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1、 惯性系中的质点动力学惯性系中的质点动力学 讨论讨论 非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学第第9章章 惯性系与非惯性系中的质点动力学惯性系与非惯性系中的质点动力学 质点在惯性系中的动力学质点在惯性系中的动力学?质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程?质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例?动力学基本定律动力学基本定律?动力学基本定律动力学基本定律第第一一定定律律惯惯性性定定律律：任任何何质质点点如如不不受受力力作作用用，则则将将保保持原来静止或等速直线运动状态。持原来静止或等速直线运动状态。物物体体保保持持其其运运动动状状况况不不变变的的固固有有属属性性
2、，称称为为惯惯性性。质质量量为为物体惯性的度量。物体惯性的度量。第二定律第二定律在力的作用下物体所获得的加速度的大小与在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。即方向相同。即第三定律第三定律作用反作用定律作用反作用定律：两物体之间的作用力和反：两物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。个物体上。?质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。
3、当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。即即 或或 矢量形式矢量形式矢量形式矢量形式 直角坐标形式直角坐标形式直角坐标形式直角坐标形式 弧坐标形式弧坐标形式弧坐标形式弧坐标形式?质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程?质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例第一类问题：第一类问题：已知质点的运动已知质点的运动,求作用于质点的力；求作用于质点的力；第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力已知作用于质点的力,求质点的运动。求质点的运动。例例 题题 1l l0 0m mk k求：物块的运动方程求：物块的运动方程v v0 0?质点动力学两类问题应用举例质点动力学两
4、类问题应用举例 已知：弹簧质量系统，物块的质量为已知：弹簧质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始物块自平衡位置的初始速度为速度为 。l l0 0 x xx xO Ok kF F 解：这是已知力解：这是已知力解：这是已知力解：这是已知力(弹簧力弹簧力弹簧力弹簧力)求运求运求运求运动规律，故为第二类动力学问题。动规律，故为第二类动力学问题。动规律，故为第二类动力学问题。动规律，故为第二类动力学问题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立牛坐标系，将物块置于任
5、意位置牛坐标系，将物块置于任意位置牛坐标系，将物块置于任意位置牛坐标系，将物块置于任意位置 x x 0 0 处。处。处。处。物块在物块在物块在物块在 x x 方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力F Fk xk x i i。根。根。根。根据直角坐标系中的质点运动微分方程据直角坐标系中的质点运动微分方程据直角坐标系中的质点运动微分方程据直角坐标系中的质点运动微分方程l l0 0m ml l0 0 x xx xO Om mk kv v0 02 2）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择
6、不同，对运动微分方程的影响。不同，对运动微分方程的影响。不同，对运动微分方程的影响。不同，对运动微分方程的影响。x xm mk kx xO Ol l0 0st stF Fk(x+k(x+st st）F FWWWWmgimgi讨讨 论：论：1 1）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？?质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例例例 题题 2图示一单摆。设球的质量为图示一单摆。设球的质量为m，杆的质量不计，杆长为杆的质量不计，杆长为l。当杆在。当杆在铅垂位置时，球因受冲击，具有铅垂位置时，球
7、因受冲击，具有水平初速水平初速 ，不计空气阻力，不计空气阻力求球的运动和杆对球的约束力。求球的运动和杆对球的约束力。解解：本本题题先先由由已已知知的的主主动动力力mg求求质质点点的的运运动动规规律律，再再根根据据求求得得的的运运动动求求未未知知约约束束力力，故故同同时时包包含含第第一一类类问问题题和和第第二二类类问题。问题。建立小球的运动微分方程：建立小球的运动微分方程：质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究 讨论：（讨论：（1）微幅摆动）微幅摆动通解为：通解为：当杆的摆角很小时当杆的摆角很小时运动微分方程即成运动微分方程即成 积分常数由起始条件决定。积分常数
8、由起始条件决定。小球的运动方程为：小球的运动方程为：这表明小球沿圆弧作简谐运动，其周期为：这表明小球沿圆弧作简谐运动，其周期为：即微幅摆动的周期与摆动的初始条件无关，即微幅摆动的周期与摆动的初始条件无关，这种性质称为摆微幅摆动的等时性。这种性质称为摆微幅摆动的等时性。（2）大幅摆动或圆周运动）大幅摆动或圆周运动（不作研究）（不作研究）求约束反力：求约束反力：求约束反力：求约束反力：第一项是由重力的法向分量引起的，称为静约束力；第一项是由重力的法向分量引起的，称为静约束力；第二项是由质点的运动引起的，称为动约束力。第二项是由质点的运动引起的，称为动约束力。已知已知 物体由高度物体由高度h处以速度
