数学物理方法 课程教学大纲.doc

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1、 数学物理方法 课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称：数学物理方法所属专业：物理、应用物理专业课程性质：数学、物理学学 分：5（二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内

2、容将更深入，更本质。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。（四）教材：数学物理方法杨孔庆编参考书：1. 数学物理方法柯朗、希尔伯特著 2. 特殊函数概论王竹溪、郭敦仁编著 3. 物理中的数学方法李政道著 4. 数学物理方法梁昆淼编 5. 数学物理方法郭敦仁编 6. 数学物理方法吴崇试编二、课程内容与安排第一部分 线性空间及线性算子第一章 R3 空间的向量分析第一节 向量的概念第二节 R3 空间的向量代数第三节 R3 空

3、间的向量分析第四节 R3 空间的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空间曲线坐标系中的向量分析第一节 R3 空间中的曲线坐标系第二节 曲线坐标系中的度量第三节 曲线坐标系中标量场梯度的表达式第四节 曲线坐标系中向量场散度的表达式第五节 曲线坐标系中向量场旋度的表达式第六节 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表达式第三章 线性空间第一节 线性空间的定义第二节 线性空间的内积第三节 Hilbert（希尔伯特）空间第四节 线性算符第五节 线性算符的本征值和本征向量第二部分 复变函数第四章 复变函数的概念第一节 映射第二节 复数第三节 复变函数第五章 解析函数第一节 复变函数的导数第二节

4、复变函数的解析性第三节 复势第四节 解析函数变换第六章 复变函数积分第一节 复变函数的积分第二节 Cauchy（柯西）积分定理第三节 Cauchy（柯西）积分公式第四节 解析函数高阶导数的积分表达式第七章 复变函数的级数展开第一节 复变函数级数第二节 解析函数的Taylor（泰勒）展开第三节 Taylor展开的理论应用第四节 解析函数的Laurent（洛朗）展开第八章 留数定理第一节 留数定理第二节 留数的一般求法第三节 解析函数在无穷远点的留数第四节 留数定理在定积分中的应用第五节 Hilbert（希尔伯特）变换第三部分 积分变换与函数第九章 Fourier（傅里叶）变换第一节 Fourie

5、r级数第二节 Fourier变换第三节 Fourier变换的基本性质第十章 Laplace（拉普拉斯）变换第一节 Laplace变换第二节 Laplace变换基本性质第三节 Laplace变换的应用第四节 关于Laplace变换的反演第十一章 -函数第一节 -函数的定义第二节 -函数的性质第三节 -函数的导数第四节 三维-函数第五节 -函数的Fourier变换和Fourier级数展开第四部分 数学物理方程第十三章 波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题第一节 二阶线性偏微分方程的普遍形式第二节 波动方程及其定解条件第三节 输运方程及其定解条件第四节 Poisson方程及其定

6、解条件第五节 Laplace方程和调和函数第六节 三类方程定解问题小结第十四章 分离变量法第一节 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法第二节 SturmLiouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题第三节 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法第四节 非齐次边界条件下的分离变量法第五节 分离变量法小结第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量第一节 球坐标系下方程的分离变量第二节 柱坐标系下方程的分离变量第三节 二阶线性常微分方程的级数解法第十六章 球函数第一节 Legendre（勒让德）多项式第二节 Legendre多项式的性质第三节 具有轴对称的Laplace方程的求解第四节 连带Legendre函

7、数第五节 球函数第十七章 柱函数第一节 Bessel（贝塞尔）函数第二节 Bessel函数的递推关系第三节 柱函数的定义第四节 整数阶Bessel函数Jn( x )的生成函数第五节 Bessel方程的本征值问题第六节 球Bessel函数*第十八章 Green（格林）函数法第一节 微分算子的基本解和Green函数的定义第二节 Laplace算子的基本解第三节 Laplace算子的Green函数第四节 Laplace算子的镜像Green函数法第五节 Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解第六节 输运算子的Green函数第七节 波动算子的基本解（一） 教学内容与学时分配本课程讲授90学时（不包括习

