第1章概率论基础4.ppt-淘文阁

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1、1.4 随机变量的数字特征关于关于R-S积分的说明积分的说明0n且且max xi0特别当特别当F(x)=x:R-S积分积分Riemann积分积分R-S积分的性质积分的性质当当ac1 c2 cn b时时若若g(x)0(a 01.4 随机变量的数字特征关于关于R-S积分的几个特例积分的几个特例特别当特别当g(x)=1 若若X是离散型随机变量，即是离散型随机变量，即P(X=ci)=pi(i=1,2,)，则则是一个跳跃型分布函数，即是一个跳跃型分布函数，即F(x)仅在仅在c1,c2,点作跃度点作跃度pi的变化，的变化，则则R-S积分为积分为其其R-S积分积分级数级数1.4随机变量的数字特征1.4.2随

2、机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4.2.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望(mathematicalexpectationormean)定义定义1：设：设X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的随机变量，上的随机变量，F(x)为其分布函数，若为其分布函数，若存在，则称存在，则称为为随机变量随机变量X的的数学期望数学期望（或称为（或称为X的的均值均值(mean)）.1.4随机变量的数字特征随机变量数学期望的性质随机变量数学期望的性质若若ci(i=1,2,n)为常数，为常数，Xi=Xi()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的随机上的随机变量，则变量，

3、则设设g(x)为为x函数，函数，F(x)为为随机变量随机变量X分布函数，若分布函数，若Eg(X)存在，则存在，则当当X为离散型为离散型随机变量，即随机变量，即 P(X=xi)=pi(i N N)时，则时，则当当X为连续型为连续型随机变量，且有概率密度随机变量，且有概率密度 f(x)时，则时，则EX是是X所有可能值的加权平均所有可能值的加权平均1.4随机变量的数字特征设设X,Y是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个随机变量上的两个随机变量，若若X,Y相互独立相互独立1.4随机变量的数字特征1.4.2.2随机变量的方差随机变量的方差(variance)定义定义2：设：设X=X()

4、是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的随机变量，上的随机变量，F(x)为其分布函数，若为其分布函数，若存在，则称存在，则称为为随机变量随机变量X 的的方差。方差。亦记作亦记作而称而称为为标准差标准差(standarddeviation)刻画随机变量刻画随机变量X围绕其均值散布程度围绕其均值散布程度1.4随机变量的数字特征性质：性质：设设X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的随机变量，上的随机变量，F(x)为其分布函数，随机变量为其分布函数，随机变量X方差具有如下性质方差具有如下性质设设X1,Xn是互相独立的随机变量是互相独立的随机变量1.4随机变量的数字

5、特征1.4.2.3随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数定义定义3：设：设X=X(),Y=Y()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个随机变量，上的两个随机变量，若若称称为为(X,Y)的的协方差协方差(covariance)。简记为简记为cov(X,Y)=XY特别特别X与与Y独立独立cov(X,Y)=XY=0刻画随机变量刻画随机变量X,Y取值存在取值存在某种统计上的线性相关关系某种统计上的线性相关关系1.4随机变量的数字特征1.4.2.3随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数定义定义4：设：设X=X(),Y=Y()是定义在概率空间是定义在概率空间(

6、,F F,P)上的上的两个随机变量，两个随机变量，若若称称为为(X,Y)的的相关系数相关系数(correlationcoefficient)。特别若特别若 (X,Y)=0X,Y不相关不相关刻画随机变量刻画随机变量(X,Y)之间线性关系的密切之间线性关系的密切程度程度1.4随机变量的数字特征性质：性质：协方差协方差cov(X,Y)=XY和相关系数和相关系数 (X,Y)是刻画是刻画随机变量随机变量之间之间相依性相依性(interdependence)的数字特征，他们具有相同的的数字特征，他们具有相同的符号，且：符号，且：cov(X,Y)=XY0(X,Y)0)随机变量随机变量X,Y具有相同的变化趋具

7、有相同的变化趋势；势；cov(X,Y)=XY0(X,Y)0 R R，其其阶绝对矩阶绝对矩(absolutemomentoforder )为为(2)对对 k NN,若若E|X|k 存在，其存在，其k 阶原点矩阶原点矩(momentaboutorigin)为为(2)对对 m 1 N,N,若若E|X|m 存在，其存在，其m 阶中心矩阶中心矩(momentaboutcenter)为为1.5 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换1.5.1随机变量的矩母函数随机变量的矩母函数(momentgeneratingfunction)定义定义1.设设X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上上随机

8、变量，随机变量，其分布函数为其分布函数为F(x)，定义定义etX 的数学期望为的数学期望为如果如果X=X()为连续型的，概率密度函数为为连续型的，概率密度函数为f(x)，那么那么如果如果X=X()为离散型的，概率分布率为，为离散型的，概率分布率为，那么那么 gX(x)称为随机变量称为随机变量X的的矩母函数矩母函数。1.5 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换性质：性质：设设X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上上随机变量，其分布函随机变量，其分布函数数为为F(x)，gX(x)称为随机变量称为随机变量X的矩母函数，则的矩母函数，则(1)g(0)=1;(2)若若g(t)在包含原点

9、的在包含原点的(t1,t2)上存在，那么其存在各阶导数，即上存在，那么其存在各阶导数，即g(k)(0)=E(X k),k=1,2,.(3)aX+b的矩母函数为的矩母函数为ebtg(at)(4)设设X1(),X2(),Xn()互相独立，矩母函数分别为互相独立，矩母函数分别为g1(t),g2(t),gn(t),则则1.5 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换1.5.2随机变量的特征函数随机变量的特征函数(characteristicfunction)定义定义2:设设X=X(),X=Y()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上上的实值的实值随机变量，则称随机变量，则称 Z Z()=X()+i

