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1、第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为阶线性方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为通常称通常称 第二式为为 第一式的相对应的齐方程。的相对应的齐方程。注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至所得结论可自然推广至 n 阶
2、线性方程中。阶线性方程中。复习复习:一阶线性方程一阶线性方程通解通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y Y这种解法叫常数变易法。这种解法叫常数变易法。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理:则它们的线性组合的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。问题问题:例：设例：设 y1 为为(1)的解的解,则则 y2=2 y1 是是 方程方程(1)的解的解,但但 y=C1 y1+C2 y2 不为方程不为方程(1)的通解的通解.又如又如.对于二阶常系数对于二阶常系数线性齐次微分方程线性齐次微分方程容易验证容易验证:但这个解中只含有一
3、个任意常数但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解显然它不是所给方程的通解.由定理知由定理知都是它的解都是它的解.也是它的解也是它的解.在什么情况下，叠加所得可以成为方程在什么情况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解的通解？为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入下面引入函数的线性相关函数的线性相关与线性无关与线性无关概念概念.(2)线性无关、线性相关线性无关、线性相关定义定义:是定义在是定义在区间区间 I 上上的的 n 个函数个函数,使得使得则称则称这这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.若存在若存在不全不全为为 0 的
4、常数的常数在区间在区间I I上线性相关上线性相关存在不全存在不全为为 0 的的线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0,则则必线性必线性相关相关两个两个函数在区间函数在区间 I 上线性上线性相关与线性无关的相关与线性无关的充要条件充要条件:(不妨设不妨设例例1 1：在在(,)上都有上都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;3.3.如：如：若在某若在某区间区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个则根据二次多项式至多只有两个零点零点,必需必需全为全为 0,可见可见在任何在任何区间区间 I 上都上都线性线性无关无关.由三角函数知识可知，这是不可能的
5、，故由三角函数知识可知，这是不可能的，故(一一)二阶齐线性微分方程解的结构二阶齐线性微分方程解的结构的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则是方程是方程(1)的通解。的通解。例如例如推论：推论：是是 n 阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程 的的 n 个线性无关的特解个线性无关的特解,则方程的通解为：则方程的通解为：下面要用到的几个重要的结论下面要用到的几个重要的结论（要记住）（要记住）通过观察可得方程的一个特解：通过观察可得方程的一个特解：又容易看出：又容易看出：由叠加原理，原方程的通解为由叠加原理，原方程的通解为代入方程（代入方程（1）中，得）中，得怎么做？怎么做？关于关于 z 的
6、一阶线性方程的一阶线性方程该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。即即故有故有两边积分，得两边积分，得这是关于这是关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程刘维尔公式刘维尔公式由刘维尔公式由刘维尔公式故原方程的通解为故原方程的通解为（二（二)二阶非齐线性微分方程解的结构二阶非齐线性微分方程解的结构的一个通解，则的一个通解，则证证 将将代入方程（代入方程（2 2）的左端得）的左端得是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,因而因而 是通解是通解.是对应齐次方程的是对应
7、齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,推广推广:给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为则非齐次方程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解例例1：方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解：有通解：因此该方程的通解为因此该方程的通解为是其对应的齐方程是其对应的齐方程的一个特解。的一个特解。则该方程的通解是则该方程的通解是().例例4.设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程都是二阶非齐次线性方程的解的解,是任意常数是任意常数,提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,且二者
8、线性无关且二者线性无关 (反证法可证反证法可证)。由由非齐线性微分方程解的结构定理可得（非齐线性微分方程解的结构定理可得（D）是正确的。）是正确的。例例5.设设 是二阶线性非齐次方程的三个线是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用性无关的解，试用 表示二阶线性非齐次方表示二阶线性非齐次方程的通解程的通解.都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,且二者线性无关且二者线性无关.(反证法可证反证法可证)。例6.已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解.是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通
9、解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为：故所求特解为：有三有三 解解都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解原方程的通解原方程的通解例例8.已知已知 y=x 及及 y=sinx 为某二阶线性齐次为某二阶线性齐次 方程的解方程的解,求该方程求该方程.解解解解(1)由题设可得：由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得(2)原方程为原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)下面介绍如何求方程（下面介
10、绍如何求方程（2）的特解？）的特解？的通解，则的通解，则是方程是方程(2)的通解。的通解。1、常数变易法常数变易法复习复习:常数变易法常数变易法:对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为 代入原方程确定代入原方程确定 对二阶非齐次方程对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解:设设的解为的解为 由于有两个待定函数由于有两个待定函数,所以要建立两个方程所以要建立两个方程:令令于是于是将以上结果代入方程将以上结果代入方程 :得得故故,的系数行列式的系数行列式是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解积分得积分得:代入代入 即得非齐次方程的通解
11、即得非齐次方程的通解:于是得于是得 说明说明:将将的解设为的解设为 只有一个必须满足的条件即只有一个必须满足的条件即因此必需再附加因此必需再附加一个条件一个条件,方程方程的引入是为了简化计算的引入是为了简化计算.方程方程 情形情形2.仅知仅知的齐次方程的一个非零特解的齐次方程的一个非零特解 代入代入 化简得化简得设其通解为设其通解为 积分得积分得(一阶线性方程一阶线性方程)由此得原方程由此得原方程的通解的通解:常常常常数数数数变变变变易易易易法法法法则有则有这是以下推导这是以下推导这是以下推导这是以下推导的前提。的前提。的前提。的前提。1、常数变易法常数变易法于是于是对上式两边关于对上式两边关
12、于 x 求导，得求导，得 这两部分这两部分为零。为零。即即联立联立(3)、(4)构成方程组构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 在这一节中所讲述的理论均可推广到在这一节中所讲述的理论均可推广到 n 阶线性微分方程中去。阶线性微分方程中去。解：该方程所对应的齐方程为解：该方程所对应的齐方程为它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组由常数变易法，解方程组两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数
13、为零，得故原方程有一特解故原方程有一特解从而原方程的通解为：从而原方程的通解为：解：先将方程变形为解：先将方程变形为所以，对应的齐次的通解为所以，对应的齐次的通解为设原方程的解为设原方程的解为由常数变易法知，应有由常数变易法知，应有解之得解之得所以所以原方程的通解为原方程的通解为例例3.的通解为的通解为 的通解的通解.解解:将所给方程化为将所给方程化为:已知齐次方程已知齐次方程求求利用利用,建立方程组建立方程组:故所求通解为故所求通解为积分得积分得 例例4.的通解的通解.解解:对应齐次方程为对应齐次方程为由观察可知它有特解由观察可知它有特解:代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得练练 习习 题题 四、小结四、小结主要内容主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相关与线性无关；、函数的线性相关与线性无关；练习题答案练习题答案