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1、第四讲正交试验设计及分析刘权(浙江农业大学园艺系)刘福仍(广西农学院园艺系)在上一讲中介绍了复因素试验的一种一裂区试验的分析。众所周知果树生产受很多因素的制约,因此在试验中复因素试验比单因素试验更切合实际,解决问题。例如有一苹果施基肥试验,选用二个品种(祝光、红星)、二种施肥时期(1o月中,2月下)、二种基肥(堆肥,坑灰)、二种方法(放射状沟,环状沟)。这就有4个因素,每个因素各有2个水平,则共有2X2x2xZ二2二1 6个处理组合,如果每一处理小区有8株树,一个重复即需要1 6xs=1 28株树;若重复4次则128x4二5 12株树;面积相当大,土壤差异难免,试材也不容易一致,付诸实施困难。
2、以上仅是2个水平,如改为3水平,品种再加一个金冠,施肥时期再加1 2月上;种类、方法均再各加一个,同时再加一个肥料用量因素,这就成为3”=24 3个处理组合,这样的复因素试验已无法进行。如果一年做2 03 0 个处理组合,分年实行也需要81 0年。因此人 们 不仅要问,是否可以少做一些处理组合而能代表全面组合并且同样能达到试验目的呢?回答是肯定的,这就是所要介绍 的正 交试验法。正交试验的意义及正交表的简介(一)愈义上面提到复因素试验更符合生产实际,而且它将获得许多单因素试验无法得到的信息,同时比一个一个单因素分开做要更节省人力、物力及时间。但是当试验水平数不变时,每增加一个因素,处理组合就会
3、成几何级数增加,因此无法实施。正交试验是利 用正交表以 大 大减少处理组合数,例如前面 那个苹果施肥试验,仅前面 三个因素每因素仍然2水平则(2x2xZ二2“二8)就 有8个处理组合要做,然而选 用了L(2“)这张表告诉我们仅要做4个,可以省去l/z;如果4个因素各具3水平,则(3x3X3火3=34=8 1)全面处理组合有8 1个,而用L。(3)表只要9个处理组合省去华二辱;再如L,。-一”-一一一一819”户”一“(4“),如5个因素各具4水平,全面实施要做1024个处理组合,而用正交法仅需做1 6个,省去63/64组合。所以正交试验是全面处理组合越多,它节省的工作量愈大,愈能显示其优越性。
4、表ZL。(4、2)(二)正交衰简介正交试验是借助于正交表来安排试验,首先要介绍正交表,一般正交 表的式 子 是Ln(tK),或者Ln(t:KxtZK)。上式中L=正交表,n=所要做的处理组合,t=每个因素水平数,K=本正 交表最多能安排因素个数,或最多能考察效应的个数,同时也表示本表的直行数或列数。例如L(23)这张表,表示共有4个处理号。衰1L(2”)号 之、:;3”4!“1同理,如第5处理号,也就是该处理是第1因素用3水平、第2因素用1水平、第3因素用2水平、第4因素用1水平、第5因素用2水平。是5个因素的不同水平所组成的处理。表头有3列,可以安排3个因素,即有3个直行称列。每一 因素有2
5、水平。表 中 水平1,2,表示第1水平,或第2水平。如以处理号2为例,从表中横行看也就是要做第1因素的第1水平、第2因素的第2水平、第3因素的第2水平共同组合而成,简写为1 22。所以用L(23)表的4个处理号,处理组合分别为21 1,22 2,222,2 2 2。若因素1、2、3分别以A、B、C表示,则成为A:B;C,A,BZC:,A:B;C:及AZBZC,。同样L。(4x2),这是因为水平 数不相等,称为混合水平表,4xZ咭=4x2毛,即共有5个因素或5列,其中一个因素有4水平,其他4个因素各2水平。如下(三)常用正交裹的种类如上述,正交表有二大类:1.相同水平表各因素所 用 水平 相等。