8、题课）。学时分配及进度表周次内容讲授学时第一周-第四周第一章 R3 空间的向量分析1.1 向量的概念 1.2 R3空间的向量代数1.3 R3空间的向量分析 1.4 R3空间的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空间曲线坐标系中的向量分析2.1 R3空间中的曲线坐标系2.2 曲线坐标系中的度量2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表达式第三章 线性空间3.1 线性空间的定义3.2 线性空间的内积3.3 Hilbert（希尔伯特）空间3.4 线性算符3.5 线性算符的本

9、征值和本征向量20第五周-第六周第四章 复变函数的概念4.1 映射4.2 复数4.3 复变函数 第五章 解析函数5.1 复变函数的导数5.2 复变函数的解析性5.3 复势5.4 解析函数变换第六章 复变函数积分6.1 复变函数的积分6.2 Cauchy（柯西）积分定理6.3 Cauchy（柯西）积分公式6.4 解析函数高阶导数的积分表达式10第七周-第九周第七章 复变函数的级数展开7.1 复变函数级数7.2 解析函数的Taylor（泰勒）展开7.3 Taylor展开的理论应用7.4 解析函数的Laurent（洛朗）展开第八章 留数定理8.1 留数定理8.2 留数的一般求法8.3 解析函数在无穷

10、远点的留数8.4 留数定理在定积分中的应用8.5 Hilbert（希尔伯特）变换15第十周-第十二周第九章 Fourier（傅里叶）变换9.1 Fourier级数9.2 Fourier变换9.3 Fourier变换的基本性质第十章 Laplace（拉普拉斯）变换10.1 Laplace变换10.2 Laplace变换基本性质10.3 Laplace变换的应用10.4 关于Laplace变换的反演第十一章 -函数11.1 -函数的定义11.2 -函数的性质11.3 -函数的导数11.4 三维-函数11.5 -函数的Fourier变换和Fourier级数展开15第十三周-第十五周第十三章 波动方程

11、、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题12.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式12.2 波动方程及其定解条件12.3 输运方程及其定解条件12.4 Poisson方程及其定解条件12.5 Laplace方程和调和函数12.6 三类方程定解问题小结第十四章 分离变量法13.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法13.2 SturmLiouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题13.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法13.4 非齐次边界条件下的分离变量法13.5 分离变量法小结第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量14.1 球坐标系下方程的分离变量14.2 柱坐标系下方程的分离变量1

12、4.3 二阶线性常微分方程的级数解法15第十六周-第十八周第十六章 球函数15.1 Legendre（勒让德）多项式15.2 Legendre多项式的性质15.3 具有轴对称的Laplace方程的求解15.4 连带Legendre函数15.5 球函数第十七章 柱函数16.1 Bessel（贝塞尔）函数16.2 Bessel函数的递推关系16.3 柱函数的定义16.4 整数阶Bessel函数Jn( x )的生成函数16.5 Bessel方程的本征值问题16.6 球Bessel函数*第十八章 Green（格林）函数法18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义18.2 Laplace算子的基本

13、解18.5 Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解18.6 输运算子的Green函数18.7 波动算子的基本解15（二） 内容及基本要求第一章R3空间的向量分析主要内容：1. R3空间中的向量分析（1.1） 2. R3空间中的向量代数与分析（1.2、1.3） 3. R3空间中的向量分析的一些重要公式（1.4） 【掌握】 1.向量的概念及运算规则；2.Einstein求和约定、Kronecker delta符号ij及Levicivita符号ijk的用法；3.标量场、向量场的定义及“del”算符的定义；4.R3空间中向量分析的一些基本运算公式及其推导方法； 【了解】 标量场的梯度、向量场的散度和

14、旋度的定义。第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析主要内容：1.R3空间中的曲线坐标系及其度量（2.1）（2.2） 2.曲线坐标系中标量场的梯度（2.3） 3.曲线坐标系中向量场的散度、旋度（2.4）（2.5） 4.曲线坐标系中Laplace算符2（2.6） 【掌握】 1.R3空间曲线坐标系度量的概念及含义；2.曲线坐标系中标量场梯度的表达式；3.曲线坐标系中向量场散度的表达式；4.曲线坐标系中向量场旋度的表达式；5.曲线坐标系中Laplace算符2的表达式。 【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符2在正交曲线坐标系中表达式的推导过程，并能由此推出在直角坐标系、球坐标系及柱坐标系中的表达式

