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1、第二节 函数的单调性与最值1.1.函数在区间上是增加（递增）的、减少（递减）的含义函数在区间上是增加（递增）的、减少（递减）的含义在函数在函数y=y=f(xf(x)的定义域内的一个区间的定义域内的一个区间A A上，如果对于任意两数上，如果对于任意两数x x1 1,x,x2 2A,A,且且x x1 1xx2 2，则：，则：（1 1）f(xf(x)在区间在区间A A上是增加（递增）的上是增加（递增）的_._.（2 2）f(xf(x)在区间在区间A A上是减少（递减）的上是减少（递减）的_._.f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)2.2.单调区间、单调性及单调函数单调区间、单调性及单调
2、函数（1 1）单调区间：如果）单调区间：如果y=fy=f（x x）在区间）在区间A A上是上是_或是或是_，那么称，那么称_为单调区间为单调区间.（2 2）单调性：如果函数）单调性：如果函数y=fy=f（x x）在定义域的某个子集上是）在定义域的某个子集上是_的或是的或是_的，那么就称函数的，那么就称函数y=fy=f（x x）在这个子集上具）在这个子集上具有单调性有单调性.（3 3）单调函数：如果函数）单调函数：如果函数y=fy=f（x x）在整个定义域内是）在整个定义域内是_的的或是或是_的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数为单调
3、函数.增加的增加的减少减少A A增加增加减少减少的的增加增加减少减少3 3函数的最值函数的最值前提前提 设函数设函数y=y=f(xf(x)的定义域为的定义域为D,D,如果存在如果存在MRMR满足满足条件条件存在存在x x0 0D,D,使得使得_对于任意的对于任意的xDxD,都有都有_存在存在x x0 0D,D,使得使得_对于任意的对于任意的xDxD,都有都有_结论结论M M是是f(xf(x)的的_值值,记作记作y ymaxmax=f(x=f(x0 0)M M是是f(xf(x)的的_值值,记作记作y yminmin=f(x=f(x0 0)f(xf(x0 0)=M)=Mf(x)Mf(x)Mf(xf
4、(x0 0)=M)=Mf(x)Mf(x)M最大最大最小最小判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）.（1 1）函数）函数 的单调区间是的单调区间是(-,0)(0,+).()(-,0)(0,+).()(2)(2)对于函数对于函数f(x),xDf(x),xD,若若x x1 1,x,x2 2DD且且(x(x1 1-x-x2 2）f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,0,则函数则函数f(xf(x)在在D D上是增加的上是增加的.().()（3 3）函数）函数y=|x|y=|x|是是R R上的增函数上的增函数.().()（4 4）若函数满足）若函数满
5、足f(2)f(2)f(3)f(3)，则函数，则函数f(xf(x)在在2,32,3上是增加上是增加的的.().()【解析解析】（1 1）错误）错误.当当x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1=1时时,x,x1 1x x2 2,但但f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),因此因此(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)不是函数的单调区间不是函数的单调区间.（2 2）正确）正确.(x.(x1 1-x-x2 2)f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0 或或 因此函数因此函数f(xf(x)在在D D上是增加的上是增加的.（3 3）错误）错误.函数函数y=|x|y=|x|在在(-,
6、0)(-,0)上是减少的上是减少的,在在0,+)0,+)上是上是增加的增加的.（4 4）错误）错误.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性域和相应区间就谈不上单调性.答案：答案：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）1.1.如果二次函数如果二次函数f(xf(x)=3x)=3x2 2+2(a-1)x+b+2(a-1)x+b在区间在区间(-,1)(-,1)上是减少上是减少的的,则则()()（A A）a=-2 a=-2 （B B）a=2 a=2 （C C）a-2 a-2 （D D）a2a2【解析解析】选选C.C.二次函数的