9、处以速度 水水平平抛抛出出，如如图图所所示示。空空气气阻阻力力可可视视为为与与速速度度的的一一次次方方成成正正比比，即即 ，其其中中m为为物物体体的的质质量量，v为为物物体体的的速速度，度，k为常系数。为常系数。求物体的运动方程和轨迹。求物体的运动方程和轨迹。例例 题题 3?质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例 牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程 应用举例应用举例 非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学s sa aP Ps sr rr r x xz zy yO Oxxz zyyOO惯性参考系惯性参考系惯
10、性参考系惯性参考系 O x y zO x y z 绝对运动轨迹绝对运动轨迹绝对运动轨迹绝对运动轨迹 s sa a质点质点质点质点P P在在在在惯性参考系中的运动轨迹惯性参考系中的运动轨迹惯性参考系中的运动轨迹惯性参考系中的运动轨迹 相对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹 s sr r质点质点质点质点P P在在在在非惯性参考系中的运动轨迹非惯性参考系中的运动轨迹非惯性参考系中的运动轨迹非惯性参考系中的运动轨迹 研究质点在非惯性参考系中研究质点在非惯性参考系中研究质点在非惯性参考系中研究质点在非惯性参考系中的运动需要先研究质点在惯性的运动需要先研究质点在惯性的运动需要先研究质点在惯性的运
11、动需要先研究质点在惯性参考系中的运动。参考系中的运动。参考系中的运动。参考系中的运动。相对位矢相对位矢相对位矢相对位矢r r 质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程非惯性参考系非惯性参考系非惯性参考系非惯性参考系(noninertial reference(noninertial reference system)system)s sa aP Px xz zy yO O先研究质点在惯性参考系中的运动。先研究质点在惯性参考系中的运动。先研究质点在惯性参考系中的运动。先研究质点在惯性参考系中的运动。r r相对位矢相对位矢相对位矢相对位矢F FF F 作用在质点上的力作用在质点
12、上的力作用在质点上的力作用在质点上的力对质点对质点对质点对质点P P应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律a aa a质点的绝对加速度。质点的绝对加速度。质点的绝对加速度。质点的绝对加速度。质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程s sr rr r xxz zyyOO根据加速度合成定理根据加速度合成定理根据加速度合成定理根据加速度合成定理a aa质点的绝对加速度质点的绝对加速度质点的绝对加速度质点的绝对加速度a ae e质点的牵连加速度质点的牵连加速度质点的牵连加速度质点的牵连加速度a ar r质点的相对加速度质点的相对加速度质点的相对加速度质点的
13、相对加速度a aC C质点的科氏加速度质点的科氏加速度质点的科氏加速度质点的科氏加速度 非惯性系中质点的运动微分方程非惯性系中质点的运动微分方程非惯性系中质点的运动微分方程非惯性系中质点的运动微分方程 结论：质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在结论：质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在结论：质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在结论：质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和
14、。质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程（4）质点相对动参考系作等速直线运动，有）质点相对动参考系作等速直线运动，有下面讨论几种特殊情形：下面讨论几种特殊情形：（1）动参考系相对定参考系作平动，有）动参考系相对定参考系作平动，有（2）动参考系相对定参考系作等速直线平动，有）动参考系相对定参考系作等速直线平动，有则：则：则：则：说明相对于惯性参考系作等速直线平动的参考说明相对于惯性参考系作等速直线平动的参考系也是惯性参考系。系也是惯性参考系。（3）质点相对动参考系静止，有）质点相对动参考系静止，有此时称为相对静止状态此时称为相对静止状态则：则：则：则：称为相对平衡状态称为相
15、对平衡状态则：则：则：则：则：则：则：则：飞机急速爬高时飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象飞行员的黑晕现象爬升时：爬升时：爬升时：爬升时：a ae e 5g 5g惯性参考系地球惯性参考系地球惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点动点血流质点动点血流质点 牵连惯性力向下，从心脏牵连惯性力向下，从心脏牵连惯性力向下，从心脏牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成流向头部的血流受阻，造成流向头部的血流受阻，造成流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成大脑缺血，形成大脑缺血，形成大脑缺血，形成黑晕现象黑晕现象黑晕现象黑晕现象