15、。第三章线性空间主要内容：1.线性空间的定义及其内积（3.1）（3.2） 2.Hilbert空间的定义（3.3） 3.常见线性算符（3.4） 4.线性算符的本征值与本征向量（3.5） 【掌握】 1.线性空间的定义以及内积和内积空间的定义；2.Hilbert（希尔伯特）空间的定义；3.向量空间中线性算符及线性变换的定义，几种简单的线性算符的形式；4.线性算符的本征值及本征向量的定义及物理意义；5.本征值与本征向量的求解。 【了解】 1.施密特正交归一化方法；2.几种线性算符的证明过程。第四章复变函数的概念主要内容：1.映射的概念（4.1） 2.复数与复变函数（4.2）（4.3） 【掌握】： 1.

16、映射的定义，掌握复变数、复变函数及区域的概念； 2.无穷运点的定义； 3.几种常见的初等函数的定义及性质； 4.复数的几何表示及其他表达式。【了解】： 1.复数的定义及其运算法则； 2.函数的多值性及处理办法； 3.复球面的概念。第五章解析函数主要内容：1.复变函数导数与解析性和复势的概念（5.1、5.2、5.3） 2.解析函数变换（5.4） 【掌握】1.复变函数的极限及连续性的定义，导数的定义及求导的基本公式和规则；2.解析函数的定义、条件及解析函数实虚部的关系；【了解】1.复势的概念； 2.保角（共型）变换的概念；第六章复变函数积分主要内容：1.复变函数的积分（6.1）（6.2） 2.Ca

17、uchy（柯西）积分定理及其公式（6.3） 3.解析函数高阶导数的积分表达式（6.4） 【掌握】：1.复变函数积分的定义； 2. 利用Cauchy积分定理求解某些回路积分。【了解】： 1.复变函数积分的某些性质；2.柯西积分公式的推导； 3.多连通区域柯西积分定理的推导。第七章复变函数的级数展开主要内容：1.复变函数的级数（7.1） 2.解析函数的Taylor（泰勒）展开（7.2） 3.Taylor展开的理论应用（7.3） 4.解析函数的Laurent（洛朗）展开（7.4） 【掌握】1.幂级数的定义及收敛的概念，2.解析函数的Taylor展开及Laurent展开的概念和展开方法； 3.函数孤立

18、奇点的定义、奇点的类型、阶数和特点； 4.复数级数的定义及收敛性的概念，收敛判据及收敛性质，掌握函数项级数一致收敛的性质。 【了解】 1.最大模定理；2.Liouville定理。第八章留数定理主要内容：1.留数定理及其一般求法（8.1、8.2） 2.留数定理在实积分中的应用（8.4） 3.希尔伯特变换（8.5） ， 【掌握】1.留数定理的概念；2.极点的留数计算方法； 3.型积分、型积分、型积分、实轴上有单极点的函数积分的特点及计算方法。【了解】1.利用留数定理计算某些其他类型积分的方法；2.解析函数在无穷远点除的留数； 3.希尔伯特变换。第九章Fourier变换主要内容：1.Fourier级

19、数与变换（9.1、9.2） 2.Fourier变换的基本性质（9.3） 【掌握】有理分式的反演方法、延迟定理、位移定理、卷积定理。 【了解】延迟定理、位移定理及卷积定理。第十章Laplace变换主要内容：1.Laplace变换与其基本性质（10.1、10.2） 2.Laplace变换的反演（10.3） 3.Laplace变换的应用（10.4） 【掌握】延迟定理、位移定理及卷积定理。 【了解】普遍反演公式。第十一章函数主要内容：1.函数的定义与性质（11.1、11.2） 2.函数的导数和三维函数（11.3、11.4） 3.函数的Fourier变换及Laplace变换（11.5） 【掌握】1.-函