7、对称轴是二次函数的对称轴是 由题意知由题意知 解得解得a a-2.-2.2.2.函数函数f(xf(x)中，满足中，满足“对任意对任意x x1 1，x x2 2(0(0，)，当，当x x1 1x x2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)”的是的是()()（A A）（B B）f(xf(x)(x-1)(x-1)2 2（C C）f(xf(x)e ex x （D D）f(xf(x)ln(xln(x1)1)【解析解析】选选A.A.由题意知要求函数由题意知要求函数f(xf(x)在在(0(0，)上是减少的上是减少的.3.3.函数函数y=(2k+1)x+by=(2k+1)x+b在在R R
8、上是减函数上是减函数,则则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意知由题意知2k+12k+10,0,答案：答案：4.f(x)=x4.f(x)=x2 2-2x,x-2x,x-2,3-2,3递增的单调区间为递增的单调区间为_,_,f(x)f(x)maxmax=_.=_.【解析解析】f(xf(x)=(x-1)=(x-1)2 2-1,-1,故故f(xf(x)递增的单调区间为递增的单调区间为1,31,3,f(x)f(x)maxmax=f(-2)=8.=f(-2)=8.答案：答案：1,31,3 8 8考向考向 1 1 确定函数的单调性或单调区间确定函数的单调性或单调区间【典例典例1 1】（
9、1 1）函数）函数f(xf(x)=log)=log2 2(x(x2 2-4)-4)递减的单调区间为递减的单调区间为_._.(2)(2)试讨论函数试讨论函数 在在x(-1,1)x(-1,1)上是增加的还是减少上是增加的还是减少的的(其中其中a0).a0).【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据复合函数的单调性求解根据复合函数的单调性求解.(2)(2)用定义法或导数法求解用定义法或导数法求解.【规范解答规范解答】(1)(1)由由x x2 2-4-40 0得得x x2 2或或x x-2,-2,即函数即函数f(xf(x)的定义的定义域为域为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+).令令t=xt=x
10、2 2-4,-4,因为因为y=logy=log2 2t t在在t(0,+)t(0,+)上是增加的上是增加的,t=xt=x2 2-4-4在在x(-,-2)x(-,-2)上是减少的上是减少的,所以函数所以函数f(xf(x)=log)=log2 2(x(x2 2-4)-4)递减的单调区间为递减的单调区间为(-,-2).(-,-2).答案：答案：(-,-2)(-,-2)(2)(2)方法一方法一(定义法定义法):):设任意设任意x x1 1,x,x2 2(-1,1)(-1,1)且且x x1 1x x2 2,则则-1-1x x1 1x x2 21,1,因此当因此当a a0 0时时,f(x,f(x1 1)-
11、f(x)-f(x2 2)0 0，即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),此时函数在此时函数在(-1,1)(-1,1)上是减少的上是减少的;当当a a0 0时时,f(x,f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0，即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),此时函数在此时函数在(-1,1)(-1,1)上是增加的上是增加的.方法二方法二(导数法导数法)：当当a a0 0时时,f(xf(x)0;)0.)0.当当a a0 0时时,f(xf(x)在在(-1,1)(-1,1)上是减少的上是减少的;当当a a0 0时时,f(xf(x)在在(-1,1)(-1,1)上是增加的上是增加的.【互
12、动探究互动探究】若将本例题（若将本例题（1 1）中的函数改为）中的函数改为“”,试求函数试求函数f(xf(x)递减的单调区间递减的单调区间.【解析解析】函数函数f(xf(x)的定义域为的定义域为(-1,+),(-1,+),令令t=x+1,t=x+1,则则t t0.0.因为因为 在在t(0,+)t(0,+)上是减函数上是减函数,t=x+1,t=x+1在在x(-1,+)x(-1,+)上是上是增函数增函数,所以函数所以函数 递减的单调区间为递减的单调区间为(-(-1,+).1,+).【拓展提升拓展提升】1.1.函数单调性的四种判断方法函数单调性的四种判断方法(1)(1)定义法定义法.(2).(2)图
