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1、人教人教A A版版2-22-2半期复习半期复习-数系的扩充与复数数系的扩充与复数 复习课复习课一、本章知识结构一、本章知识结构虚数的引入虚数的引入复复 数数复数的表示复数的表示复数的运算复数的运算代数表示代数表示几何表示几何表示代数运算代数运算几何意义几何意义1 1、我们为解决负数开方的问、我们为解决负数开方的问题引入虚数单位题引入虚数单位i i，把形如，把形如a+bia+bi（a a，bRbR）的数叫做复数，）的数叫做复数，数系由实数集扩充到复数集，数系由实数集扩充到复数集，实现了数系的扩充。实现了数系的扩充。n结构图简析结构图简析n结构图简析结构图简析n2 2、建立复数的概念之后，、建立复
2、数的概念之后，我们主要研究了复数的代数我们主要研究了复数的代数形式及其运算，复数的几何形式及其运算，复数的几何表示（复平面上的点、向量）表示（复平面上的点、向量），复数运算的几何意义。，复数运算的几何意义。本课复习要点：本课复习要点：n1 1复数的有关概念复数的有关概念 n2 2复数的代数运算复数的代数运算 n3 3复数的几何意义复数的几何意义 实部实部实部实部复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论讨论？复数复数a+bia+bi问题
3、问题1 1 设复数设复数z=lg(mz=lg(m2 22m2m2)+2)+(m(m2 2+3m+2)i+3m+2)i，试求实数试求实数m m取何取何值时。值时。（1 1）z z是纯虚数；是纯虚数；（2 2）z z是实数；是实数；1复数的有关概念复数的有关概念 问题问题2 2 设设x x，yRyR，并且并且 (2x(2x1)+xi=y1)+xi=y(3(3y)iy)i，求求x x，y y。解题总结：解题总结：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想一种重要的数学思想转化思想转化思想变式练习变式练习n1.1.若方程若方程 +(m+2i)x+(2+m
4、i)=0+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数至少有一个实数根，试求实数m m的的值值.n2.2.已知不等式已知不等式 -(-3m)i-(-3m)in10+(-4m+3)i,10+(-4m+3)i,试求实数试求实数m m的值的值.误点警示误点警示：虚数不能比较大小！虚数不能比较大小！1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则:设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+dic+di,(2)(2)那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(=(a+c)+(b+d)ia+c)+(b+d)i;(3)(3)z z1 1-z-z
5、2 2=(a-=(a-c)+(b-d)ic)+(b-d)i.即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是实部与就是实部与实部实部,虚部与虚部分虚部与虚部分 别相加别相加(减减).).(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.复数的乘法与除法复数的乘法与除法(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘法与多项式的
6、乘法是类似的的,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并.即即:(a+bi)(c+dia+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以以及乘法对加法的及乘法对加法的分配律分配律.即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1;(z(z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z
7、2 2z z3 3););z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3.(3)(3)复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式,再把分子再把分子与分母都乘以分母的共轭复数与分母都乘以分母的共轭复数,化简后化简后写成代数形式写成代数形式(分母实数化分母实数化).).即即分母实数化分母实数化n问题问题3 3 复数复数 等于（等于（）nA.A.B.B.nC.C.D.D.方法点拨方法点拨在掌握复数运算法则的基在掌握复数运算法则的基础上注意以下几点础上注意以下几点n1.的周期性的周期性n2.n3.高考链接高考链接n1 1
8、(06(06年陕西卷年陕西卷)复数复数 等于等于 n A.1A.1i B.1+i i B.1+i n C.C.1+i D.1+i D.1 1i in2.(052.(05年重庆卷年重庆卷)n n A A B B C C D Dn问题问题4 4 设设z z为虚数，且满足为虚数，且满足 求求|z|z|。n解法解法1 1 设设 z=z=a+bia+bi(a,bRa,bR且且nb0)b0)，n解法解法2 2 解题总结解题总结n解法解法1 1入手容易、思路清楚，是我入手容易、思路清楚，是我们处理这类问题的常规方法，必须们处理这类问题的常规方法，必须熟练掌握。熟练掌握。n解法解法2 2着眼于整体处理，巧用共
9、轭着眼于整体处理，巧用共轭复数的性质，对解题方法技巧有较复数的性质，对解题方法技巧有较高的要求。高的要求。方法与技巧方法与技巧共轭复数的性质共轭复数的性质时时，z是是纯纯虚数虚数 问题问题5 5 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-+m-2)i2)i在复平面内所对应的点位于第二在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数象限，求实数m m的取值范围。的取值范围。3、复数的几何意义、复数的几何意义复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)x轴轴-实实轴轴y轴轴-虚虚轴轴（数）（数）（形）（形）复平面复平
10、面一一对应一一对应yxobaZ(a,b)z=a+bi复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义背景知识背景知识n 复数复数z=a+biz=a+bin点点Z(a,bZ(a,b）向量向量复数的另一几何表示复数的另一几何表示复数的另一几何表示复数的另一几何表示CxyB 0A问题问题6 6 如图，已知复平面内一个平行如图，已知复平面内一个平行四边形的三个顶点四边形的三个顶点O,A,BO,A,B对应的对应的复数复数分别是分别是0,5+20,5+2i i,-3+,-3+i i，求第四个求第四个顶点顶点C C对应的复数对应的复数.解法解法1向量法向量法解法解法2几何法几何法平行
11、四边形对角线互相平分平行四边形对角线互相平分知识拓展知识拓展xy o不等不等相等相等n如果复数如果复数z z满足满足|z+i|+|zz+i|+|zi|=2i|=2，那么那么|z+i+1|z+i+1|的最小值是（的最小值是（）n A.1 B.A.1 B.C.2 C.2 D.D.问题问题7xyo思想方法思想方法数形结合数形结合方法与技巧方法与技巧n掌握一些常见曲线的复数方程，充掌握一些常见曲线的复数方程，充分运用复数的几何意义解题，就可分运用复数的几何意义解题，就可以快速准确的解答有关问题。以快速准确的解答有关问题。回顾总结回顾总结n1.1.两个复数相等的充要条件是实现两个复数相等的充要条件是实现
12、把复数问题转化为实数问题的重要把复数问题转化为实数问题的重要途径，也是我们解决有关的方程、途径，也是我们解决有关的方程、不等式问题的重要依据。不等式问题的重要依据。n2.2.在熟练进行复数运算的同时，掌在熟练进行复数运算的同时，掌握一些运算技巧方法，以求快速准握一些运算技巧方法，以求快速准确地解答问题。确地解答问题。n3.3.复数的几何表示建立了复数与平复数的几何表示建立了复数与平面图形、复数与向量沟通的桥梁，面图形、复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以方便地进行数形转换，由此我们可以方便地进行数形转换，寻找更为直观、方便的解题方法与寻找更为直观、方便的解题方法与途径。途径。回顾总结回顾总结作业作业n1.1.已知已知z z是复数，是复数，z+2iz+2i、均为实均为实n数，且复数数，且复数(z+ai)zz+ai)z在复平面上对应的在复平面上对应的点在第一象限，求实数点在第一象限，求实数a a的取值范围的取值范围.