20、数的定义及性质；2.-函数的意义； 【了解】1.-函数的导数；2.普遍反演公式； 3.-函数的其他表达式。第十三章波动方程、输运方程、泊松方程及其定解问题主要内容：1.二阶线性偏微分方程的普遍形式（12.1） 2.波动方程及其定解条件（12.2） 3.输运方程及其定解条件（12.3） 4.泊松方程及其定解条件（12.4） 5.三类方程定解问题小结（12.6） 【掌握】1.比较简单的几类定解条件的形式及意义，问题适定性的意义；2.将某物理问题通过建立模型，利用物理规律转化为数学物理方程的基本方法。【了解】数学物理方程(如弦的横振动方程、杆的纵振动方程、热传导方程、膜的横振动方程、电磁场的波动方程

21、等)的推导过程。第十四章分离变量法主要内容：1.直角坐标系中利用分离变量法求解方程（13.1）（1.5学时） 2.Sturm-Liouville型方程的本征值问题（13.2）（1.5学时） 3.不同边界条件下的分离变量法（13.3、13.4） 【掌握】1.通过求解有界空间的定解问题掌握分离变量（Fourier级数）法的基本要点；2.非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法；3.非齐次边界条件下的分离变量法；4.利用Fourier积分法求解无界空间的定解问题。【了解】Sturm-Liouville型方程的本征值问题第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量法主要内容：1.Laplace方程在球坐标系下的分

22、离变量（14.1） 2.球坐标系下的分离变量（14.1） 3.自Helmhotz方程导出Bessel方程（14.2） 4.二阶线性常微分方程的级数解法（14.3） 【掌握】 1.球坐标系下Laplace方程得出径向方程与球函数方程的过程；2.柱坐标系下的分离变量过程；3.方程正常点与奇点的概念和含义；4.指数方程的概念和含义。 【了解】 Helmhotz方程在球坐标下的分离变量。第十六章 球函数主要内容：1.Legendre多项式的定义、来源与主要性质（15.1、15.2） 2.具有轴对称的Laplace方程的求解（15.3） 3.连带Legendre函数的定义与性质（15.4） 4.一般球函

23、数的性质（15.5） 【掌握】 1.Legendre多项式的来源；2.Legendre多项式一般形式；3.Legendre多项式的微分表达式和生成函数；4.Legendre多项式的递推公式；5.轴对称的Laplace方程求解过程与对应的物理模型；6.连带Legendre函数的定义与性质；7.一般球函数的性质与对应物理图像。 【了解】1.Legendre多项式一般形式的推导过程；2.Legendre多项式的正交性、模、完备性及广义Fourier展开；3.球函数的正交关系；4.球函数构成的希尔伯特空间的物理意义。第十七章 柱函数主要内容：1.Bessel函数及其递推关系（16.1、16.2） 2.

24、柱函数的定义（16.3） 3.整数阶Bessel函数Jn( x )的生成函数（16.4） 4.Bessele函数的本征值问题（16.5） 5.虚宗量的Bessel函数与球Bessele函数（16.6） 【掌握】 1.Bessele函数的来源与一般性质；2.Bessele函数的递推关系；3.柱函数的概念与定义；4.整数阶Bessel函数Jn( x )的生成函数与积分形式；5.Bessel函数的渐近形式、本征值的确定方法；6.Bessel函数的正交性、模及Fourier-Bessel展开，Bessel函数的母函数。 【了解】1.Bessele函数的递推关系过程；2. 虚宗量的Bessel函数。*第十八章 格林函数法主要内容：1. 格林函数的定义、来源与主要性质（18.1） 2. Laplace算子的基本解（18.2） 3. Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解（18.5） 4. 输运算子的Green函数（18.6） 5. 波动算子的基本解（18.7） 【了解】1.格林函数的物理图像；2. 常用算子的基本解。说明：1.对于大纲所列内容与学时分配建议，教师可根据实际情况及专业特点，适当取舍调整，标有*的内容可以从简或者舍去。2.习题课可根据实际需要另行安排。 制定人：黄亮、俞连春、黄子罡审定人：批准人：日 期：2016年6月