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1、八年级数学众数、中位数教学案例 王小芬一、案例背景数学课程标准解读中指出：学生是学习的主体，所有的数学知识只有通过学生的“再创造”活动，才能纳入认知结构，才能成为有效的和用得上的知识。新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，还要关注学生学习的过程。教学活动中教师是组织者、引导者、促进者和参与者，教师的教学方式应该灵活多样，教学过程是师生交往共同发展的互动过程，要通过讨论、研究、实验等多种教学组织形式，引导学生积极主动地学习，教师应创设能引导学生主动参与的教学情景，激发学生的积极性。为了在课堂上真正体现师生互动、生生互动，2010年1
2、2月备课组以平均数为例，以某某老师的一堂课进行了研究。二、情景描述： 片段1、故事引入骗人的平均数 小明有一个小工厂生产超级小玩意，管理人员由小明，他的弟弟，六个亲戚组成；工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人。小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“啊，小亮，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。” 人员
3、小明 小明弟 亲戚 领工 工人 周工资 2400 1000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计 2400 1000 1500 1000 1000 问题1 请大家仔细观察表中的数据，讨论回答下面的问题： （1）小明说每周平均工资300元是否欺骗了小亮？平均工资300元能否客观地反映工人的平均收入？若不能，你认为应该用什么工资反映比较合适？（2）小亮找工作时，你认为他应该首先了解什么工资？ 上述问题呈现出来后，同学们兴奋异常，思维活跃，算的算，议的议，就连平时最不爱动脑筋的同学也积极参加了讨论。下面是师生的讨论过程。学生甲：老师，平均工资是300元，小明没有欺骗小亮。 学生乙
4、：不对，我认为欺骗了，因为300元根本不能客观地反映工人的平均收入。 老师：为什么？说说你的理由。 学生乙：因为小明本人和他弟弟两个人的工资每周就有3400元，这样放在一起计算平均数，就把整个平均工资提高了，所以300元根本不能客观地反映工人的平均收入。 老师：分析正确，有理有据，那么你认为应该用什么工资反映比较合理呢？ 学生乙：去掉小明和他弟弟的工资，用剩下的21个人的平均工资166.7元表示比较合理。 学生丙：我认为用领工的工资200元反映比较合理。一是因为去掉两个高工资后，200元比小明的亲戚的工资250元低，比工人的工资100元高，处于中等水平；另外，200元也接近于166.7元，所以
5、用此工资反映比较合理。 学生丁：我觉得还是不合理，因为小亮是当工人，应该用工人的工资100元来反映才合理。小亮找工作时，首先应该了解大多数工人的工资是多少，而不应该首先关心工厂的平均工资是多少。 老师：大家分析得不错，尤其是同学丁和同学丙的分析很有见地。小明告诉小亮每周平均工资300元，从数字上说没有欺骗谁，但变相地欺骗了人。其原因如同学乙分析的那样，因小明将本人和他弟弟两个人高出一般人几倍或几十倍的工资搅在一群低工资中参与计算，使整个平均工资提高了，所以这个故事的名字为“骗人的平均数”。这里的个别高工资在统计数据中，我们将它称为极端数据或异常数据，即指一组数据中特别大或特别小的数据。对于存在
6、极端数据的总体或样本，用平均数描述其集中趋势就不合适了，应该像同学丁分析的那样，用大多数工人的工资来反映。本故事中这个“大多数工人的工资”以及学生丙提出的处于中等水平，确切地说“处于中间位置的工资”就是今天我们要学习的内容众数与中位数。 片段2、 概念教学 有了前面以故事形式导入新课的开场白，以问题的讨论进入新课内容的铺垫，学生已对众数和中位数有了初步的认识与理解，这时，教师先让学生自学教材内容，然后分组讨论下面的问题（教师可在学生自学时板书问题，并可指定小组重点讨论的问题，以便控制授课时间）。 问题结合书本知识的“骗人的平均数”故事，讨论回答下面的问题： （）用自己的语言阐述众数与中位数的概
