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1、2010-第第4章章-图像的几何像的几何变换第四章 图像几何变换1图像的位置变换2图像的形状变换34图像错切几何变换基础几何变换基础5三维图像的投影变换2021/5/2221 1 几何变换基础几何变换基础一些概念一些概念一些概念一些概念1图像的几何变换：图像的几何变换：是指用数学建模的方法来描述图像的位置，大小，形状等变换的方法，是通过数学建模实现对数字图像进行几何变换处理。2几何变换内容：几何变换内容：图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。3几何变换实质：几何变换实质：改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。2021/5/223说明：说明：u,v为变换后图像像素的笛卡尔坐
2、标，x,y为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果 ,则有 ，即变换后图像仅是原图像简单拷贝。n注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。这说明像素的这说明像素的亮度和色彩并不变化，仅仅是像素位置发生改变。亮度和色彩并不变化，仅仅是像素位置发生改变。1 1 几何变换基础几何变换基础一些概念一些概念4图像几何变换的一般表达式：图像几何变换的一般表达式：2021/5/2241 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐次坐标为什么引入齐次坐标？为什么引入齐次坐标？在对图像进行操作时候，经常要对图像
3、连续做几次变换。例如做了平移后再做旋转，做放缩等等。因为旋转，放缩等都是线性变换，都可用矩阵表示，这样旋转和放缩就可合并成：但是平移变换不能写成矩阵形式，也就不能合并到上式中，因为在直角坐标系中，它不是线性变换。因此引入齐次坐标。齐次坐标表示图像的几何变换十分方便。2021/5/2251 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐次坐标齐次坐标表示齐次坐标表示 所谓齐次坐标表示法就是用N+1N+1维向量维向量表示N N维向量维向量。线性代线性代数数 如把平面上的点P=x,y放到空间去表示为X Y H，使得x X/H，yY/H 则称X Y H是点点P P的齐次坐标的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分
4、量H必须是1，则称为规范齐次坐标规范齐次坐标。P=X,Y的规范齐次坐标是x y 1。显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一对多的关系。2021/5/2261 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐次坐标l二维齐次坐标的一般表示形式为二维齐次坐标的一般表示形式为 hX,hY,hhX,hY,h。当当h=1h=1时，时，二维坐标点的齐次坐标为二维坐标点的齐次坐标为 x,y,1x,y,1；当当h=2h=2时，二维坐标时，二维坐标点的齐次坐标为点的齐次坐标为22x,2y,2x,2y,2。例如，例如，22，3 3，11、22，6 6，22、66，9 9，33都表示二维空间的点都表示二维空间的点
5、22，33。所以，。所以，只有当只有当h=1h=1时，二维点的齐次坐标中的时，二维点的齐次坐标中的x x、y y数值才与二数值才与二维坐标中点的位置矢量的维坐标中点的位置矢量的x x、y y值相等。值相等。l若已知一个其次坐标形式为若已知一个其次坐标形式为 hX,hY,hhX,hY,h，则位置矢量则位置矢量 x=x=hX/hhX/h,y=,y=hY/hhY/h 2021/5/2271 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐次坐标l规范齐次坐标的几何意义相当于点规范齐次坐标的几何意义相当于点(x,y)(x,y)落在落在3D3D空间空间H H1 1的的平面上，平面上，如果将如果将XOY XOY 平
6、面内的三角形平面内的三角形abcabc 的各顶点表示成的各顶点表示成齐次坐标齐次坐标(x xi i,y yi i,1)(,1)(i i=1,2,3)=1,2,3)的形式，就变成的形式，就变成H H1 1平面平面内的三角形内的三角形a a1 1b b1 1c c1 1的各顶点。的各顶点。zxyOabca1b1c1H12021/5/2281 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐次坐标 实现恒等、实现恒等、比例、比例、反射、反射、错切、错切、旋转变换。旋转变换。实现平移变换实现平移变换实现透视变换实现透视变换实现全比例变换实现全比例变换2021/5/2291 1 几何变换基础几何变换基础齐次坐标齐
