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1、第三单元 公倍数与公因数【知识结构】在四年级（下册）教材里，学生已经建立了倍数和因数的概念，2、3、5倍数的特点；会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。本单元继续教学倍数和因数的知识。“公倍数和公因数”研究两个自然数的倍数和因数的关系。要理解公倍数、最小公倍数和公因数、最大公因数的意义，学会找两个数的最小公倍数和最大公因数的方法。为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。这一单元的要求与大纲的要求比做了调整，新教材不讲互质数，也不教短除法。【学生困难】1.课标与大纲的变化，教师要适应学生。研究教材不够而带来的人为困难。主要是教材体系中前期没有互质数、短除法、分解质因数等，所以找公倍
2、数与公因数时速度较慢，但教材正是基于“理解概念、运用概念”的考虑，所以教师要适应。2.公倍数课标要求是“10以内的两个自然数”；公因数要求是“100以内的两个自然数”。 四年级教材要求会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。所以找公倍数与公因数也应该在这个范围。课程标准只要求在1100的自然数中,能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数,二是只要求在1100的自然数中,能找出两个自然数的公因数和最大公因数，而不是用分解质因数的方法求出公倍数或公因数。不教学用分解质因数的方法求最小公倍数和最大公因数还有两个原因：一是通过列举出两个数的倍数或因数的方法，找出公倍数或公因数。突出对公倍
3、数和公因数意义的理解；二是学生对用短除的形式求最大公因数和最小公倍数的算理理解有困难，减轻学生的学习负担。3.学生有条理书写的意识与习惯不强。学生书写怕烦：由于要依据概念有条理的书写过程，学生思考要落笔，所以养成严格有序、严密思维品质尤其重要。4.部分习题：集合圈的填写；速度偏慢；p25/8与p25的思考题。集合圈的填写比较容易出错，学生的困难在于急于求成，没有一定的步骤。在找出公倍数或公因数之后，还应引导学生用集合图表示出来。要让学生经历填集合图的过程，明确集合图中每一部分的数表示的意义，体会初步的集合思想。“（ ）既是2的倍数，又是3的倍数”之类的两个数的公倍数的特征，学生快速填写较难，速
4、度比较慢。P25第8题，上一次时间是“7月31日”，周期从8月1日起，但是思考题的“上次时间”是8月1日，周期是最小公倍数再多一天。【教材安排】全单元的教学内容分三部分编排。第2225页教学公倍数。主要是两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。第2631页教学公因数。包括两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。在练习五里还安排了最小公倍数与最大公因数的比较。第3236页实践与综合应用。利用邮政编码、身份证号码等实例，教学用数字编码表示信息。在“你知道吗”里，介绍了我国古代曾经用“辗转相除法”求最大公因数，也介绍了现代人们经常用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍
5、数。在阅读这篇材料后，如果学生愿意用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，是允许的。但是，不要求全体学生掌握和使用短除法。编排的思考题，是可以用公倍数、公因数知识解决的实际问题。1操作中理解公倍数与公因数的含义。P22例1教学公倍数，p26例3教学公因数，都是形成新的数学概念，都让学生在操作活动中领会概念的含义。以往教学公倍数的概念，通常是直接找出两个自然数的倍数，然后让学生发现有的倍数是两个数公有的，从而揭示公倍数和最小公倍数的概念。公因数和最大公因数的教学同样如此。本单元教材注意以直观的操作活动，让学生经历公倍数和公因数概念的形成过程。这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍
6、数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。例1分两个层次：第一层次先用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，分别铺边长6厘米和8厘米的正方形，发现正好铺满边长6厘米的正方形，不能正好铺满边长8厘米的正方形，对铺满和不能铺满的原因作出解释。这里重点要联系四年级倍数、因数的知识，解释算式“63=2、62=3”的意义，6是3的倍数、6是2的倍数、6既是3的倍数又是2的倍数。将“形”与“数”结合起来，用概念来表述算式。（操作：动手实践与头脑思维都是操作实践）第二层次根据正好铺满边长6厘米的正方形的经验，再想像联想还能正好铺满边长是几厘米的正方形。
7、先找到这些正方形，把它们的边长从小到大排列，知道这样的正方形有无数多个。从倍数的角度总结规律，为形成新的数学概念积累丰富的感性材料。再用“既是2的倍数，又是3的倍数”概括地描述这些正方形边长的特征。显然，前一层次形象思维的成分较大，思考难度较小，对后一层次的抽象认识有重要的支持作用。关键是为学生数学思考积累提供充分的支撑。 让学生在现实情境中，通过活动领悟公倍数的含义，不仅体现在例题的教学中，还落实到练习里。第23页“练一练”在2的倍数上画“”，在5的倍数上画“”。从数表里的10、20、30三个数既画了“”又画了“”，体会它们既是2的倍数，又是5的倍数，是2和5的公倍数。P24练习四第4、7、