6、如2水平表 有L(2“)、L。(2)、L:(2)、Lx。(2)、L:。(2。);3水平表有L。(3)、L,。(3)、LZ,(3“);4水平表有L:。(46);5水平表有L:。(5“)等等。2.混合水平表各因素所用水平数不同。如1因素4水平另4因素2水平,L。(4xZ弓);1因素6水平另2因素2水平,L,:(6xZ“);2因素4水平另9因素2水平,L:。(42火2“);1因素4水平又1因素6水平另3因素2水平,则为LZ(6x4x23)等等。这样我们可以根据试验的因素数及水平数来选择适合的正交表。一般介绍正交试验的材料或书籍后都附有2 03 0张正交表供选用。(四)正交表的性质借助正交表来安排试验
7、,少做 处理组合,是否能代表全面实施的组合呢?仍通过前例来说明:前面苹果施肥试验,为了简略起见,品种因素用A表示,祝光、红星分别以A,、A:表示,同理B因素(施肥时期)B,、BZ,C因素(施肥种类)C,、C:。则全面实施的8个组合如下:C:兮A,B1CIC:,A1BxC:C,令A,B:C,C:,A,B:C:Cx兮A:B:C:CZ今A:B一C:C,今A2B2ClC:,A:B:CZ一11 1.(如 抽去1 1 2ABC12 1则成为)1 2 2奋一一一枷2 11一2 1 2.一221.一222、.l峨之悦 口t健之1212BBBB了.夕、.tr.l2么AA.表示需做的试验组合。根据L(23)这张正
8、交表4个处理组 合是111,122,212与22 1。即上 面s个 组合月.匕、已之I I I.l l l l lI I Ic:.C.l l l l l._ _ _ _凡人C:人“八:A-泊:B.气满,B.C.图i正立方体解释毛(2“中只做一半。做这4个是否合理呢?以上图来看,这是一个正六面体,如果左右二个面以A,A:表示,上下二个面以B,BZ表示,前后二个面以C,C:表示。则六个面 的8个 点分别是A:B:CI、A:B,C:A:BZC:,正如前面全面实施的8个处理组合;现在 选4个,即A,B,C;、A,B:CZ、A:B;CZ与A:BZC,也就是L(2“)正交表上的4个组合,正好是这六面体上各
9、对称的4个点;我们看一 下这4个点是否能代表8个点呢?细看就可以明白。它是:.均衡分散、综合可比的,六面体共有1 2根线,而所选4个点,每一个点连接不 同的三根线,没有多连一根,也没有 漏 掉一根,是均衡分散。同样在六个面上每一面上也各有二点,也是 不多一点,也不少一点。再看L(2“)这张正交表,不 论第1,2,3列也就是3个因素中第1水平与第2水平都出现2次;如果是L。(3峥)正 交表则第1,2,3列3个水平各出现3次。2,任何二个供试 因素的各个水平相搭配成对,不 同对出现次数相等。以L(2“)这张表为例,第1列与第2列相搭配,表中水平有2 1,22,2 2及2 2,同样以第2列与第3列相
10、搭配,表中水平也是2 1,22,2 2,22,而且大家都出现一 次。读者可以自己试配第1列与第3列也是如此。如以L。(3)正交表,也是如此,不过共有9个有序对数。3.具有一定的伸缩性。如以L,(3)这张正 交表来看,最多可以安排4个因素,但如仅安排3因素也可以,就有一 列成为空列;如果安排2因素就有2个空列(但是3x3就是9个处理组合,不 用正 交法同样是9个),用以估计2个 因素的互作。二、正交试验的设计分以下几步骤:(一)挑因索、选水平一般对研究的问题了解较少的因素数可以多些,水平数可以相等,如果对研究的问题较清楚,因素数可以少些,只要突出主要因素,主要因素水平也可以多些,所以可以采用不同
11、水平表。同样如果试验希望对某因素了解详细些,则水平可以稍多。反之则少,或不设该因素。如前例,苹果施基肥,要了解不同成熟期品种对施肥时期、方法、用量的效应,品种可以多一些水平,方法的变化不大可以不设,可 以采用混合水平表。(二)根据试验要求是否考虑互作如要考虑互作,就要选用互作的表或较大的 正交表。如前4因素各2水平试验,考虑互作就不能把正交表的因素排满,如用L。(27),就有7个因素可排,如果排满7个因素,互作就无法排。如果排4个因素,还有3列是互作,至于互作安排在哪一列,则不 同正交表有不同互作表可查。列或CxD即第4列与第7列的交互作用。究竟是AxB还 是CxD呢?这要根据学科本身去考虑与