7、次坐标由虚线分成四个部分，各部分的功能如下：由虚线分成四个部分，各部分的功能如下：（1）abcd 实实现现图图形形的的比比例例变变换换、对对称称变变换换、旋旋转变换和错切变换；转变换和错切变换；（2）l,m 实实现现平平移移变变换换，l和和m分分别别为为x、y方方向向的平移量，有正、负值之分；的平移量，有正、负值之分；（3）s 使使图图形形产产生生等等比比例例的的变变换换。s1，图图形形缩缩小；小；s=1，图形不变图形不变；0s1，图形放大图形放大（4）pq作用在透视变换作用在透视变换2021/5/22102图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移平移原理：平移原理：在图像平移是将一幅图像
8、中所有的点都按照在图像平移是将一幅图像中所有的点都按照指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图像相同。像相同。Tx2,Ty 12021/5/22112图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移平移的齐次坐标公式：平移的齐次坐标公式：变换前后图像上的点变换前后图像上的点P P0 0(x x0 0,y y0 0)和和P P(x1x1,y1y1)之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为：之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为：平移的直角坐标公式：平移的直角坐标公式：图像的平移非常简单，所用到图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系
9、的平移变换公式：的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：2021/5/22122图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移平移的逆变换：平移的逆变换：对变换矩阵求逆，可以得到逆变换对变换矩阵求逆，可以得到逆变换 平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。直角坐标公式：直角坐标公式：齐次坐标公式齐次坐标公式：2021/5/22132图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移图像的平移示意图图像的平移示意图2021/5/22142图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移平移的两种处理平移的两种处理：其一，平移后，图像被丢失一部分。
10、其二，平移后，图像不丢失，就必须扩大存放已被处理后的图扩大存放已被处理后的图像的矩阵像的矩阵。这种处理称为画布扩大画布扩大。这种处理，文件大小要改文件大小要改变。变。设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx|和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx、ty有可能为负(即向左，向上移动)。下移1 1行，右移2 2列2021/5/22152图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移移动前的图移动前的图移动后的图移动后的图移动后图象被放大移动后图象被放大2021/5/22162图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移流程设计：流程设计：(1)取得原图的数据区指针。(2)设定偏
11、移量tx,ty。(3)开辟一个同样大小的缓冲区。(4)对原图依次循环每个像素，每读入一个像素点(x0,y0)，根据它的坐标,找到目标图像的位置（x1=x0-tx,y1=y0-ty），将像素（x0,y0）处的颜色值赋给新图中的（x1,y1）。2021/5/22172图像的位置变换图像的位置变换图像平移图像平移2021/5/22182图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像镜像分为镜像分为水平镜像水平镜像和和垂直镜像垂直镜像。镜像原理镜像原理：水平镜像：水平镜像：以图像的垂直中轴线垂直中轴线为中心交换图像的左右 两部分。垂直镜像：垂直镜像：以图像的水平中轴线水平中轴线为中心交换图像的上下两部分
