，段。求折 中第 100 段的 度。度是 30 的是第 几段 能力 （一）一、填空（每空 3 分，工 39 分）。1.在下面的括号里按照 律填上适当的数字。（1）1，2，3，4，8，16，（），64，128。（2）5，10，15，20，25，（），35，40。（3）4，7，10，13，16，（），22，25。（4）1，1，2，3，5，8，13，
32、21，（）（5）1024，512，256，（），64，32，16，8，4。（6）2，5，11，20，32，（），65，86。（7）1，3，2，4，3，5，（），6，5。（8）1，4，9，16，25，（），49，64。1.9 个人 9 天共 1620 ，平均 1 个人 1 天共 （）；照 算，5 个同学 5 天 （）。2.如果平均 1 个同学 1 天植（）棵，那么，3 个同学 4 天共植 120 棵。3.3 只足球和 9 只 球共用了 570 元，9 只足球和 27 只 球要用（）元。二、算（每小 5 分，共 10 分）。1.2+4+6+8+10+22+24+26 2.1+2+3+4+5+6+1
33、996+1997+1998 三、用（第 1 4 10 其余每 10 分，第 5 11 分，共 51 分）。1.李老 将一叠 本分 第一 的同学，如果每人分 7 本，多 7 本。如果每 人分 9，那么有一个同学 本也分不到。第一 有多少同学 叠 本一共有多少本 2.一只小船在河中逆流航行 176 千米，用了 11 小。一知水流速度是每小 4 千米，只小船返回原 要用多少小 3.4 只 球和 8 只足球共 560 元，6 只 球和 3 只足球共 390 元。：一只 球和一只足球各 多少元 4.有 10 元 票与 5 元 票共 128 ，其中 10 元比 5 元多 260 元。两种面 的 票各是多少
34、 5.下面是一种特殊数列的求和方法。要求数列 2，4，8，16，32，64，1024，2048 的和，方法如下：S=2+4+8+16+32+64+1024+20482 2S=4+8+16+32+64+1024+2048+4096 用下面的式子减去上面的式子，就得到 S=4096 2=4094 即数列 2，4，8，16，32，64，1024，2048 的和是 4094。仔 上面的求和方法，然后利用 种方法求下面数列的和。1，3，9，27，81，243，177147，531441。第九讲 加法原理 在日常生活与 践中，我 常会遇到分、数的 。解答 一 ，我 通常运用加法与那里与乘法原理 两个基本的
35、 数原理。熟 掌握 两个原理，不 可以 利解答 ，而求可以 今后升入中学后学 排列 合等数学知 打下好的基。什么叫做加法原理呢我 先来看 一个 ：从南京到上海，可以乘火，也可以乘汽、船或者 机。假如一天中南京 到上海有 4 班火、6 班汽，3 班 船、2 班 机。那么一天中乘做 些交通工具 从南京到上海共有多少种不同的走法 我 把乘坐不同班次的火、汽、船、机称 不同的走法，那么从南京 到上海，乘火 有 4 种走法，乘汽 有 6 种走法，乘 船有 3 种走法，乘坐 机有 2 种走法。因 每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有 4+6+3+2=15(种)不同的走法。我 ，如果完
36、成某一种工作可以有分 方法，一 方法中又有若干种不同的 方法，那么完成 件任 工作的方法的 数就等于各 完成 件工作的 和。即 N=m1+m2+mn(N 代表完成一件工作的方法的 和，m1,m2,mn 表示每一 完成 工作的方法的种数 )。个 律就乘做加法原理。例 1 书架上有 10 本故事书，3 本历史书，12 本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法 例 2 一列火车从上上海到南京，中途要经过同的车票 6 个站，这列火车要准备多少中不 例 3 在 4 x 4 的方格图中（如下图），共有多少个正方形 例 4 妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法练习与思考 1
37、.从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有 2 班，火车有 4 班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。2.一列火车从上海开往杭州，中途要经过4 个站，沿途应为这 列火车准备 _ 种不同的车票。3.下面图形中共有 _ 个正方形。4.图中共有 _ 个角。5.书架上共有种不同的的故事书，中层本不同的科技书，下层有钟不 同的历史书。如果从书架上任取一本书，有_ 种不同的取法。6.平面上有个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直线，共可以画 _ 条直线。7.图中共有 _ 个三角形。8.图中共有 _ 个正方形 9.从 2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别