8、8题都是与公倍数有关的实际问题，让学生通过涂颜色、填表格、圈日期等活动体会公倍数的含义。 例3教学公因数的含义，也通过“铺”的活动组织教学。与例1不同的是，例3用2张边长不同的正方形纸片分别去铺同一个长方形，是形成公因数概念的需要。例题编写和练习编排与教学公倍数相似，这里不再重复。2突出概念的内涵、外延，准确理解概念。概念的内涵是指这个概念所反映的一切对象的共同的本质属性。公倍数是几个数公有的倍数，公因数是几个数公有的因数，可见“几个数公有的”是公倍数和公因数这两个概念的本质属性。在倍数、因数的基础上教学公倍数、公因数，关键在于突出“公有”的含义。 教材用“既是又是”的描述，让学生理解“公有”
9、的意思。例1先联系长3厘米、宽2厘米的长方形纸片正好铺满边长6厘米、12厘米、24厘米的正方形这些现象，从正方形的边长分别除以长方形纸的长和宽都没有余数，得出正方形的边长“既是2的倍数，又是3的倍数”，一方面概括了这些正方形边长的特点，另一方面让学生体会“既是又是”的意思。然后在“6、12、18、24既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数”这句话里把“既是又是”进一步概括为“公倍数”，形成公倍数的概念。 集合图能直观形象地显示公倍数、公因数的含义。第23页把6的倍数与9的倍数分别写到两个集合圈里，这两个集合圈有一部分重叠，在重叠部分里写的数既是6的倍数，也是9的倍数，是6和9的公倍数
10、。先观察这个集合图，再填写第24页的集合图，学生能进一步体会公倍数的含义。 概念的外延是指这个概念包括的一切对象。对具体事例是否属于概念作出判断，就是识别概念的外延，加强对概念的认识。例1在揭示2和3的公倍数的概念，指出它们的公倍数是6、12、18、24后，提出“8是2和3的公倍数吗”这个问题，利用反例凸现公倍数的含义。让学生明白8只是2的倍数，不是3的倍数，从而进一步明确公倍数的概念。P24练习四第2题先在表格里分别写出4、5、6的倍数，再寻找4和5、5和6、4和6的公倍数，也有助于学生识别概念的外延。3通过找两个数的公倍数与公因数进一步理解概念。本单元只教学两个数的公倍数、最小公倍数和两个
11、数的公因数、最大公因数。因为这些是最基础的数学知识，在约分和通分时应用最多。不编排例题教学短除法求最小公倍数和最大公因数，而是采用写出两个数的倍数或因数，找出它们的最小公倍数或最大公因数的方法。这样安排的目的是，在运用概念解决问题的过程中，进一步加强数学概念的教学。 P23例2教学求两个数的最小公倍数，出现了多种解决问题的方法，这些方法的思路都出自公倍数和最小公倍数的概念，从6和9的公倍数、最小公倍数的意义引发出来。学生可能先分别写出6和9的倍数，再找出它们的公倍数和最小公倍数。由于倍数需一个一个地写，还要逐个逐个地比，所以得出公倍数和最小公倍数比较慢。学生也可能在9的倍数里找6的倍数，只要依
12、次想出9的倍数（即91、92、93的积），逐一判断是不是6的倍数，操作比较方便。尤其求两个较小数（不超过10）的最小公倍数时，更能显出这种方法的优点。当然，在6的倍数里找9的倍数，也是一种方法，但没有9的倍数里找6的倍数快捷。教材安排学生在交流中体会各种方法，首先是理解各种方法的共同点，都在寻找既是6的倍数、又是9的倍数，而且是尽量小的那个数。然后是理解各种方法的个性特点，从中作出自己的选择。 P27例4求两个数的最大公因数，教学方法和例2相似。求8和12的最大公因数的几种方法中，教材呈现的第一种方法比较适宜多数学生。因为一个数的因数的个数是有限的，先写出两个数的全部因数，再找出最大公因数，操
13、作不麻烦。第二种方法从小到大依次想较小数的因数，稍不留心就会遗漏某一个因数。4用好练习：（1）特殊关系的两个数的公倍数与公因数：p25练习四第5题在初步学会求两个数的最小公倍数之后安排。左边的色块里，每组的两个数之间有倍数与因数关系，它们的最小公倍数是较大的那个数。右边的色块里，每组的两个数之间有互素关系，每组两个数的最小公倍数是它们的乘积。P29练习五第6题是初步会求两个数的最大公因数后安排的。左边色块里，每组的两个数之间也有倍数与因数的关系，它们的最大公因数是较小的那个数。右边色块里，每组两个数的最大公因数是1。这些特殊情况，在通分和约分时会经常出现。（用好机动课时，上好练习课，让学生充分
14、经历“写最小公倍数形成猜想举例验证得出规律运用规律”）。教学时可以按色块进行，先分别求出同一色块四组数的最小公倍数或最大公因数，再找出相同的特点，通过交流内化成求最小公倍数和最大公因数的技能。要注意的是，学生有倍数与因数的知识，能够理解同组两个数之间的倍数、因数关系，以及它们的最小公倍数和最大公因数的规律。由于新教材不讲互质数，也不教短除法，所以两个互质数的最小公倍数是它们的乘积、最大公因数是1，这些特殊情况，只能在具体对象中感受，可以出结语让学生记忆。（2）基本方法的形成：P28练习五编排第3题的意图：帮助学生形成基本的找公倍数、公因数的方法。P29练习五第9题分别写出1、2、3、420这些数与3、2、4、5的最大公因数，在发现有趣规律的同时，也在感受两个数的最大公因数的两种特殊情况。这道习题要充分展开，过程扎实。（3）理解各个数表示的意义：p29练习五第10、11题。尤其是第11题，教材难度是“最长是多少厘米？”，而有些题目还要追问“一共可以剪多少根？”