12、。2.2 2.2 图像的镜像图像的镜像2021/5/22192图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像水平镜像水平镜像垂直镜像垂直镜像2021/5/22202图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像水平镜像水平镜像设图像高度为Height，宽度为Width，原图中的(x0,y0)经过水平镜像后，坐标将变成（Width-x0,y0）。数学表达式数学表达式 矩阵表达式矩阵表达式 x1=Width-x0 y1=y02021/5/22212图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像水平镜像水平镜像 逆运算表达式逆运算表达式 逆矩阵表达式逆矩阵表达式2021/5/22222图像的位置变换图像的
13、位置变换图像镜像图像镜像垂直镜像垂直镜像 点（点（x0,y0）经过垂直镜像后，坐标将变成为）经过垂直镜像后，坐标将变成为（x0,Height-y0）数学表达式数学表达式 矩阵表达式矩阵表达式 x1=x0 y1=Height-y02021/5/22232 2 图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像垂直镜象的逆运算垂直镜象的逆运算：数学表达式数学表达式 矩阵表达式矩阵表达式2021/5/22242图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像流程设计：流程设计：(1)取得原图的数据区指针。(2)开辟一个同样大小的缓冲区。放新图数据(3)每个像素依次循环。在水平镜像水平镜像中，将原图中的像素点的
14、水平坐标变成镜像后的坐标(用图像的宽度减去坐标值)再显示到图像上。垂直镜像垂直镜像中，则对垂直坐标做相应的处理。2021/5/22252图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像水平镜像源码水平镜像源码2021/5/22262图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像垂直镜像源码垂直镜像源码2021/5/22272图像的位置变换图像的位置变换图像镜像图像镜像水平镜像水平镜像垂直镜像垂直镜像2021/5/22282.3.1 2.3.1 图像的旋转图像的旋转理论基础理论基础 图像的旋转图像的旋转是指是指以图像中的某一点为原点以逆时针或以图像中的某一点为原点以逆时针或顺时针的方向旋转一定的角度。
15、顺时针的方向旋转一定的角度。2图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转注意注意 图图像像的的旋旋转转必必须须指指明明图图像像绕绕着着什什么么旋转。旋转。一一般般以以图图像像的的中中心心为为原原点点，旋旋转转一一定的角度。定的角度。旋转后，图像的大小一般旋转后，图像的大小一般会改变会改变。1432213421342021/5/22292图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转 图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P P0 0(x x0 0,y y0 0)旋转旋转 角后的对应点为角后的对应点为P(x,y)P(x,y)。yOxP0（x0,y0）P(x,y)aqrr
16、旋转前旋转前：x0=rCos y0=rSin旋转后：旋转后：x=rCos(a)=rCos Cos a+rSin Sin a=x0Cos a+y0Sin ay=rSin(a)=rSin Cos a rCos Sin a=-x0Sin a+y0Cos a2021/5/2230 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。因此需要因此需要前期处理前期处理 ：扩大画布，取整处理（解决小数问题），平移处理（解：扩大画布，取整处理（解决小数
17、问题），平移处理（解决负数问题）决负数问题）注意注意 是逆时针转角是逆时针转角直角坐标系的图像旋转直角坐标系的图像旋转旋转公式：旋转公式：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针逆时针旋旋转转 角度，则变换后图像的坐标为：角度，则变换后图像的坐标为：2图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转2021/5/22312图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转上式写成齐次坐标为：上式写成齐次坐标为：其中，其中，角度由正负之分，即点角度由正负之分，即点P P在在XYXY平面的内绕平面的内绕原点原点逆时针旋转逆时针旋转所形成的角度为所形成的角度为正正，反之为负。，反之为负。2021/5
