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1、平面几何进阶讲座平面几何进阶讲座 第三讲 三角形的巧合点 1.内心 内心就是三角形内切圆的圆心，不难知道它一定在三个角的平分线上，故为三角平分线的交点.（到三边距离相等）关于角平分线共点的证明课本上有同一法，我们再介绍一种利用塞瓦定理的方法 如图，三角形三条角平分线分别交对边于点,求证：,共点于.证明：由角平分线分对边成比例定理可知：=三式相乘得到=1 故,共点.用角元形式会更加简单 关于内心的性质，我分成如下几个部分：1)关于角：=90+12 =90+12 =90+12 以上结论十分简单，且题设和结论可逆.2)关于线段：鸡爪定理.已在上一讲提及，这里将图形再画出来.结论是可逆的，这里给出证明
2、：首先由=可知平分.由=知=.即+=+,而=.所以=.即平分.所以是三角形的内心.IFDEABCDIABC 3)关于特殊点：,的外心在的外接圆上.证明：我们先找出这个外心.显然，根据鸡爪定理=,分别就是,的外心，显然，,六点共圆.反过来可用同一法证明.4)关于面积)经过内心的直线分三角形两部分的面积比等于周长比.必要性的证明：设是的内心，过的直线交于,交于.记=,=,=,=,=，内切圆的半径为，则=12(+)=.=12(+)=1.则 1=+=1 故 12=12 我们顺便证明了这样一条推论：经过内心的直线若平分三角形的面积，则必平分三角形的周长（67刚刚在博客提及哟）结论是可逆的（证明可以将周长
3、比表示成类似面积比的方法，得到到边的距离=）)设在,上投影分别为,，令=12(+)即半周长，则有以下的结论成立：)=;)=2+,=,=,=;)=.前两个用切线长定理和面积很好证，我们给出第三个的证明：在中应用正弦定理，有 sin12=sin=cos12 CBAIABC类似地，我们有 sin12=cos12 sin12=cos12 三式相乘，有 =tan12tan12tan12 =32=点评 这个证明相当巧妙，运用了三角形的海伦公式，充分运用了面积法的威力，为一佳例！)欧拉公式（见上一讲）：可推出重要不等式 2.例题 证明，当且仅当三角形内点与重合时，+最小，,的意义和上一个定理相同.设=,=,
4、=,=,=,=,则+=2是定值.由柯西不等式，有(+)(+)(+)2+=+(+)22 等号成立当且仅当:=:=:即=时成立，此时与重合.例题 如图，是圆的直径，在圆周上且0 0得到重要的几何不等式 2+2+2 2+2+2 也可表述为：三角形内重心到三边的平方和最短 性质 3 2+32=2+32=2+32.证明：根据定理的中线长公式 2=122+122142 带入得 2+32=2+3 232=2+232+232132=13(2+2+2)其余仿此即证.性质 4 设点在三边,的射影分别为为,，那么，当且仅当与重合时，最小.证明：设三边长为,.记=,=,=.由面积知+=2为定值，由幂平均不等式知 +3
5、3=8273.也即 8327 当且仅当=时等号成立，此时=，即为的重心.性质 5 （欧拉线）三角形的外心、垂心、重心共线，且重心在外心和垂心连线的三等分点处.证明：设垂心为，外心为.作中线并连结,.设与交于点.现在我们回忆垂心的性质3，迅速得到/,=2.故 .故:=2:1.那么就是垂心.欧拉线有更多的丰富性质，将在费尔巴哈定理一节讲到.5.旁心 简单介绍一下旁心的性质.旁心是两外角平分线和一内角平分线的交点，三线共点的证明同内心类似，不再赘述.先介绍常用的记号：如图，记三个旁切圆圆MHGCOABIbIaIcIABC心分别为,半径分别为,.半周长 =12(+).三角形面积为.则有如下结论成立 1
6、)=2)=1()()3)1=111 4)=4+5)=12(+)6)直角三角形斜边上旁切圆的半径等于半周长 以上证明可见于参考书籍.6.界心和周界中线.若三角形一顶点和对边一点连线平分了三角形的周长，则称该点为周界中点，该线段为三角形的周界中线（也可是直线）.三条周界中线的交点称为界心.(共点用塞瓦定理十分简单，设半周长即可，见例题)例题 设,分别是边,上的周界中点,分别为外接圆和内切圆的半径，则=2 设=12(+)则 =再由共边定理，知=()()同理=()()=()()那么=1 +=1 ()()+()()+()()=23+2(+)2 由三角形恒等式+=2+4+2和=2带入并整理可以得到=2 由
