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1、第九章第九章第九章第九章 梁的应力梁的应力梁的应力梁的应力9-2 梁的正应力梁的正应力9-5 梁的强度条件梁的强度条件9-1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例9-3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式9-4 梁的切应力梁的切应力9-6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。在变形后成为曲线的变形形式。2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件轴线是直线的称为轴线是直线
2、的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁 3、平平面面弯弯曲曲（对对称称弯弯曲曲）：若若梁梁上上所所有有外外力力都都作作用用在在纵纵向向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。9-1 9-1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例FqFAFB纵向对称面纵向对称面二、工程实例二、工程实例F2F11、试验与假设、试验与假设1122cabd1122cabdMMMM假设假设假设假设平平截截面面假假设设单单向向受受力力假假设设中性层中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。中性轴中性轴
3、：横截面与中性层的交线。：横截面与中性层的交线。9-2 梁的正应力梁的正应力弯曲变形弯曲变形MM 2、弯曲正应力一般公式、弯曲正应力一般公式 （1）几何条件几何条件 m2n2s sys sLyO1O2r ra2dxn2m2n1m1O曲率中心曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层中性层z中性轴中性轴y对称轴对称轴oa2a1yd dq qd dl ld dq qxe2e1（2）物理条件物理条件(胡克定律胡克定律)（3）力学条件力学条件dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值梁的上下边缘处，弯曲正应
4、力取得最大值，分别为：，分别为：抗弯截面模量抗弯截面模量。（4）纯弯曲梁横截面上的应力纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力弯曲正应力)：距中性层距中性层y处的应力处的应力（5）横截面上正）横截面上正应力的画法：应力的画法：Ms smins smaxMs smins smax 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限s sp；精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁；对对于于横横力力弯弯曲曲的的细细长长梁梁(跨跨度度与与截截面面高高度度比比L/h5)，上上述述公公式式的的误误差差不不大大，但但公公式式中中的的M应应为为所所研研究究截截面面上上的的弯弯矩矩，即即为截面位置的函数。为截面
5、位置的函数。（6）公式适用范围：）公式适用范围：1.惯性矩：惯性矩：zydAzyr rO为图形对为图形对z轴的轴的惯性矩惯性矩9-3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式dyb/2b/2zyyh/2h/2CdA（1）矩形截面）矩形截面（2）圆截面）圆截面二、平行移轴公式二、平行移轴公式注意注意：zC轴是形心轴轴是形心轴二、组合图形的惯性矩：二、组合图形的惯性矩：OzyCdAzCyCabyzzCyC 例例9-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。作用。试计算截面试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲
6、拉应力与最大弯曲压应力。解解：1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形两部分，形心心C的纵坐标为的纵坐标为:2012020120单位：单位：mmIII3 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为:在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：压应力，其值分别为：2计算截面惯性矩计算截面惯性矩2012020120单位：单位：mmIII9-4 梁的切应力梁的切应力一一、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力Oyz
7、bht tmaxyOt t代入切应力公式代入切应力公式：切应力切应力t t呈图示的呈图示的抛物线分布抛物线分布，在最边缘处为零在最边缘处为零在中性轴上最大，在中性轴上最大，其值为：其值为：平均切应力平均切应力 x xdx x二、工字形及二、工字形及T形截面梁上的切应力形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：式中：d为腹板厚度为腹板厚度三、圆截面梁上的切应力三、圆截面梁上的切应力式中：式中：A为圆截面面积为圆截面面积一、正应力强度条件一、正应力强度条件 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：9-5 梁的强度条件梁的强度条件1、
8、强度校核强度校核:2、截面设计截面设计:3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:（1）矩形截面）矩形截面（2）实心圆截面）实心圆截面二、切应力强度条件二、切应力强度条件通常用于通常用于校核校核，特殊的特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。需进行切应力强度计算。例例9-2 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知已知s sy=100MPa，s sL
9、=50MPa，t t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求。求(1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；(2)校核梁的正应力、切校核梁的正应力、切应力强度条件。应力强度条件。1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_CAD40401010ycB该梁满足强度要求该梁满足强度要求一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座1、将将荷荷载分散载分散2、合合理理设设置支座位置置支座位置9-6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图P
10、l/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/50二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状 从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯截截面面系系数数的的截截面面。在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯截截面面系系数数与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。因因此此，当当截截面面面面积积一一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；面积相同时：工字形优于矩形，
11、矩形优于正方形；环形优于圆形。环形优于圆形。同时应尽量使拉、压应力同时应尽量使拉、压应力同时同时达到最大值。达到最大值。s smaxs smin 由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：图a所示截面图b所示截面图c所示截面图d所示截面 (2)对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因即三、合理设计梁的外形（等强度梁）三、
12、合理设计梁的外形（等强度梁）可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁变截面梁称为等强度梁。FABFAB人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。