13、像法图像法.(3).(3)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性.(4).(4)导数法导数法.2.2.复合函数单调性的判断方法复合函数单调性的判断方法复合函数复合函数y=fy=f（g(xg(x)）的单调性应根据外层函数）的单调性应根据外层函数y=y=f(tf(t)和内层和内层函数函数t=t=g(xg(x)的单调性判断的单调性判断,遵循遵循“同增异减同增异减”的原则的原则.【变式备选变式备选】用定义法判断函数用定义法判断函数 在定义域上的单调在定义域上的单调性性.【解析解析】由由x x2 2-10-10得得x1x1或或x-1,x-1,即函数的定义域为即函数的定义域为(-,-1(-,-11,+)
14、.1,+).设设x x1 1x x2 2,则则当当x x1 1,x,x2 2(-,-1(-,-1时时,x x1 1-x-x2 20,0,x x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),故函数在故函数在(-,(-,-1-1上是减少的上是减少的.当当x x1 1,x,x2 21,+)1,+)时时,x x1 1-x-x2 20,0,x x1 1+x+x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),故函数在故函数在1,+1,+）上
15、是增加的）上是增加的.考向考向 2 2 求函数的值域或最值求函数的值域或最值【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013天津模拟天津模拟)设函数设函数g(xg(x)=x)=x2 2-2(xR),-2(xR),则则f(xf(x)的值域是的值域是()()(2)(2)用用mina,b,cmina,b,c 表示表示a,b,ca,b,c三个数中的最小值，设三个数中的最小值，设f(xf(x)=)=min2min2x x,x+2,10-x(x0),x+2,10-x(x0),则则f(xf(x)的最大值为的最大值为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)明确自变量的取值范围明确自变量的取值范围,先求每一部
16、分的函数先求每一部分的函数值范围值范围,再取并集求值域再取并集求值域.(2)(2)明确明确f(xf(x)的意义的意义,数形结合求数形结合求f(xf(x)的最大值的最大值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.解解x xg(xg(x)=x)=x2 2-2-2得得x x2 2-x-2-x-20 0，则，则x x-1-1或或x x2.2.因此因此xg(xxg(x)=x)=x2 2-2-2的解为：的解为：-1x2.-1x2.于是于是当当x x-1-1或或x x2 2时，时，当当-1x2-1x2时，时，且且f(-1)=f(2)=0f(-1)=f(2)=0，由以上可得由以上可得f(xf(x)的值域是
17、的值域是 故选故选D.D.(2)(2)由题意知函数由题意知函数f(xf(x)是三个函数是三个函数y y1 1=2=2x x，y y2 2=x+2,y=x+2,y3 3=10-x=10-x中的较小者，中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的作出三个函数在同一直角坐标系下的图像（如图实线部分为图像（如图实线部分为f(xf(x)的图像），的图像），可知可知A A（4 4，6 6）为函数）为函数f(xf(x)图像的最图像的最高点，则高点，则f(x)f(x)maxmax=6.=6.答案：答案：6 6【拓展提升拓展提升】求函数最值的五个常用方法求函数最值的五个常用方法（1 1）单调性法：先确定函数是增
18、加的，还是减少的）单调性法：先确定函数是增加的，还是减少的,再求最值再求最值.（2 2）图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，）图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值求出最值.（3 3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值数，再用相应的方法求最值（4 4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定一正二定三相等三相等”的条件后用基本不等式求出最值的条件后用基本不等式求出最值.（5 5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后
