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1、19.2.3 19.2.3 正方形正方形人教版数学教材八年级下图中有我们熟悉的四边形吗？图中有我们熟悉的四边形吗？1、怎样由平行四边形得到矩形？、怎样由平行四边形得到矩形？矩形矩形 菱形菱形平行四边形平行四边形一个内角一个内角90对角线相等对角线相等2、怎样由平行四边形得到菱形？、怎样由平行四边形得到菱形？一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直请同学们画一个四边形，请同学们画一个四边形，要求它既是要求它既是矩形矩形又是又是菱形菱形.什么样的图形是正方形？什么样的图形是正方形？怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？怎样将一个菱形框变成一个正方形框？
2、怎样将一个菱形框变成一个正方形框？一组邻边相等的一组邻边相等的矩形矩形是正方形，有是正方形，有一个角为直角一个角为直角的的菱形菱形是正方形是正方形.平行四边形、矩形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系菱形、正方形的关系.平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形 对边平行，对边平行，AD BC，AB CD；四边相等，四边相等，AB=BC=CD=DA；四个角都是直角，四个角都是直角，ABC=BCD=CDA=DAB=900；对角线互相垂直，对角线互相垂直，AC BD；对角线相等，对角线相等，AC=BD；对角线互相平分，对角线互相平分，AO=CO，BO=DO；每条对角线平分一组对角，每条对角
3、线平分一组对角，ABD=DBC，ADB=BDC，BCA=ACD，BAC=CAD；OABCD对称性：对称性：正方形是轴对称图形正方形是轴对称图形 既然正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么既然正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么它就具有矩形和菱形所有的性质它就具有矩形和菱形所有的性质.你能总结出来吗？你能总结出来吗？边：边：角：角：对角线：对角线：（四条对称轴）也是中心对称图形（四条对称轴）也是中心对称图形例例1.求证求证:正方形的两条对角线把正方形分正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形成四个全等的等腰直角三角形.OABCD已知已知:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,
4、对角对角线线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形并且并且ABOBCOCDODAO ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角都是等腰直角三角形形,AC=BD,ACBD,AO=CO=BO=DO.讨论讨论:图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形?如图如图1：正方形：正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，E是是AC上的一点，连接上的一点，连接EB，过点，过点A作作AMBE，垂足，垂足M，AM交交BD于点于点FCABDFEMO图2ABCD
5、OFEM图1如图如图2所示，若点所示，若点E在在AC的延长线上，的延长线上，AMEB的延长的延长线于点线于点M，交，交DB的延长线于点的延长线于点F，其他条件都不变，则结，其他条件都不变，则结论论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由成立，请说明理由求证求证OE=OF；例例2问题：问题：1、怎样由矩形得到、怎样由矩形得到正方形正方形？2、怎样由菱形得到、怎样由菱形得到正方形正方形？矩形矩形有有一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直菱形菱形正方形正方形对角线相等对角线相等有有一个角是直角一个角是直角1、判断：、判断
6、：（1）如果一个菱形的两条对角线相等）如果一个菱形的两条对角线相等,那么它那么它一定是正方形一定是正方形.（）（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直）如果一个矩形的两条对角线互相垂直,那那么它一定是正方形么它一定是正方形.（）（3）两条对角线互相垂直且相等的四边形）两条对角线互相垂直且相等的四边形,一一定是正方形定是正方形.（）（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形是正方形.（）小试牛刀小试牛刀2 2、在四边形、在四边形ABCDABCD中，中，O O是对角线的交点，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（能判定这个四边形是正方形的是（）A
7、 AAC=BDAC=BD，ABCDABCD，AB=CDAB=CDB BADBCADBC，BAD=BCDBAD=BCDC CAO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ACBDACBDD DAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，AB=BCAB=BC小试牛刀小试牛刀CADBOC例例3 3、已知、已知:正方形正方形ABCDABCD中中,点点E E、F F、G G、H H分别分别是是AB AB、BC BC、CD CD、DADA的中点的中点,判断四边形判断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗?为什么为什么?例题解析例题解析 已知已知:正方形正方形ABCDABCD中中,点点E E、F F、G
8、 G、H H分别在分别在AB AB、BC BC、CD CD、DADA上上,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,判断判断四边形四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗?为什么为什么?变题变题123 如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是正方形，对角是正方形，对角线线AC、BD相交于相交于O，四边形四边形AEFC是菱形，是菱形，EHAC，垂足垂足H求求证：证：EH=FCABCDO EFH例例例例4 4例例5.如图如图1，两个相同的正方形纸片，两个相同的正方形纸片ABCD和和EFGH，将纸片将纸片EFGH的一个顶点的一个顶点E，放在纸片放在纸片ABCD对角对角线的交点线的交点O
9、处，那么正方形纸片处，那么正方形纸片EFGH绕点绕点O无论怎无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面积总等于一样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面积总等于一个正方形面积的个正方形面积的0.25 0.25 ，你能说明为什么吗？，你能说明为什么吗？HDCNM（E）OGFBA图图2O（E）HGFDCBA正方形有哪些性质？正方形有哪些性质？从边上来谈；从边上来谈；从角上来谈；从角上来谈；从对角线上来谈；从对角线上来谈；课堂小结课堂小结在四边形的大家庭中在四边形的大家庭中,我有四个兄弟我有四个兄弟.老大是平行四边形老大是平行四边形,它性格温和它性格温和.老二是矩形老二是矩形,它稳重大方它稳重大方.江湖上人称长方形江湖上人称长方形.老三是菱形老三是菱形,它活泼可爱它活泼可爱.我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身一身,人见人爱人见人爱.正方形正方形矩形矩形有有一组邻边相等一组邻边相等菱形菱形有有一个角是直角一个角是直角有一组邻边相等且有一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角平行四边形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相垂直对角线相等对角线相等如何判别一个平行四边形是正方形？如何判别一个平行四边形是正方形？对角线相等且互相垂直对角线相等且互相垂直