12、解释。裹4L。(2,)表头设计表计计计1234567 7 7听听泛3 3 3 3 3ABAxBCAxCB二C C C4 4 4 4 4AB合:吕C合:吕象后D D D4 4 4 4 4AC几ABB几ACB几D D D衰3L。(27)交互裹(1)(三)在所选的正交表上进行表头设计所谓表头设计就是将各试验因素和所要作估计的互作排入表内;试验的因素数与水平数和表中该列要相同,然后就一一写出处理组合。(四)根据试验的处理组合,再考虑采用什么设计排列如每一处理组合的 大小(即所用的树数或面积),区组的大小,重复数,保护行等等,以便安排在田l o f。(五)处理教一般不超过15一2 0个如果处理数太多,一
13、个区组就很大,反失去局部控制的意义。如果确实处理数较多,则可以采用平衡不完全区组,限于篇幅此处就不介绍了。三、正交试验结果分析上表最上一横行与最右一横行均表示某一列,如最上一横行2表示第2列,与最右一列1二数字相交在表中为3,表示第2列与第1列交互 列在第3列。同理,第4列与第2列的交互列在第6列等等。这些在一般正交试验书中附表均有交互表附录。也有的附有交互表列表头设计表。从表4中可以清楚看出,如果有4一个因素,则第3列可 以AxB,即第1列与 第2正交试验结果的分析有二种方法,一是方差分析,这与上一讲中多个(样本)处理平均数的 比较分析法基本相同。而直观分析法较简单易行,故分别介绍如下:(一
14、)直观分析 法兹举一例说明:有一桃树密植、修剪和施肥试验,A为修剪时期(A:为1 1月上,A:12月中,A:i月下),B为密度(B:每亩50株,B:5 0株,B340株),C为基肥种类(C,厩肥,C:堆肥,C3人粪尿)。每一处理小区面积为9 0平方尺,重复2次,不考虑交互作用,故采用L。(3)正交表。其表头 设计及处理组合,各处理组合及合计产量等计算如表5。步骤如下:1.直接计算将各小区产量填入表内,二个小区相即为相应合计的Tt值,如70+6 5=235;35=79;44+37=8 1.(z)计算折合亩产量60 0 0/2又9 0二33.33 3.3XZ个小区之和(135、79、7 881)二
15、4500、2 63 3、2600、4300 2 700。(2)计算T、TZ、T3A,的T,=4 500+26 33+260 0=9733A:的T:二4300+2833+3 366=104 9 9A3的T:=4100+3366+2700=1016 6C3的T3=2600+28 33+4 100=9 533,+犷加利衰5(3)再计算A,的t,、A:的t:、C3的挑树密植修剪施肥产且裹L。(3)折合 平 均 亩 产Tt1 3 545 00263 326 0 0O叨U O厅月 1 2 943 0 028 3 33 3 6 64 10 033 6 62 7 0 0台,1,口,几1二口UU 勺自曰甘U O
16、山1.几,二,的目1。AIB一Cl2.A1B2CZ3。A1B5C34.A:BIC:5.A:B:Ca6.A2B3CI7。A3B1C38。AsB:CI9。A3B3CZ443797 3 31049 91016612 9003 74 43 0 39 88 8 3 2963386669 53 3.且23T T T32 4 4。34 3 0 03 74 43 499。72 9 4 43 2 1 13 3 8 8。7288 8。73177。7R2 55。41 4 1 1。356 6。3t:,因为每一因素的不 同水平,都有三个同相同水平的小区之和,如A,的T,是A,B,C,A,B:C:,A:B。C3相加而得,