7、念。 （）指出两者的根本区别之点，找出它们的共同点。 （）在一组数据中，平均数、众数、中位数都是唯一的吗？ 对于（），因有了前面故事的铺垫，以上的能用自己的语言较准确的阐述众数与中位数的概念。 对于（），同学们也能很快地指出两者的根本区别：一个是“出现次数最多的数据”，一个是“位置居中的数据”。至于它们的共同点，在老师的启发下，也归纳出如下两点：概念清楚易理解掌握；对于存在异常数据且数据的分布不均匀时，用众数或中位数描述其集中趋势比平均数的代表性强。 对于（），同学们在了教师的点拨下，通过实例验证，知道了一组数据中的平均数、中位数是唯一的，惟有众数不唯一。例如，若将“骗人的平均数”中的工人人数
8、改为，就存在两个次数最多的数据元和元，这时就有两个众数，故众数不是唯一的。并结合生活中的实际，知道了许多商品就是根据众数进行生产的，如衣服、鞋子、帽子等。如果根据中位数或平均数生产，那么，不管是大人、小孩、老人、年轻人、高个子、矮个子都只能穿戴同一型号的衣服、鞋子、帽子，这岂不可笑。 片段3、学生思考： （1）如果你找工作，你会怎样去了解工作报酬？ （2）写出“骗人的平均数”故事的结尾。 （3）写出生活中应用平均数、众数、中位数的实例各一个 三、听后感想： 通过对教师呈现问题的探究，让学生的思维动起来，师生间课堂上的良性互动，充分暴露学生的思维过程，加深学生的领会。 这节课利用问题的引申开放，
9、引导学生抓住概念实质，理解其精髓，掌握其特点的讨论式教学方法，不仅很好的调动了学生思考的积极性，而且，通过问题的讨论、分析、归纳，提高了学生正确理解概念，分析归纳问题的能力。 在教学中，教师要针对具体问题，加强理性思考，真正让课堂的价值通过师生间的碰撞、相互讨论，生成许多新的东西。让自己的每一堂课都是实实在在的课。 四、知识背景 随着社会的发展，信息统计已经渗透到生活的方方面面，各种信息在媒体中频频出现。为此，充分地挖掘结合学生生活实际的素材，将知识的学习放在解决问题的情境中。让学生分析、评判，使学生体会到数学与现实的联系。 生活实际是数学创造的源泉，贴近学生鲜活的实例，一方面可以利用学生的亲
10、身经历加深对数学的领悟，另一方面可以增加课堂情趣，使学生认识到数学就在身边，既不遥远，也不深奥。 五、听后反思 1 教者注重的是“虎头”课的开场 如何在数学课堂教学中实现师生互动、生生互动，抓住一切有利时机让学生动起来，这是新课程给我们每个数学老师提出的重要课题。在教学中，教者没有按课本上的思路进行教学，而是以“一个骗人的平均数”的小故事进行引入，这个成功的开头对于整节课的优化起着至关重要的作用，由成功的开场把学生引入到了“动”的境地，教者选准了、选活了“切入点”，激活了学生的思维，迅速地使学生进入了“角色”，从而调动了学生学习的主动性、积极性。 为了使开场成功，教者在备课时，不仅对这节课进行
11、了微观设计，而且还统揽全局对这节课进行了宏观设计，反映出教者通盘驾驭教材的能力和教学的预见性。这才是课堂上“动”的前提条件。 2 教者注重的是“熊腰”课的中间 层层设问，揭示主题，教者巧妙地设问似投石于水。引起了学生心海中涟漪阵阵，环环相加。层层递进的设问使学生心海波涛翻滚，在不知不觉中将学生的思路引向目标的情境。所设问的目的之一就是让学生“动”。 师生的互动借助与知识的传输、问题的解决来实现，教者和学生角色不同，行为亦有差异，在问题1中的两个小问题的讨论中，主要采用了两种方式： （1）学生想、教师导，学生思考所能解决的问题，要让学生自己去思考解决，教师引在前，讲在后，学生想在前，听在后，引导
12、学生去想，在充分研读的基础上交流。 （2）学生议、教师导，议就是学生讨论，你一言我一语，促使学生积极思维，打开思路，老师参加议论，及时了解情况，在学生充分讨论的基础上，教师再导。 教者所用方式恰当，从而学生以饱满的热情、旺盛的精力、积极的态度探求问题，这正是我们数学老师所追求的课堂场面。 3 教者注重的是课堂秩序 这堂数学课，由于师生带有灵性的参与，充满了感性的成分，具有勃勃生机，充分体现了师生互动、生生互动的过程。互动不断地进行，课堂发生了不断的变化和意外。互动没有太多的规则，不可能按照预先计划好的每一个细节操作，具有不可控性。教者遵从了现代知识观：“教材、教案等一切文本的意义都具有不确定性
