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1、用解析法研究曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，而曲线方程又与所选择的坐标系有关，但不管选择怎样的坐标系，曲线的几何性质是不变的教学时应向学生讲清图形本身的性质与坐标系的选择无关，把曲线不同位置的性质与曲线本身的性质区别开来把握教学要求，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质突出类比，如导言中的类比提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比学习双曲线要注意与椭圆类比 我们知道，椭圆上的点到两个定点距离的和等于定值，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于定值那么，双曲线的标准方程是什么形式呢？“双曲线范围”的处理与原教材的
2、区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫；这表明双曲线在不等式这表明双曲线在不等式 x a 与与x a所表示的平面区域内；所表示的平面区域内；这表明双曲线在上面两个不等式组表示的这表明双曲线在上面两个不等式组表示的平面区域内，即以直线平面区域内，即以直线 y x和和 y x为边界的平面区域内为边界的平面区域内双曲线离心率几何意义的认识：与椭圆类比提出问题，通过数形结合的分析发现结论 因为双曲线的图形夹在两条渐近线 y=x之间，所以 越大，双曲线的开口就越大 由 可知，越大，双曲线的开口就越大；越小，双曲线的开口就越小，即 反映了双曲线的开口的大小数形结合数形结合注意与椭圆、双曲线的联系与区别
3、建立抛物线标准方程时坐标系的理性选择关注抛物线方程与性质的特殊性让学生独立探索如何建立抛物线的方程，关键是选择适当的坐标系方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称生长点：抛物线过程：特殊 一般（实验探索）设置意图：整体意识、数学的和谐、统一美圆锥曲线的统一定义 我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线 l（F 不在 l上）的距离之比等于1 的动点 P 的轨迹是抛物线 当这个比值是一个不等于1 的常数时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？第25节的思考的功能 (1)代数形式表达的几何意义的价值；(2)多角度认识同一数学对象 在推导椭圆的标准方程时，
4、我们曾得到这样一个式子：将其变形为你能解释这个式子的几何意义吗？椭圆的焦半径公式椭圆的焦半径公式（到右焦点距离）（到右焦点距离）（到左焦点距离）（到左焦点距离）椭圆的两种定义之间的联系椭圆的两种定义之间的联系椭圆的第二定义：椭圆的第二定义：到一个定点的距离与到一条定直线的距离到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数之比为常数e(0e1)的点轨迹的点轨迹准线准线焦点焦点沟通椭圆两种定义之间的联系沟通椭圆两种定义之间的联系沟通形与数之间的联系沟通形与数之间的联系 会会用用方方程程表表示示几几何何图图形形的的性性质质，能能用等式刻画曲线上点的特征用等式刻画曲线上点的特征 会会说说出出方方程程表
5、表示示的的曲曲线线的的几几何何特特征征，能对数量关系做出几何解释能对数量关系做出几何解释突出解析几何的基本思想概念建立方程探求性质从特殊曲线的方程从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等如圆、直线、圆锥曲线等)概念概念中抽象出一般的中抽象出一般的“曲线的方程曲线的方程”的概念的概念原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程了解曲线与方程的对应关系，进一步体 会数形结合的基本思想熟悉求曲线方程的一般步骤（流程图）会求两条曲线交点坐标的简单问题（转化为求解方程组的问题）文理科的区别(1)圆锥曲线的概念部分：文科直接说明(2)文科对抛物线的要求是“了解”(4
6、)文科对“曲线与方程”不作要求(3)对“统一定义”，文科作为性质了解，而 理科作为定义研究(5)文科在例、习题上要求有所降低处理方法变化符合认知规律，暴露思维过程符合认知规律，暴露思维过程与原教材比较的几个变化结构体系变化 总体编排结构总体编排结构文理分科要求；增加了“思考”、“探究”和开放性的问题 为学生个性发展提供了空间为学生个性发展提供了空间选修 21 第三章（12课时）空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具 向量是一个重要的代数研究对象。向量的引入使运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量
7、，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景 向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在数学上，它本身也是一个重要的研究对象，比如：向量与向量的加法构成了一个群（V，），向量、实数与向量的加法构成一个线性空间（V，R，），向量、范数、实数与向量的加法、数乘构成线性赋范空间（V，R，）；在分析数学方面，还有场论的研究等。这
8、些在数学及物理中都有广泛的应用。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。内容 (1)空间向量及其运算；(2)空间向量的应用 一、本章主要内容和结构向量的线性运算向量的数量积空间向量的应用平面向量及其运算空间线、面的位置关系空间角和距离的度量空间向量及其运算结构二、本章的展开方式与特点二、本章的展开方式与特点必修2：立体几何初步、解析几何初步必修4：平面向量选修1：
9、圆锥曲线与方程选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与 闭曲面分类、三等分角与数域扩充选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与 参数方程新教材几何内容知识链新教材几何内容知识链把握图形的能力 空间想象能力推理能力 几何直觉能力培养和发展学生 提升几何直观的思想方法，突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。几何课程的定位几何课程的定位 遵循整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。普通高中数学课程标准对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，
10、强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即洞察与严格，两者在真正的数学研究中起着本质的作用”新课程对立体几何定位的调整新课程对立体几何定位的调整内容展开方式 立体几何初步的安排是横向横向横向横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；空间向量与立体几何的安排是纵向纵向纵向纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算 本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线
11、、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍 本章的基本思想本章的基本思想 本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想：1、根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；2、然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；3、最后对运算结果的几何意义作出解释，从而
12、解决立体几何的问题教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力形形数数形形三、内容解析与教学建议三、内容解析与教学建议 空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质，同时注意空间向量与平面向量的区别和联系教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养注重向量由平面