17、所 以A,的t,即为除3而得,同理AZ的t:,A。的t3 C3的t3,都是如此计算。A,的t:或AZ的tZ等等均是 同一水 平中与B、C二因素的各水平相遇是均等的,这在前面提到,不妨再看上表A,有三个小区,各与B,、B:、B3及C,、C:、C3相搭配 一次,而成为处 理 组合1、2、3;同理C;的三个小区,各与A,AZA3及B;BZB3相搭配一次,而成 为AlBIC,、AZB3C,、A3BZC,;所 以57这样不同 因素与水平 才能相比。分 别计算各因素水平t值一 一填入表中。(4)计算R值R为A列中t:、t:、t3的最大值一最小值。所以A列为3 49 9.7一32 4 4.3二2 55.4;
18、同理B列与C列,计算后填入表中。所有计算工作到此结束。结果分析:从A、B、C三 列R值的大小看因素的主次,所以本试验的因素是B一)C,A。而B因素中以B,水平产量最高,C因素中是C,A因素中是A:。故以AZB,C,这一 组合应该为最好。但是本试验没有这一处理组合。从Tt或折合亩产这一列来看以4500斤为最高,其相应的组合为A;B,C,。为此,为第二次试验提供了依据,可 以在AZB,C,及A,B;C,之间进行比较。2.图示法用绘图法 表示 更为清晰,以y轴表示产量;x轴分段表示各因素各水平。根据A列的t,t:t。,B列的t,t:t3及C列的t:t:t:绘如下 图。礴0口 O“飞气,l二卜匕,C一
19、C一-图2三 因素三水 平试验结果 图示法从上图可以清楚看出,B因素中的B,起主要作用。凡具有B,水平的各组合产量都在4 00。斤以上,其次是C:及A:。同样应以A:B,C,这组合产量最高。再则从 图中可以看出,因为每一因素都是3水平,在图上三点相连可以看出一个趋势,如果单是A,AZ二水平,也就是n月上修剪与1 2 月中修剪相比1 2月中比1 1月上 还好,再迟修剪即到1月下,有二种可能,一是增产,一是减产;现在有了3个水平,很明确的看出,过早过迟均减产,这就是3水平比2水平好,图示法可以很清楚看出其趋向。同理B;BZB3所示随密度增加产量 会提高,而亩植4 0与5 0株差异不 大,但亩植8
20、0株就很突出。从图形上似乎密度再增加还有增产趋势,这些都为我们第二次试验提供依据。直观 分析简单易行,而且很快就可以分析出,一般不要太高深的数学,因此在工业上结合生产 试验,第一班工人 生产上做出结果,马上就可 以为第二班生产试验提供依据进行再试验。但是农业 生产周期较长,试验时间较长,尤其果树如果计产量试验期大多一年,不一定要求很快时间内就拿出结论。然而直观分析法没有提出试验误 差,没有提出各因素与各因素的各水平 以及各处理组合间差异是否显著。这就要依赖于方差分析。(二)方递分析法正交 试验的 方差 分析法一般可 以分有重复小区的试验和没有重复小区的试验。通常不设重复小区的 试验,也可以进行
21、方 差分析。因为正如上例,A因素中A,AZA。都重复3次,空列就作为误 差来对待。但是从试验设计本身讲,每一个处理组合应该有重复才能正确的估计误差。此处举一有重复的试验,有一混合水平试验,A因素有4水平,B、C因素各有2水平,如A、B、C因素分别为品种、施肥时期及施肥量重复3次。用L。(4又2)表,计算分析如下。衰6三因索试脸采用L。(4xZ)设计结果计算表古钾素*。介丫伫 严!11IITt处理 1251一二斗一一一干一一一,牛”“”52222),2 02。5”3】22】2 6 2“22 522.2。】6,265,5。“3“5!3“2 252312止口2.进 行方 差 分析(1)计算平方和与