18、/22322图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差异很大。图像旋转处理的隐含问题图像旋转处理的隐含问题2021/5/22332图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转图像旋转之后，出现了两个问题：图像旋转之后，出现了两个问题：1 1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这 是因为相邻像素之间只能有是因为相邻像素之间只能有8 8个方向，如下图所示。个方向，如下图所示。2 2）会出现许多的空洞点。）会出现许多的空洞点。下面，我们通过一个实际例子，来看这两下面，我们通过一个实际例子，来看这两个问题带来的个问题带来的
19、图像画面效果图像画面效果上的问题。上的问题。图像旋转的后处理图像旋转的后处理2021/5/2234图像旋转的后处理图像旋转的后处理图像旋转出现的两个问题的图像旋转出现的两个问题的本质本质 都是因为像素值的都是因为像素值的填充是不连续的。填充是不连续的。因此可以采用因此可以采用插值填充插值填充的方法来解决。的方法来解决。2021/5/2235图像旋转的后处理图像旋转的后处理临近插值法和均值插值法：临近插值法和均值插值法：临近插值法，临近插值法，就是将判断为空穴位置上就是将判断为空穴位置上的像素值用其相邻行（或列）的像素的像素值用其相邻行（或列）的像素值来填充。值来填充。均值插值法：均值插值法：是
20、将空穴像素周围像素值是将空穴像素周围像素值的均值填充。的均值填充。2021/5/22362图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转图像旋转示例图像旋转示例2021/5/22372图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转极坐标旋转和反变换旋转极坐标旋转和反变换旋转主要了解反变换旋转主要了解反变换旋转反变换方法反变换方法，就是从新图像的像素点坐标反过来，就是从新图像的像素点坐标反过来求所对应的原图像像素点的坐标。求所对应的原图像像素点的坐标。步骤：步骤：先确定画布大小先确定画布大小确定新图像坐标确定新图像坐标计算计算出对应的原图像坐标。出对应的原图像坐标。这样就把原图像坐标对应到新图像中了。这样就把原图像
21、坐标对应到新图像中了。2021/5/22382图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转反坐标变换反坐标变换示例示例原图原图 3333图像图像f11 f12 f13f11 f12 f13f21 f22 f23f21 f22 f23f31 f32 f33f31 f32 f33第一步，第一步，确定原图旋转确定原图旋转 后的画布大小，这点我们可从坐标旋后的画布大小，这点我们可从坐标旋转公式计算得到。转公式计算得到。X-1,2,y1,4.X-1,2,y1,4.因此，变换后的画布大因此，变换后的画布大小是小是4444第二步第二步，新图像的坐标为：，新图像的坐标为：x=-1-1-1-1 y=1 2 3 4 x=
22、-1-1-1-1 y=1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 42021/5/22392图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转第三步第三步，根据反变换公式，得到其对应的原图像，根据反变换公式，得到其对应的原图像F F的行，列坐标的行，列坐标分布分别为分布分别为x=0 0 1 1 y=1 2 3 4x=0 0 1 1 y=1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 3 3 3 1 2 2 3 0 1 2 3 1
23、2 2 3 0 1 2 3 2 3 3 4 0 1 2 2 2 3 3 4 0 1 2 2 新图像中像素（新图像中像素（0 0，2 2）对应的原图像中像素（）对应的原图像中像素（1 1，2 2）.因为把像因为把像素（素（0 0，2 2）代入反变换公式得到：）代入反变换公式得到：x=2*sin30=1 x=2*sin30=1 y=1.732=2 y=1.732=2因此对应的原图像中像素（因此对应的原图像中像素（1 1，2 2）2021/5/22402图像的位置变换图像的位置变换旋转旋转第四步第四步，旋转后新图像为，旋转后新图像为G=0 0 f13 0G=0 0 f13 0 f11 f11 f12