7、欧拉不等式（见内心性质）知，14.*7.补充 1)三角形恒等式的证明：由外心的性质 2 =4 又由内心的性质)知=()()().两边平方 22=4 3 3 3+2+2+2 .约去一个，得 2=3 2(+)(+)将其他式子用代换掉 2=3 23+(+)4 故 +=2+4+2 又 =4=4.证毕.2)有关向量的几个结论：)=+证明：不妨设=(+).那么=+2 而同时=+=+2 由平面向量基本定理知=1.)2+2+2+2=92 证明：=+故原式左边=+2+2+2+2=92.DHOABC 3）重心性质 2 的向量证法和推广 首先易知+=0是三角形重心的等价定义.证明：2+2+2=+2+2+2 =32+
8、2+2+2+2.=32+2+2+2 也可以直接带进去算 2+2+2=2+2+2=32+2+2+2=3+13+2+2+213+2 显然，当=13+，上式最小，此时与重合.推广：可推广至正边形和多面体，读者可自行推导.8.小节目 1)有关垂心的结论：圆内接完全四边形的四个三角形的垂心共圆.有一种证法是向量法，这里是我的老师给出的证法：首先注意到41=23且41/23.（由垂心性质3），所 以 2413为 平 行 四 边 形.同 理1324,1214,3423也都是平行四边形.那么由判定112 234.由上述证明容易得出垂心组成的四边形和原四边形的所有对应线段相等，由托勒密定理的逆定理可知四点共圆.
9、评注：事实上它们是全等的；也可利用垂心组的性质.2)莫莱定理：三角形三个角的三等分线的交点形成一个正三角形.为了证明这个定理，我们先证明一个引理：如果四点,满足下列条件：1.=2.=180 2 60 那么,四点共圆 H4H3H2H1A4A3A2A1O 证明比较容易，令和的垂直平分线交于点，则可以看出 ()，所以=90 ，得也是90 ，这样通过判定与全等，所以=.即四点共圆.不仅如此，如果四点外有一点，使得=3，那么，也在这个圆上。（所张角是圆心角的一半）有了引理，我们就可以用同一法来证明莫莱定理了.令和的三等份线交于点和，连接.设的三等份为，的三等份为.可以知道就是的内心。在上取一点,在上取一
10、点，使得=30.那么 ().所以=且夹角为60，这就说明是正三角形。此外，是等腰三角形且底角等于+.现在在上取，上取点，使得=.可以看出 ,().再用引理之前，我们还要核实第二个条件.现在我们设=3，那么+=60，因此+=60 ，那么=60 ,=120 .=+=60 +180 =60 +120 =180 2.同理也可以得到=120=180 2.现在我们运用引理，得到,四点共圆，且点也在这个圆上，由于弦=，因此它们所对的圆周角也相等，即,三等分，故原命题成立.3)费马点和斯坦纳问题：三角形内有一点，那么使得+最小的点在什么位置？答案是使=120的点，此点称为费马点.给出三种证法：证法一 设三角形
11、内有一点,将,绕逆时针旋转60至,.易知四点共线，,均为正三角形.故 2223EFOFEAPAOOABCPFEGFEDABC+=+=+=+=+当且仅当与重合时等号成立 证法二 读者应知道下面的引理：正三角形内部一点到三边距离为定值，等于一边上的高.过点,分别作,的垂线交于三点,.则为正三角形（四点共圆）.过点作的三条高,，则+=+.当且仅当与重合时等号成立 证法三 这里用的是力学方法.引理 大小相等的三个共点力两两夹角为120.（提示：通过平移，构成一矢量三角形）在三角形的三个顶点挂上三个等质量的重物,三根绳都与点相连，欲使+最小，由于绳长确定，则三个重物的垂直高度放的最低，根据势能最小原理，系统受力平衡。取点为研究对象，由引理知夹角为120.改变重物的质量，会得到加权费马问题，可以利用解矢量三角形来解决.顺便说一下，四个点、五个点可以推广到最小斯坦纳树.举一例子.如图所示，正方形四个定点的最小斯坦纳树.其两两夹角均为120 JHGDEFOABCP