22、自由度总自由度=rxt=3x8一1=24一1=23重复自由度=r一1二3一1=2;处理自由度:A的自由度二4一1二3(4个水平),B的自由度二2一1二1,C的自由度二2一1二1。所以处理总自由度=3十1十1“5。但总处理数为8,其自由度应为8一1=7,此处因为3、4是空列,所以少2个 自由度,否则5+2二7,而 误 差自由度为2 3一2一(3+1+1)=16,所以还有2个 自由度归入误差项。计算平方和:TZ/rt=(49 6)2/3xs=102 50.67总平方 和=兄X“一T么rt1 72+192+十262一(49 6)23XS=451.33重复平方和习Tr“tT2rt=1 6 92+1 6
23、52+16 22_(496)=83X83.08A因素平方和1二计算Tt,T:T:T4及R值Tt如处理组合1.为17+16+1 9=522.为19+20+2 0=5 93.为2 6+2 4+21=718.为28+28+26二82=E T产-2rT2rt1 1 12+1 382+93“+154“(49 6)“63X8二371B因素平方和T2rt二1.50=52+59=7 1+671 1 1138_2452+25 123X4C因素平方和_E TeZrt/2(4 96)“3XST2rt健月2T T各因素的T值A因素C因素T:=59+71+50+82=26 22 342+26 22R值:A二154一93
24、=6 13X4二3 2.6 6B=2 51一245C=26 2一234二6误差平方和:145 1.33一3.0 8一=2 8.50+32.66)=4 3(37 1+0959(2)列方差分析表,进行F测验衰7衰6资料方趁分析表变异原因!自由度i平方和差F一0 5。0 1已极显著,因仅仅2水平,所以C:显著优于C:,无需进行测验。再则就是8个处理组合之间,那些是不显著、显著或极显著要进行测验。山UnF值方重复间A因素B 因素C因素误差总数13。245。2 94。498。5 3各处理组合比较 时s;=/妙=。.。47,、J4 5。9 7,.112。14二仍根据误差自由度为1 6查Q表得到如下各数值。
25、16309“6 9!表1 0各处理组合L。S。R.计算2 314 15。2 35678(3)进行多重比较此处用Q测验计算S一之共晋二J平=。6 7火23:4。054。3 45。1 95.4 94。5 64。744。905。7 25。9 26。0 8A因素4水平进行测验,查 Q表,当误 差自由度为1 6时。.0 5及0.0 1的值。0。0 5L。5.R。0。012。8 43。463。8 44。11 4。324。494。6 43。9 14。544.925。205。425。6 1 5。7 6衰SA因索四水平L.S.R.计算裹n各处理组合位异显.裹2 2 234 4 40 0 0。05 5 53。0
26、03。654。0 5 5 5Q Q Q Q Q4。134。7 85。19 9 90 0 0。01 1 1 1 10 0 0。05 5 52。0 12。452。71 1 1L L L。S。R。2。773。203。48 8 80 0 0。01 1 1 1 1差异显著平准处理组合】平 均 产 量l0”5!山.口卫.!.1.,.胜.卫卫e slw e.胜k.ee edd.dC C.0b.bas=A;B:CZ7=A;B1Cl3=A;BxCZ4=A:BZCz2=A一B2C21二A一BIC-5=A3B1CZ6=AaBZCI27。3324。0023。6722。3319。6 7nj l介,d氏0勺曰叮汽b冷兮,11二目.上衰9各品种产t 的Q洲脸品种平均产,。一差异。一差异A42566IAAZ23。1”A“85。c】CA“550d!DA人BABBB CCDCDDB因素处理的水平因为F测验不显著,故无需再进行多重 比较。C因素处理的就是2个水平,F测验方差分析比直观分析更大的优点即为可以进行显著性测验。如本例A、B、C三因素的R值各不 同,但是否达显著标准,如B因素进行测验后证明不 显著,因此第二次试验B因素就可 以放弃,证明其对产量的作用不大。同样8个处理组合间以及不同因素的水平间均可以进行测验。60