24、f12 f13 f23 f13 f23 0 f21 f22 f33 0 f21 f22 f33 0 f31 f32 0 0 f31 f32 0可以看出，可以看出，新图像新图像G G（0.20.2）像素点放的是像素点放的是原图像原图像F F（1 1，2 2）像素点像素点总结总结，可以看出反变换法没有空穴，因此不需要后续的插值，可以看出反变换法没有空穴，因此不需要后续的插值处理。处理。2021/5/22413 3 图像的形状变换图像的形状变换 所谓图像的形状变换是指图像的形状发生了变化，所谓图像的形状变换是指图像的形状发生了变化，包括：包括：1.1.平面上的变换（比例变换），即放大、缩小等。平面上
25、的变换（比例变换），即放大、缩小等。2.2.投影变换，即三维物体投影到平面时所产生的形状投影变换，即三维物体投影到平面时所产生的形状变化。变化。2021/5/22423 3 图像的形状变换图像的形状变换对对于于比比例例变变换换（放放缩缩），则则是是给给定定P P点点相相对对于于坐坐标标原原点点沿沿X X方方向向的的比比例例系系数数S Sx x和和沿沿Y Y方方向向的的比比例例系系数数S Sy y，经变换后，则有：经变换后，则有：x xi i=S=Sx x.x.xi i y yi i=S=Sy y.y.yi il当当S Sx x=S=Sy y 1 1 1时，图形放大；时，图形放大；l当当S Sx
26、 x S Sy y 时时，图图形形发发生生畸畸变变；一一般般不不考考虑虑此此情情形形2021/5/22433 3 图像的形状变换图像的形状变换Sx=Sy1yx比例变换图比例变换图Sx=Sy=1注意图形放大或缩小时，图形位置都发生了变化。注意图形放大或缩小时，图形位置都发生了变化。2021/5/22443 3 图像的形状变换图像的形状变换比例变换比例变换在在变变换换矩矩阵阵T T中中，取取S Sx x，S Sy y，它它们们分分别别表表示示点点P(x,y)P(x,y)沿沿X X和和Y Y方方向相对原点的比例变换系数，比例变换矩阵向相对原点的比例变换系数，比例变换矩阵T T为：为：T=Sx000S
27、y0001 则比例变换矩阵形式表示为：则比例变换矩阵形式表示为：P=PT=x y 1 Sx000Sy0=x Sx y Sy 1 0012021/5/22453 3 图像的形状变换图像的形状变换比例变换矩阵的另一种形式是：比例变换矩阵的另一种形式是：T=1 0 0 0 1 0 0 0 s （式式1）比例变换可表示为：比例变换可表示为：P=PT=xy1100010=xys00s规范化后得到：规范化后得到：说说明明：式式1 1是是一一个个等等比比例例变变换换，s s是是比比例例变变换换系系数数。当当s1s1时时，图形缩小；当图形缩小；当s=1s=1时，图形大小不变；当时，图形大小不变；当s1s1时，
28、图形放大；时，图形放大；2021/5/22463 3 图像的形状变换图像的形状变换图像缩小图像缩小分为分为按比例缩小按比例缩小和和不按比例缩小不按比例缩小两种。两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。(a)按比例缩小按比例缩小 (b)不按比例缩小不按比例缩小图像的缩小图像的缩小2021/5/22473 3 图像的形状变换图像的形状变换图像缩小图像缩小 图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽量保持原或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽
29、量保持原有的特征不丢失。有的特征不丢失。最简单的方法就是等间隔地选取数据。最简单的方法就是等间隔地选取数据。图像缩小的实现方法图像缩小的实现方法2021/5/22483 3 图像的形状变换图像的形状变换图像缩小图像缩小 设原图像大小为设原图像大小为M*N,M*N,缩小为缩小为k1M*k2Nk1M*k2N，（，（k11k11，k21k21，k21）。）。算法步骤如下：算法步骤如下：1 1）设设 旧旧 图图 像像 是是 F(i,j)F(i,j)，i=1,2,M,i=1,2,M,j=1,2,N.j=1,2,N.新新 图图 像像 是是 I(x,y),I(x,y),x=1,2,k1M,x=1,2,k1M
30、,y=1,2,k2N.y=1,2,k2N.2 2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)I(x,y)=F(c1*i,c2*j)c1=1/k1 c2=1/k2c1=1/k1 c2=1/k22021/5/22543 3 图像的形状变换图像的形状变换图像放大图像放大K1=1.5,k2=1.2K1=1.5,k2=1.21 12 23 33 33 34 45 56 66 66 64 45 56 66 66 6i=1,2,j=1,3.x=1,3,y=1,4.i=1,2,j=1,3.x=1,3,y=1,4.x=i1,i2,i2,x=i1,i2,i2,y=j1,j2,j3,j3,j3.y=j1,j2,j3,j