19、）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值结合端点值，求出最值.【提醒提醒】在求函数的值域或最值时在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域应先确定函数的定义域.【变式训练变式训练】（1 1）函数）函数 在区间在区间a,ba,b上的最大上的最大值是值是1,1,最小值是最小值是 则则a+ba+b=_.=_.【解析解析】易知易知f(xf(x)在在a,ba,b上是减少的上是减少的,即即 a+b=6.a+b=6.答案：答案：6 6(2)(2)设设f(xf(x)=x)=x2 2-2ax(0 x1)-2ax(0 x1)的最大值为的最大值为M(aM(a),),最小值为最小值为m
20、(am(a),),试试求求M(aM(a)及及m(am(a)的表达式的表达式.【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2ax=(x-a)-2ax=(x-a)2 2-a-a2 2,x,x0,10,1.当当a0a0时时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.当当 时时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2 2.当当 时时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2 2.当当a a1 1时时,M
21、(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.综上知综上知,考向考向 3 3 函数单调性的应用函数单调性的应用【典例典例3 3】(1)(1)（20132013宿州模拟）已知宿州模拟）已知y=y=f(xf(x)在定义域在定义域(-1,1)(-1,1)上是减少的，且上是减少的，且f(1-a)f(1-a)f(2a-1),f(2a-1),则则a a的取值范围是的取值范围是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(0,1)(C)(D)(0,1)（2 2）(2013(2013中山模拟中山模拟)已知已知满足对任意满足对任意x x1 1xx2
22、2,都有都有 成立，那么成立，那么a a的取值范的取值范围是围是_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据单调性列不等式组求解根据单调性列不等式组求解,注意定义域注意定义域.(2)(2)寻找寻找f(xf(x)是增函数满足的条件是增函数满足的条件,列不等式组求解列不等式组求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由已知得由已知得即即 0 0a a(2)(2)对任意对任意x x1 1xx2 2,都有都有 成立成立,函数函数f(xf(x)是是R R上的增函数上的增函数.答案：答案：【拓展提升拓展提升】1.1.含含“f f”号不等式的解法号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为首先根据
23、函数的性质把不等式转化为f(g(xf(g(x)f(h(xf(h(x)的形式，的形式，然后根据函数的单调性去掉然后根据函数的单调性去掉“f f”号，转化为具体的不等式号，转化为具体的不等式（组），此时要注意（组），此时要注意g(xg(x)与与h(xh(x)的取值应在外层函数的定义域的取值应在外层函数的定义域内内.2.2.比较函数值大小的思路比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合
24、的尽量用图像法求解选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.【变式训练变式训练】（1 1）(2013(2013日照模拟日照模拟)已知已知 是是(-,+)(-,+)上的减函数上的减函数,那么那么a a的取的取值范围是值范围是()()（A A）(0,1)(0,1)（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知即即（2 2）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x)满足满足:f(xf(x)=f(4-x)(xR),)=f(4-x)(xR),且在且在2,+)2,+)上是增加的，则上是增加的，则()()（A A）f(4)f(4)f(1)f(1)f(0.5)f(0.5)（B B）f(
25、1)f(1)f(0.5)f(0.5)f(4)f(4)（C C）f(4)f(4)f(0.5)f(0.5)f(1)f(1)（D D）f(0.5)f(0.5)f(4)f(4)f(1)f(1)【解析解析】选选C.C.函数函数y=y=f(xf(x)满足满足:f(xf(x)=f(4-x)(xR),)=f(4-x)(xR),函数函数f(xf(x)的图像关于的图像关于x=2x=2对称，对称，f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5).f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5).又又f(xf(x)在在2,+)2,+)上是增加的上是增加的,f(4)f(4)f(3.5)f(3.5)f(3).f(3).即即f