13、，师生皆可对之进行不同的诠释与解读，进行不断地界定和再界定。”教者在教学过程中，不再追求永远的平衡，而是失衡再平衡；不再是一味的有序，而是无序中的有序，教学过程是多元变通，动态生成的。 4 教者注重的是课堂的开放 教者课堂教学时体现的基本原则是“封闭导致僵化，开放才能搞活”，这节课的开放，从内容的角度讲，意味着数学世界向生活世界的回归，生活世界是数学世界的基础，是数学世界之源；从课程的角度讲，是把学生个人的知识、直接经验、生活世界看成重要的资源，尊重“学生文化”，发挥学生的“童心”、“童趣”；从教学的角度讲，鼓励学生对教材的自我理解，自我解读，尊重学生的个人感受和独特见解，使教学成为一个富有个
14、性化的过程；从过程的角度讲，人是开放的，创造性的存在，教者不应该用僵化的形式作用于人。教学过程是师生交流、互动的过程，他作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴致参加课堂活动，从而使课堂呈现出丰富性、多变性和复杂性。 5 教者注重的是师生互动、生生互动的双向性和网络性 课堂上，从学生的讨论和老师的点拨的背景中可以看出，教者充分地注意到了师生是互动的主体，两者均不能独立地出现在互动中，而是共同参与在互动活动中的。 课堂上，一方面教者对学生施加影响，另一方面，学生的语言行为对教者产生影响，构成了一堂课自始至终的师生影响的双向交互性。由此可知，这种交互影响不是一时的、间断的，而是连
15、续的、循环的，从而表现一个既交互又链状的循环过程。 课堂上，生思师导，生说师听，生做生说，生议师导，生想师引，包含了师生互动过程，师生交互影响、交互作用的过程，其中师生是主题，互动过程处于核心位置。 6 教者注重的是“问题” 课堂中的问题是课堂教学中“互动”的有机组成部分，设计合理的问题有利于启发学生积极思考，沟通师生情感交流，调节课堂气氛。教者非常注重问题的设计。 教者的艺术在于如何恰当提出问题和巧妙的引导学生作答，他提出的问题具有诱导启发性，使学生的学习过程变成一个充分调动自己思维器官不断发现问题和解决的过程。 教者提出的问题具有层次的渐进性，让每一个学生体验到成功的乐趣，调动了全体学生的
16、积极性。 教者提出的问题时机选择恰当，达到了“投石激浪”的效果。 可以看出教者了解学生，站在学生的角度设计问题。因而出现了课堂效果比预想的要好。 7 教者注重的是“教学内容” 教学不是紧跟教材一成不变，也不是脱离教材，另搞一套极端的做法，而是掌握了教材的结构，能从整体及其互相关联上理解教材内容，理解内容之间的内在联系和结构，根据学生的实际，设计出了一堂很“美”的、“开放”型的、“互动”型的课。 教者对“众数、平均数”作了整体思考，完全是根据教学目的，仔细斟酌教材密度、广度、深度进行安排、组织教学内容的。这正是教师跳出数学看数学，学生透过数学看世界。 六、值得思考的问题 1、笔者认为，在学生乙两
17、次发言之后，教师的插话是多余的，这种插话具有较强导向性，反映了教师把解决当前的问题作为唯一的教学目标，课堂上教师的任务就是创设合理的情景和自由的气氛，激发学生提出各种各样的问题，甚至是学生荒诞的想法。学生提出的建议越多，学生的发言量越大，所讨论的问题就越深越广，出现有价值的设想的概率就越大，所以这节课还要进一步让学生思考、讨论、研究，使更多的学生发言，让学生的思维更加开放。 2、学生丁发言后，教师的讲授实质上是急于“推销”老师自己的想法，想把学生的思想纳入自己预先设置的轨道上，如果长此下去，不利于学生探究能力、创新能力的培养。课堂教学中教师的主导作用体现在为学生提供宽松、广阔的思维空间，使多数学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来，让学生自己去分析比较，使学生真正有所体验。笔者认为，把这段讲授放在更多学生参与讨论、探究之后效果可能会更好。 总之，课堂教学应该成为对生长、成长中的人的整个生命的成全，对智慧没有挑战的课堂教学是不具有生成性；没有生命气息的课堂教学也是不具有生成性的。从生命的高度来看，每一节课都是不可重复的激情与智慧综合生成的过程。教者也许是从这个高度来思考众数、中位数的教学设计的。