31、3,j3.1 12 23 34 45 56 6注意：不按比例放大注意：不按比例放大会导致几何畸变。会导致几何畸变。1 12 22 23 33 34 45 55 56 66 64 45 55 56 66 6c1=2/3,c2=5/6c1=2/3,c2=5/62021/5/22553 3 图像的形状变换图像的形状变换图像放大图像放大(1)取得原图的数据区指针。(2)通过对话框获得放大整数比例：kx,ky。更改图象的宽度和高度。(3)每个像素依次循环。计算该象素在原图象中的坐标，将原图的象素值赋给目标象素相应位置kx*ky个值。2021/5/2256双线性插值双线性插值 假设有一副大小为假设有一副大
32、小为64x64的灰度图像的灰度图像A，现在将图像放大到，现在将图像放大到256x256，不妨令其为图像，不妨令其为图像B，如下图所示。显然，根据简单，如下图所示。显然，根据简单的几何换算关系，可以知道的几何换算关系，可以知道B图像中图像中(x,y)处的像素值应该对应处的像素值应该对应着着A图像中的图像中的(x/4,y/4)处的象素值，即处的象素值，即B(x,y)=A(x/4,y/4)（式式1）1问题的提出，问题的提出，为什么进行插值？为什么进行插值？2021/5/2257双线性插值双线性插值我们可以看出，对于我们可以看出，对于B中的中的(4,4),(4,8),(4,16)(256,256)这些
33、位置，通过这些位置，通过式式1就可以计算出其在就可以计算出其在A中的位置，从而可以中的位置，从而可以得到灰度值。得到灰度值。但是，对于但是，对于B中的中的(1,1),(1,2),(1,3)等等这些坐标点而言，等等这些坐标点而言，如果按照式如果按照式1计算的话，那么它们在计算的话，那么它们在A中对应的坐标不再是整中对应的坐标不再是整数。比如，对于数。比如，对于B中的坐标点中的坐标点(1,1)，其在，其在A中的对应坐标就变中的对应坐标就变成了成了(0.25,0.25)。对于数字图像而言，小数坐标是没有意义。对于数字图像而言，小数坐标是没有意义的。因此，必须考虑采用某种方法来得到的。因此，必须考虑采
34、用某种方法来得到B中像素点在中像素点在A中对中对应位置上的灰度级。应位置上的灰度级。为此，引入了插值为此，引入了插值2021/5/2258双线性插值双线性插值2 2 问题的解决（插值的引入）问题的解决（插值的引入）处理这一问题的方法被称为图像灰度级插值。处理这一问题的方法被称为图像灰度级插值。常用的插值方式有三种：最近邻域插值、双线性插常用的插值方式有三种：最近邻域插值、双线性插值、双三次插值。我们现在了解双线性插值。值、双三次插值。我们现在了解双线性插值。理论上来讲，最近邻域插值的效果最差，双三次插值理论上来讲，最近邻域插值的效果最差，双三次插值的效果最好，双线性插值的效果介于两者之间。的效
35、果最好，双线性插值的效果介于两者之间。2021/5/2259双线性插值原理双线性插值原理3 3 双线性插值的原理：双线性插值的原理：双线性插值的原理如下图所示。2021/5/2260双线性插值原理双线性插值原理说明：说明：首先，首先，根据几何关系，从B图像中的坐标(x,y)得到A图像中的坐标(x/4,y/4)，但是，映射得到的这个坐标(x/4,y/4)并没有刚好位于A图像中的整数坐标上，而是映射到了四个像素坐标(a,b)、(a+1,b)、(a,b+1)、(a+1,b+1)所围成的矩形之间，其中，a、b是A图像的整数坐标。现在的问题就是如何根据A(a,b)、A(a+1,b)、A(a,b+1)、A
36、(a+1,b+1)这四个点上的灰度级求出A(x/4,y/4)处的灰度级。双线性插值技术采用的方法是：双线性插值技术采用的方法是：假设A图像的灰度级变化在纵向方向上是线性变化的，这样根据直线方程或者几何比例关系就能够求得(a,y/4)和(a+1,y/4)坐标处的灰度级A(a,y/4)和A(a+1,y/4)。然后，再假设在(a,y/4),A(a,y/4)和(a+1,y/4),A(a+1,y/4)这两点所确定的直线上，灰度级仍然是线性变化的。求出直线方程，于是就可以求得(x/4,y/4)处的灰度级A(x/4,y/4)。这就是双线性插值的基本思路。其中用到的两个基本假设是：其中用到的两个基本假设是：首
37、先灰度级在纵向方向上是线性变化的，然后假定灰度级在横向方向上也是线性变化的。2021/5/22614 4 图像错切图像错切错切：图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的错切：图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂非垂直投影效果直投影效果。错切变换也称为剪切、错位或错移变换。错切变换也称为剪切、错位或错移变换。原理：保持图像上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值进行原理：保持图像上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值进行线性变换。线性变换。坐标不变的轴称为依赖轴，变换的轴称为方向轴。坐标不变的轴称为依赖轴，变换的轴称为方向轴。2021/5/22624 4 图像错切图像错切（1 1）沿）