38、作为一个分数的分子和分母，一共可以组成 _ 个真分数 10.某铁路局从站到站共有个火车站（包括站和站）铁路局要为在 站到 F 站之间运行的火车准备 _ 种不同的车票，其中票价不相同的火车票有 _ 种。第十讲 乘法原理 上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什 么是乘法原理呢我们来看这样一个问题：从甲地到乙地有 3 条不同的道路，从乙地到丙地有 4 条不同的道路。从甲地 经过乙地到丙地，共有多少种走法 我们这样思考：从甲地到乙地的 3 条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地，再从乙地大丙地的 4 条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地，那么，从甲地到乙 地的 3 条道地第一
39、条到达乙地后，可以走从乙地到丙地的任意一条路，这样就有了 4 种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到丙地的 4 条路中任选一条到丙地，如图所示：从 中可以看出，从甲地到丙地共有 3 X 4=12（种）走法。如果完成一件事 情需要几个步，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，那么，完成 件工作共有 N=m 1 x m2 x m 3 x x m n 种不同的方法。就是乘法原理。例 1 架上有 4 本故事，7 本科普，志 从 架上任取一本故事 和一本科普，共有多少种不同的取法 例 2 从 2、3、5、7、11 五个数字中每次取出 2 个数
40、字，分 作 一个分数 的分子和分母，一共可以 从多少个分数其中有多少个真分数 例 3 用 9、8、7、6 四个数可以 成多少个没有重复数字的三位数 些位数的和是多少 例 4 如，A、B、C、D 四个区域分 用、黄、白四种 色中的某一种染色。若要求相 的区域染不同的 色，：共有多少种不同的染色方法 A B C D 例 5 如，小明家到学校有 3 条 西向的 路和 5 条南北向 的 路。他每天 步行从家到学校（只能向 或向南走），最多有多少种不同的走法 小明家 学校 练习与思考 1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有 3 条路可走，从甲地经乙地到丙地 共有 种走法。2.书架的上、中、下层各有 3
41、 本、5 本、4 本故事书。若要从每层书架上任取 一个本书，共有 种不同的取法。3.有 1，2，3，三数字，一共可以组成 个没有重复数字的三位数。4.两个班级进行乒乓球比赛，每班选 3 人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛 场。5.从 5，7，11，13 这四个数中每次取 2 个数组成分数，一共可以组成 个 分数，其中真分数有 个。6.图中一共有 个不同的长方形。7.一个口袋里装有 5 个小球，另.一个口袋里装有 4 个小球。这些小球的颜色互不相同。（1）从两个口袋里任意取一个小球，有 种不同的取法。（2）从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法。8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到
42、下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每 次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可 以表示 种不同的信号。9.用 0 到 9 这十个数字可以组成 个没有重复数字的三位数。第十一讲 周期问题（一）世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。可这貌似“杂乱无章”的世界 却受到各式各样的规律支配着。在这些规律中，有一种最常见的规律就是从形形色 色的周期现象中提炼出来的规律。如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈 现原俩的状态。我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。例如，在自然 数列中，各位数字变化的周期是 10；星期日出现的周期是 7（天）；
43、用动物记年的 走器是 12（年）等等。在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。解答这类问题，要抓住一下几点：1.找出规律，发现周期现象。2.把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题解决。例 1 有 249 朵花，按 5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后 一朵是什么颜色的花这 249 朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵 例 2 1997 年元旦是星期三，那么，同年 12 月 1 日是星期几 例 3 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿 灯各一盏。那么，第 80 盏灯应是什么颜色的 例 4 7 1998 表示 1998 个 7 连乘
