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1、数学一点通四边形单元总结一、 平行四边形的性质1平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形作用：(1)给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行， 那么它一定是平行四边形(2)给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行2平行四边形的性质(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；(2)平行四边形的对边平行且相等；(3)平行四边形的对角相等，邻角互补； (4)平行四边形的对角线互相平分3平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，二、平行四边形的判定
2、1平行四边形的判定方法2三角形中位线定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。作用：(1)位置关系：可以证明两条直线平行； (2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分拓展：(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形； (2)要会区别三角形的中线与中位线三、平行四边形小结：四、矩形1矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。2矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质；(2)对角线相等；(3)四个角都是直角；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴
3、3直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半拓展：己学过的直角三角形的性质主要有：(1)两锐角互余；(2)两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)30角所对的直角边等于斜边的一半；(4)斜边上的中线等于斜边的一半4矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形5矩形的面积公式： 矩形面积=长宽五、菱形1定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2性质：(1)具有平行四边形的一切性质； (2)四条边都相等； (3)两条对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角； (4)既是中心对称图形
4、又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线拓展：由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决3判定：(1)定义； (2)四条边都相等的四边形； (3)对角线互相垂直平分的四边形； (4)对角线平分一组对角的平行四边形4面积：(1)平行四边形面积公式：底高 (2)两条对角线乘积的一半若a、b分别表示两条对角线的长，则六、正方形1定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 拓展：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形2性质：(1)边四条边都相等，邻边垂直，对边平行； (2)角四个角都是直角； (3)对角线相等；互相垂直平分；每一条对角线平
5、分一组对角；两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形 (4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点拓展：(1)若正方形的边长为a，则对角线的长为； (2)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等3判定：(1)先证它是矩形，再证一组邻边相等； (2)先证它是菱形，再证一个角是直角4面积：(1)正方形的面积等于边长的平方； (2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大例题分析：1如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO 求证：AOB=COB解：作BMCF于M，BNAE于N，连接BE
6、、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是AOB=COB2如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形证明略3如图，ABCD为等腰梯形，ABCD，对角线AC，BD交于O，且AOB=60，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点求证：EFG为等边三角形证明：连接EC ABCD为等腰梯形， AD=BC，且AC=BD又 DC=DC， AD
7、CBCD，ACD=BDC， ODC为等腰三角形 DOC=AOB=60， ODC为等边三角形又 E为OD中点， OEC=90在RtBEC中，G为斜边的中点， 。同理 在OAD中， E，F分别为OD，OA的中点 ，故EFG为等边三角形4已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点求证：(1)BEAC； (2)EG=EF。证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC，BD=2BO 由已知BD=2AD， BO=BC，又E是OC中点， BEAC(2)由(1)BEAC，又G是AB中点， EF是OCD的中位线， 又， 5如图1，2所示
8、，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下，将AOB完全展开(1)画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；(2)若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB应满足的条件(1)展开图如图所示，它是菱形 证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD， 四边形ABCD是平行四边形又 OAOB， 即ACBD， 四边形ABCD是菱形(2)AOB中，ABO=45(或BAO=45或OA=OB)6已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF (1)当DG=2时，求FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数
9、式表示FCG的面积；(3)判断FCG的面积能否等于1，并说明理由解：(1) 正方形ABCD中，AH=2， DH=4 又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为 在AHE和DGH中，A=D=90， AH=DG=2，EH=HG=， AHEDGH。 AHE=DGH。 DGH+DHG=90， DHG+AHE=90， GHC=90，即菱形EFGH是正方形 同理可以证明DGHCFG 因此FCG=90，即点F在BC边上，同时可得CF=2， 从而(2)作FMDC，M为垂足，连结GE， ABCD， AEG=MGE， HEGF， HEG=FGE。 AEH=MGF。 在AHE和MFG中，A=M=90，HE=FG， AHEMFG。 FM=HA=2， 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。 因此(3)若，由，得，此时，在DGH中，。 相应地，在AHE中，即点E已经不在边AB上。 故不可能有。 另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4， 当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时， HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。 此时，故。 而函数的值随着的增大而减小， 因此，当时，取得最小值为。 又因为，所以FCG的面积不可能等于1。