16、。飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象 牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例俯冲时：俯冲时：俯冲时：俯冲时：a ae e 2g 2g 飞机急速俯冲时飞机急速俯冲时飞行员的飞行员的红视现象红视现象惯性参考系地球惯性参考系地球惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点动点血流质点动点血流质点 牵连惯性力向上，使血流牵连惯性力向上，使血流牵连惯性力向上，使血流牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成自下而上加速流动，造成自下而上加速流动，造成自下而上加速流动，造成
17、大脑充血，形成大脑充血，形成大脑充血，形成大脑充血，形成红视现象红视现象红视现象红视现象。飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象 牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例 由于地球的由于地球的自转引起的水自转引起的水流科氏惯性力。流科氏惯性力。牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例 水流科氏水流科氏惯性力对右惯性力对右岸的冲刷。岸的冲刷。牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例O O例例 题题 4P Pk kk k 开有矩形槽的大盘以等角速度开有矩形槽的大盘以等角速度开有矩形槽的大盘以等角速度开有矩形槽的大盘以等角速度?绕绕绕绕O
18、O轴旋转。矩形槽内安置物轴旋转。矩形槽内安置物轴旋转。矩形槽内安置物轴旋转。矩形槽内安置物块块块块-弹簧系统，物块弹簧系统，物块弹簧系统，物块弹簧系统，物块P P的质量为的质量为的质量为的质量为mm，弹簧的刚度系数为，弹簧的刚度系数为，弹簧的刚度系数为，弹簧的刚度系数为k k。初始状。初始状。初始状。初始状态下，物块处于大盘圆心态下，物块处于大盘圆心态下，物块处于大盘圆心态下，物块处于大盘圆心O O，这，这，这，这时弹簧不变形。时弹簧不变形。时弹簧不变形。时弹簧不变形。求：求：求：求：1 1、物块的相对运动微分方程；、物块的相对运动微分方程；、物块的相对运动微分方程；、物块的相对运动微分方程；
19、2 2、物块对槽壁的侧压力。、物块对槽壁的侧压力。、物块对槽壁的侧压力。、物块对槽壁的侧压力。应用举例应用举例k kk kk kP Px x y y O Ox xr动点物块动点物块动点物块动点物块P P2 2、分析相对速度和各种加速度：、分析相对速度和各种加速度：、分析相对速度和各种加速度：、分析相对速度和各种加速度：v vr r 沿着沿着沿着沿着x xr正向正向正向正向a ae en n 由大盘转动引起由大盘转动引起由大盘转动引起由大盘转动引起3 3、分析质点、分析质点、分析质点、分析质点(物块物块物块物块)受力：受力：受力：受力：F FIeIen nF FF FN NF FICIC4 4、
20、建立质点、建立质点、建立质点、建立质点(物块物块物块物块)的相对运动微分方程：的相对运动微分方程：的相对运动微分方程：的相对运动微分方程：v vr ra aICICa ae en na aICIC =2 2m m v vr rF F 弹簧力弹簧力弹簧力弹簧力F F2 2k xk xrF FN N 槽对物块的约束力槽对物块的约束力槽对物块的约束力槽对物块的约束力F FICIC 科氏力科氏力科氏力科氏力解：解：解：解：1 1、非惯性参考系、非惯性参考系、非惯性参考系、非惯性参考系F FIeIen n 法向牵连惯性力法向牵连惯性力法向牵连惯性力法向牵连惯性力讨讨讨讨 论：论：论：论：物块物块物块物块
21、x xr 0 0处的平衡位置为稳定平衡位置。处的平衡位置为稳定平衡位置。处的平衡位置为稳定平衡位置。处的平衡位置为稳定平衡位置。当当当当时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为当当当当牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，物块不能在物块不能在物块不能在物块不能在
22、x xr 0 0处附近作处附近作处附近作处附近作自由振动，物块在自由振动，物块在自由振动，物块在自由振动，物块在x xr 0 0处处处处的平衡是不稳定的。的平衡是不稳定的。的平衡是不稳定的。的平衡是不稳定的。当当当当牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力物块在物块在物块在物块在x xr0 0处为随遇的平衡位置。处为随遇的平衡位置。处为随遇的平衡位置。处为随遇的平衡位置。例例 题题 5 应用举例应用举例图示单摆，摆长为图示单摆，摆长为l，小球质量为小球质量为m，其悬挂，其悬挂点点O以加速度以加速度 a0向上向上运动
23、，求此时单摆作运动，求此时单摆作微振动的周期。微振动的周期。小球受力：重力小球受力：重力mg，绳子张力，绳子张力FT；还应加牵连惯性力还应加牵连惯性力相对运动动力学方程为：相对运动动力学方程为：建立平动坐标系建立平动坐标系解：解：切线方向的运动微分方程为切线方向的运动微分方程为作微振动时，有作微振动时，有周期为周期为 关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹 讨讨 论论动参考系动参考系Ox y z无科氏力的运动轨迹无科氏力的运动轨迹无科氏力的运动轨迹无科氏力的运动轨迹 关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹A A0 0O O A A2 2A A0 0A A1 1A A2 2 有科氏力的运动轨迹有科氏力的运动轨迹有科氏力的运动轨迹有科氏力的运动轨迹惯性参考系地心系惯性参考系地心系 关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹本章作业本章作业范：11-3 11-511-8 11-911-11 11-1211-14哈：11-6 11-1111-13 11-18 11-23 11-2411-28