26、(4)f(4)f(0.5)f(0.5)f(1).f(1).【易错误区易错误区】分段函数单调性的应用误区分段函数单调性的应用误区【典例典例】(2013(2013无锡模拟无锡模拟)已知函数已知函数则满足不等式则满足不等式f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)的的x x的取值范围是的取值范围是_._.【误区警示误区警示】本题易出现以下错误：由本题易出现以下错误：由f(1-xf(1-x2 2)f(2x)f(2x)得得1-x1-x2 22x,2x,忽视了忽视了1-x1-x2 20 0导致解答失误导致解答失误.【规范解答规范解答】画出画出 的图像，由图像可知的图像，由图像可知,若若f(1-xf(
27、1-x2 2)f(2x)f(2x)，则则即即 得得-1-1x x答案：答案：【思考点评思考点评】解决分段函数的单调性问题时解决分段函数的单调性问题时,应高度关注以下应高度关注以下三个方面三个方面(1)(1)抓住对变量所在区间的讨论抓住对变量所在区间的讨论.(2)(2)保证各段上同增保证各段上同增(减减)时时,要注意左、右段端点值间的大小关要注意左、右段端点值间的大小关系系.(3)(3)弄清最终结果取并还是交弄清最终结果取并还是交.1.(20131.(2013宝鸡模拟宝鸡模拟)函数函数 的值域是的值域是()()(A)(0,1)(B)(0,1(A)(0,1)(B)(0,1(C)(C)0,10,1
28、(D)(D)0,1)0,1)【解析解析】选选B.B.函数函数f(xf(x)的定义域为的定义域为R,R,xx2 2+11,+11,即函数即函数f(xf(x)的值域为的值域为(0,1(0,1.2.(20132.(2013南昌模拟南昌模拟)函数函数y=-(x-3)|x|y=-(x-3)|x|递增的单调区间是递增的单调区间是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选C.C.函数递增的单调区间是函数递增的单调区间是3.3.（20122012安徽高考）若函数安徽高考）若函数f(xf(x)=|2x+a|)=|2x+a|的单调递增区间是的单调递增区间是3,+)3,+)，则，则a=
29、_.a=_.【解析解析】作出函数作出函数f(xf(x)=|2x+a|)=|2x+a|的图像，根据图像可得函数的的图像，根据图像可得函数的单调递增区间为单调递增区间为即即答案：答案：-6-64.(20134.(2013合肥模拟合肥模拟)对对a a，bRbR，记，记函数函数f(xf(x)=max|x+1|,-x)=max|x+1|,-x2 2+1+1的最小值是的最小值是_._.【解析解析】由题意知函数由题意知函数f(xf(x)是两个函数是两个函数y y1 1=|x+1|,=|x+1|,y y2 2=-x=-x2 2+1+1中的较大者中的较大者,作出作出两个函数在同一直角坐标两个函数在同一直角坐标系
30、中的图像系中的图像,则则f(xf(x)的图像的图像是图中的实线部分是图中的实线部分,由图像易知由图像易知f(x)f(x)minmin=0.=0.答案：答案：0 01.1.已知函数已知函数 则则“-2a0-2a0”是是“f(xf(x)在在R R上是增函数上是增函数”的的()()（A A）必要不充分条件）必要不充分条件（B B）充分不必要条件）充分不必要条件（C C）充要条件）充要条件（D D）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件【解析解析】选选A.A.当当a=0a=0时时,是是R R上的增函数上的增函数;当当a0a0时时,要使函数要使函数f(xf(x)是增函数是增函数,则必须满足则必须满足
31、 解得解得 综上知综上知,函数函数f(xf(x)是增函数的充要是增函数的充要条件是条件是 因此因此“-2a0-2a0”是是“f(xf(x)在在R R上是增函数上是增函数”的必要不充分条件的必要不充分条件.2.2.定义新运算定义新运算：当：当abab时，时，ababa a；当；当a ab b时，时，ababb b2 2，则函数则函数f(xf(x)(1x)x(1x)x(2x)(2x)，xx-2,2-2,2的最大值等于的最大值等于()（A A）-1 -1 （B B）1 1 （C C）6 6 （D D）1212【解析解析】选选C.C.由已知得当由已知得当-2x1-2x1时，时，f(xf(x)x-2x-2，当当1 1x2x2时，时，f(xf(x)x x3 32.2.在在-2,1-2,1,(1,2,(1,2是增加的是增加的,f(xf(x)的最大值为的最大值为f(2)f(2)2 23 3-2-26.6.