10、Y()为为一个一个复随机变量复随机变量。且定义复随机变量且定义复随机变量Z Z()=X()+iY()的的数学期望为数学期望为EZ=EX+iEY其中：其中：.特别：特别：EeitX=Ecos(tX)+i sin(tX)=Ecos(tX)+i Esin(tX)1.5 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换1.5.2随机变量的特征函数随机变量的特征函数定义定义3:设设X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上上随机随机变量，其分布函数为变量，其分布函数为F(x)（F(x)），），定义定义(其中：其中：，-t 0,定义定义为为F(x)的的拉普拉斯拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换斯蒂尔切斯变换(La

11、place-Stieltjestransform)，或称之为随机变量或称之为随机变量X的的L-S变换变换。特别：特别：(1)(2)设设X(),Y()0,且互相独立且互相独立,则则1.6 条件数学期望1.6.1离散型随机变量的条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望一、条件数学期望与一、条件数学期望与(无条件无条件)数学期望比较数学期望比较定义定义1：设：设(X,Y)是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个离散型随上的两个离散型随机变量机变量,其联合分布律为其联合分布律为 P(X=xi,Y=yi)=pij 0,若若，称，称为给定为给定(Y=yi)时，时，X的的条件分布律条件分布律

12、。称称为给定为给定(Y=yi)时，时，X的的条件条件数学期望数学期望。1.6 条件数学期望条件数学期望与条件数学期望与(无条件无条件)数学期望异同数学期望异同(无条件无条件)数学期望数学期望条件数学期望条件数学期望表达表达式式意义意义E(X)是对所有是对所有 ,X()取值取值全体全体的加权平的加权平均均是局限在是局限在:Y()=yj=Bj时时,X()取值取值局局部部(Bj)的加权平均的加权平均1.6 条件数学期望定义定义2：设设(X,Y)是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个离散型随机变量上的两个离散型随机变量,记记称称E(X|Y)为为X关于关于Y的的条件条件数学期望数学期望

13、。事件的示性函数事件的示性函数：记：记IBj()=1Y()=yj亦记亦记IBj()=I(Y=yj)()1.6 条件数学期望条件条件数学期望数学期望E(X|Y)定义的含义定义的含义。1 E(X|Y)是新的随机变量，是是新的随机变量，是的函数；的函数；当当 Bj=:()=yj时：时：E(X|Y)=E(X|Y=yj)。2 随机变量随机变量E(X|Y)是是Y的函数，其数学期望为的函数，其数学期望为3 是局部的加权平均值是局部的加权平均值E(X|Y=yj,j N N的统一表达式。的统一表达式。1.6 条件数学期望例：设设(X,Y)是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个离散上的两个离散

14、型随机变量，其联合分布律为型随机变量，其联合分布律为求求 E(X|Y)的分布律，的分布律，E(E(X|Y)及及EX.X Y(x1=)1(x2=)2(x3=)3pj(y1=)12/274/271/277/27(y2=)25/277/273/2715/27(y3=)31/272/272/275/27pi8/2713/276/271.6 条件数学期望解解：为了为了求求E(X|Y=yj)，先求出先求出P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,3)1.当当Y=y1=1时有时有P(X=1|Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(Y=1)=P(X=2|Y=1)=P(X=2,Y=1)/P(Y=1)=P(X=3|Y

17、Y)|Y D)=E(X|Y D)称称随机变量随机变量 E(X|Y)为为X关于关于Y的的条件数学期望条件数学期望(conditionalexpectation)1.6 条件数学期望关于关于连续型随机变量条件数学期望的说明连续型随机变量条件数学期望的说明(1)E(X|Y)是是随机变量随机变量Y的函数，故其的函数，故其数学期望存在且为数学期望存在且为(2)当当D R R1=(-,+)有有1.6 条件数学期望1.6.3一般随机变量的条件数学期望一般随机变量的条件数学期望定义定义3：设：设(X,Y)是定义在概率空间是定义在概率空间(,F F,P)上的两个一般随机上的两个一般随机变量，变量，P(Xx,Yy

19、+)数学期望形式的全概率公式数学期望形式的全概率公式1.6 条件数学期望1.6.4随机变量条件数学期望的基本性质随机变量条件数学期望的基本性质定义定义5：定义在概率空间定义在概率空间(,F F,P)上的两个随机变量上的两个随机变量X,Y，如果如果P(X=Y)=1，则称随机变量则称随机变量X X,Y几乎处处几乎处处(必然必然)相等，记作相等，记作 X=Y a.s.。设设X,Y,Xi(i=1,2,n)为随机变量为随机变量g(x),h(y)为一般为一般函数，且函数，且E|X|,E|Xi|(i=1,2,n),E|g(X)h(Y)|,E|g(X)|0，有有则称则称 Xn,n 1依依r 阶矩收敛到阶矩收敛

20、到X记为记为或或特别当特别当r=2时：时：则称则称Xn,n 1均方均方(meansquare)收敛到收敛到X。记为：记为：或或。1.7 随机变量序列的几种收敛性定义定义4：记：记Fn(x)=P(Xnx),F(x)=P(X x)分别分别是是Xn,X 的分布函数，记的分布函数，记C(F)为为F 的连续点集合，若的连续点集合，若则称则称 Xn,n 1依分布收敛到依分布收敛到X(convergentindistributionto)记为记为或或注注：Xn和和X 不必是不必是同一概率空间上的同一概率空间上的随机变量；随机变量；仅与他们的分仅与他们的分布函数有关。布函数有关。1.7 随机变量序列的几种收敛性1.7.2随机变量序列四种收敛性的关系随机变量序列四种收敛性的关系作业：P35-37 习题一 5 15 18精品课件精品课件！精品课件精品课件！

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