44、，它的结果末位上的数字是几 例 5 下面是一个 11 位数，每 3 个相邻数字之和都是 17，你知道“”表示的数字是几吗 8 6 思考与练习 1.把 17 化成小数，请回答：（1）小数点后面第 80 个数字是几 （2）小数点后面前 80 个数字的和是多少 2.把 181 化成小数后，小数点后面 100 位数字之和是多少 3.今天是星期一，从明天开始第 1800 天是星期几 4.有同 大小的 珠、白珠、黑株共有 160 个按 4 个 株，3 个白株，2 个黑 株的 序排列着。黑株共有几个第 101 个株子是什么 色 5.我国 用鼠、牛、虎、兔、蛇、羊、猴、狗、猪 12 种 物按 序 流代表各年号
45、。如果 1940 年是 年，那么，1996 年是什么年 6.科学家 行一 ，每隔 6 小 做一次 。第 10 次 ，挂 的 恰好指向 7，：做第几一次 ，指向几 7.12415 表示 15 个 124 乘，所得 的末位数字是几 8.下面是一个 11 位数，每三个相 数字之和都是 15，你知道 好表示的数字 是几 个 11 位数水多少 8 第十二讲 周期问题（二）例 1 有 13 名小朋友 成 1 到 13 号，他 呢依次 成月毫个源泉做游。在 从 1 号开始，每数到第 3 个人 一粒糖（每人只拿一次糖）。那么，最后一个拿到糖的小朋友是几号 例 2 接着 1998 后面写一串数字，写下的每个数字
46、都是它前面两个数字的乘 的各个位数。例如，9 X 8=72。在 8 后面写 1，8，X 2=16 ，在 2 后面写 6，得到一串数：199826 串数字从 1 开始往右数，第 1998 个数字是几 例 3 把自然数按下表 律排列后，可分成 A、B、C、D、E 五，例如，3 在 C ，10 在 B 。那么 985 在哪一行，哪一 A B C D E 1 2 3 4 8 7 6 5 9 1 1 1 0 1 2 1 3 例 4 把 1 至 8 个数 成一个 圈 在有一个小球，第一天从 1 号 前 203 个位置，第二天再 前 335 个位置，第三天又 前 203 个位置，第四天再舒适 前 335 个
47、位置，第五天又 前 203 个位置 ：至少 几天后，小球又回到 1 号位置 例 5 下表中，将每列上下两个 字 成一，例如，第一 （学做），第二 （接）。那么第 649 是什么 学 好 学做 接 班 人 做 好 学 好接 班 人 做 例 6 在一根 100 厘米的木棍上，自左至右每隔厘米染一个 点，同 自右 至左每隔厘米也染一个 点，然后沿 点 将木棍逐段 开。那么，度是厘米的短木棍有多少根 1 与思考 （第 14 每 17 分，其余每 16 分，共 100 分。）1.有 a、b、c、d 四条直（如），从直 a 上开始，按箭 方向从 1 开 始依次在 a、b、c、d 上写自然数 1，2，3，4
48、，5，6，（1）106 在哪条 上 （2）直 a 上第 56 个数是多少 2.在一列数 2，9，8，2，从第三个数起，每个数都是它前面两个数成 的个位数。比如，第三个数 8，是前两个数的 2 X 9=18 的个位数字。一列 数的第 180 个数是几 3.将奇数 1，3，5，7，依次排成五列（如），把最左 的一列叫做第一列，从左到右依次将每列写上数。1997 出 在哪一列 1 3 5 7 1 1 1 9 5 3 1 1 1 2 2 7 9 1 3 3 2 2 2 1 9 7 5 4.把 16 把椅子 成一个 圈，依次 上 1 到 16 号。在有一个人从第一号椅 子 前 213 把椅子，再逆 前
49、285 把椅子，又 前 213 把椅子，再逆 前 285 把椅子，又 前 12 把椅子，他到了第几号椅子 5.下表中每列上下两个 字和字母 成一，例如，第一 是（我 A），第二 是（B），我 A B 数 C D 学 我 A B C D 数 学 我 A B C （3）第 82 是什么 （4）（2）如果（C）代表 1978 年，（数 D）代表 1979 年，那么，2000 年将 哪一 6 在一根 80 厘米的木棍上，自左至右每隔 5 厘米染上一个 点，同 自 右至左每隔 4 厘米染上一个 点，然后沿 点 将木棍逐段 开，那么，度是 1 厘米的短木棍有多少根 第十三讲 巧算（一）德国大教育家高斯（1
50、777-1855）小学的 候，有一天，老 出了 一道：1+2+3+99+100 的和是多少 老 把 道 完，小高斯已迅速、准确地 出了答案 5050，令班上的同 学吃惊不已。原来高斯是用一种巧妙的方法算出 道 的。后来人 称 种 算方 法“高斯原理”。同学 一定想提高自己的 算能力，使自己 算 算得又快又巧。一，我 学 整数的巧算，也就是根据数的 点，数的排列 律，巧妙地运用运算定律或 性，使 算 便。例 与方法 例 1 算（1+3+3+1999）-（2+4+6+1998）例 2 算 99999 77778+33333 66666 例 3 算 654321 123455=654321*例 4