38、沿x x轴方向关于轴方向关于y y的错切的错切(x(x方向错切方向错切)变换矩阵变换矩阵Ty-x=100c10(式式8-2-12)001 点点P(x,y)P(x,y)经经T Ty-xy-x作用后，得到的作用后，得到的P(x,y)P(x,y)。P=P Ty-x=x y 1 =x y 1 100c10=x+cy y 1=x+cy y 1001 即即 x=x+cyy=y2021/5/22634 4 图像错切图像错切说说明明变变换换前前和和变变换换后后y y值值坐坐标标保保持持不不变变，而而x x坐坐标标依依赖赖于于初初始始坐坐标标值值（x,yx,y）及及参参数数c c的的值值呈呈线线性性变变化化。下
39、下图图说说明明了了矩矩形形ABCDABCD经经T Ty-xy-x矩矩阵阵错错切切后后变变为为一一个个平平行行四四边边形形，并并且且c=tgc=tg，如果如果c0c0，则沿则沿+x x方向错切；若方向错切；若c0cy=1 b 0 0 1 0 0 0 1 点点P(x,y)P(x,y)经经Tx-yTx-y作用后，得到的作用后，得到的P(x,y)P(x,y)。P=P Tx-y=x y 1=x y 1 1 b 0 0 1 0 =x y+bx 1=x y+bx 1 0 0 1 即 x=x y=y+bx2021/5/22654 4 图像错切图像错切说说明明变变换换前前和和变变换换后后x x值值坐坐标标保保持
40、持不不变变，而而y y坐坐标标与与初初始始坐坐标标值值（x,yx,y）及及参参数数b b有有关关。下下图图说说明明了了矩矩形形ABCDABCD经经T Tx-yx-y矩矩阵阵错错切切后后变变为为一一个个平平行行四四边边形形，并并且且b=tgb=tg，如如果果b0b0，则则沿沿+y y方方向向错错切切；若若b0b0，则沿则沿-y y方向错切。方向错切。沿沿y y轴方向关于轴方向关于x x的错切变换的错切变换 2021/5/22664 4 图像错切图像错切错切的计算公式如下：错切的计算公式如下：2021/5/2267图像错切的示例图像错切的示例 可以看到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。可以看
41、到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。与前面旋转不同的是，与前面旋转不同的是，x x方向与方向与y y方向独立变化。方向独立变化。2021/5/22685 三维物体的投影v我们知道，所得到的图像大多是三维物体在二维我们知道，所得到的图像大多是三维物体在二维平面上的投影信息。平面上的投影信息。v三维物体与二维图像之间的关系在计算机图形学三维物体与二维图像之间的关系在计算机图形学领域中用的非常多，在图像处理领域中，可以用领域中用的非常多，在图像处理领域中，可以用来观察和分析物体的情况。来观察和分析物体的情况。2021/5/22695 三维物体的投影-投影变换投影变换投影变换成的分类投影变换成的
42、分类2021/5/22705 三维物体的投影-投影变换投影变换v投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上的投影。投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上的投影。v如下图所示，当视点在如下图所示，当视点在z轴上时，物体上的点轴上时，物体上的点p(x,y,z)在在平面上的投影平面上的投影P(X,Y,0)的计算公式如下：的计算公式如下：xyzVp=(0,0,h)视点p(x,y,z)空间上的点P(X,Y,0)投影面上的点2021/5/2271例题例题p1p3p4p2p5p6p7p8xzy 从视觉效果看，好象不是正方体。这是因为从视觉效果看，好象不是正方体。这是因为z轴的方向与我们的习惯相反。轴的方
43、向与我们的习惯相反。2021/5/22725 三维物体的投影透视变换透视变换v透视变换是指照相机拍摄下来的照片。透视变换是指照相机拍摄下来的照片。v如下图所示，当视点在如下图所示，当视点在z轴上时，物体上的点轴上时，物体上的点p(x,y,z)在在平面上的投影平面上的投影P(X,Y,0)的计算公式为：的计算公式为：p(x,y,z)空间上的点P(X,Y,0)投影面上的点xyz透镜位置透镜位置2021/5/2273例题例题p1p3p4p2p5p6p7p8xzy图像平面镜前平面2021/5/22745 三维物体的投影透视变换透视变换灭点灭点 灭点也可以存在于画面之外，它可以存在于画面的左方、右方、上方、斜上方，甚至下方（影片中那些从飞机上俯拍高楼的画面，灭点就在下方）。例如图3，就指向左、右、上三个灭点。2021/5/2275计算机图形学的立体效果2021/5/22762021/5/2277汇报结束谢谢大家!请各位批评指正