13、向空间推广过程的教学 向量运算的引入，使数学运算对象发生了重大变化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理解其它的数学运算（如函数的运算、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件特别是当学生利用向量运算解决了数学中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量 体会数学运算的意义体会数学运算的意义 任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，就可以转化为平面向量来解决因此，空间向量的线性运
14、算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的条件等，与平面向量是完全一样的在上述相关内容的教学时，应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质 鼓励类比猜想、自主探索 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法、坐标法与综合法，从不同角度解决立体几何问题 在数学2立体几何初步中，侧重于定性地研究线、面的位置关系，而本章则借助于空间向量，侧重于定量研究感悟向量的思想方法 共面向量还可以理解为“平行于同一平面的向量”（传统的定义）为此，还要先规定向量与平面平行的含
15、义：若表示向量的有向线段平行于平面或在平面内，则称向量与平面平行本书对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受 新教材：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 关于共面向量的定义关于共面向量定理 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示1共线向量定理表明，任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定理表
16、明，任意一个平面向量可以用与它同一平面内的两个不共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定理是向量共线定理的推广，可以看成（在一定范围内的）向量分解“唯一性”定理由一维向二维的推广由此，可以向学生提出：在空间向量中，我们还可以作怎样的推广呢？引导学生积极主动探索关于空间向量基本定理2空间向量基本定理表明，任意一个空间向量可以用不共面的三个已知向量来线性表示，而且这种表示是唯一的因此，空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，它为空间向量的坐标表示奠定基础 空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中也多了一“项”定理中“存在性”的证明与平
17、面向量基本定理的思路、步骤基本相同，“惟一性”的证明用到反证法，只要求学生了解即可关于空间向量的数量积1由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同教学中，应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概念、运算和方法推广到空间2要正确使用两个向量夹角的符号a，b例如，,BAC 3空间向量数量积的几何意义只要求学生了解 4空间向量数量积运算律的证明不作要求 向量的数量积是实施向量等向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径式向数量等式转化的重要途径 空间线、面的位置关系中，角反映了它们在方
18、向上的差异因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”，从而引入直线的方向向量和平面的法向量关于直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量不止一个，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量因此，研究空间直线与直线、直线与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向”平面的法向量不止一个，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说，两个平行平面的“方向”是相同的因此，研究空间平面与直线、平面与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画平面的“方向”将
19、空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程 关于空间线面关系的“符号化”三垂线定理回答了这样的问题：平面的斜线与平面内怎样的直线垂直(与斜线在平面内的射影垂直的直线垂直)在数学2立体几何中，三垂线定理淡出，只是在例题中用综合法通过直线与平面的垂直证明过这个定理(但没给出“三垂线定理”的名称)，而这里是通过向量“运算”来实现证明的，这进一步凸现了向量方法在研究几何图形中的作用关于三垂线定理的教学注意空间角的范围 由于两条异面直线所成的角是锐角或直角，而两个向量夹角的取值范围是0,，所以两条异面直线所成的角与它们方向向量的夹角相等或
20、互补 由由直直线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角来来求求直直线线与与平平面面所所成成的的角角，要要注注意意角角的的范范围围一一般般地地，当当直直线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角为为锐锐角角时时，直直线线与与平平面面所所成的角与这个夹角成的角与这个夹角互余互余 由由两两个个平平面面法法向向量量的的夹夹角角来来求求二二面面角角的的大大小小时时，应应结结合合图图形形来来确确定定若若它它们们的的法法向向量量“方方向向相相反反”，则则二二面面角角的的平平面面角角与与法法向向量量的的夹夹角角相相等等；若若它它们们的的法法向向量量 “方方向相同向
21、相同”，则二面角的平面角与这个夹角，则二面角的平面角与这个夹角互补互补 选修 22 第1章（24课时）选修 11 第3章 （16课时）一、本章结构导数定积分实际背景微分与积分的关系 定 积 分 的 概 念 导 数 的 应 用 导 数 的 运 算 导 数 的 概 念二、本章的价值与定位1、促进学生全面认识数学的应用价值、科学价值 和文化价值 2、使学生对变量数学的思想方法有新的感受 如果说，“数”是用来描述静态事物的，“函数”是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观世界中的重要作用那么，可以说，导数就是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决极大极小、最大最小等实际问题，
22、是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具。从中体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论，以及变量数学的力量教育价值3、发展高中学生的思维能力 从进入高二阶段学习的学生的认知水平来看，他们已开始摆脱具体事物的形式，进入具有形式逻辑的一般化理性思维阶段，并开始向更高级的思维辩证思维形式发展，但是他们对于运动辩证、对立统一的认识是非常朦胧的而微积分中蕴涵着丰富的运动辩证、对立统一的思想方法，如：把跳水运动员的瞬时速度看作是平均速度无限小变化的结果，它出发于对过程无限小变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果（平均速度）有关，它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永
23、久，并使之确定起来”（恩格斯）的一种运动辩证、对立统一的思想学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的学习过程，从中感受、体验导数的思想，一种运动辩证、对立统一的思想因此，“导数及其应用”的学习必将对发展学生的辩证思维能力，进而发展学生的思维能力起到积极的作用4、为学生进一步学习微积分打好基础 从以往学生学习微积分的情况来看，学生最困难处有二：一是对极限过程中潜无穷与实无穷这一辩证统一关系的认识和理解问题；二是对形式化定义本质的认识，即为什么用静态的量的关系可以描述动态的极限过程按照标准对导数内容的处理方法，学生在结合实例，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，可以使学生对极限过程中潜无穷（平均速度的变化过程）与实无穷（平均速度的变化结果）这一辩证统一的关系，通过导数的学习有一种感性的认识，从而为以后进一步上升到理性的认识，以及给出极限的形式化定义作一定的铺垫