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1、静态平衡中的最值问题物物理理专题类型1已知合力F方向和一个分力F1且夹角为锐角,求力F2的最小值。做法：从分力F1的箭头作合力F的垂线段，垂线段的长短就代表力F2的大小.例1、一个大人和一个小孩分别在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1=400N，方向如图所示（未画出小孩的拉力方向），要使船在河流中平行河岸行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向。解析：小船的受力分析如图所示，当小孩对船施加的力方向为垂直河岸与大人在相反的一侧。力最小为F2=F1sin30=F1/2F2F1F2F2类型2.当两分力间夹角不变且为钝角时，其中一个分力F1不变而另一个分力F2变化时合力F有最小值。从图中可
2、看出F2增加时，合力可增可减可不变且当合力F垂直于F2时合力有最小值.F2F1F类型3.三绳拉一物体处于平衡状态，由于绳长已经固定故各边拉力比已经固定，边长的代表力大。当物体重力增加时，各边均成比例增加，力的边长越长的所对应绳子拉力最大。承受拉力相同时，此绳先断，否则需看比例。例2、如图所示，用轻绳AB和BC悬挂一重物，绳与天花板夹角分别为600和300；（1）若物重100N，求绳AB和BC所受拉力的大小。（2）若AB绳最大能承受15N的拉力，BC绳最大能承受10N的拉力，若保持两绳均不断，则物体最重不能超过多重。AC3060B例2、如图所示，用轻绳AB和BC悬挂一重物，绳与天花板夹角分别为6
3、00和300；（1）若物重100N，求绳AB和BC所受拉力的大小。（2）若AB绳最大能承受15N的拉力，BC绳最大能承受10N的拉力，若保持两绳均不断，则物体最重不能超过多重。解题思路：选取节点B进行受力分析正交分解，三力平衡，合力为零，列关系式根据关系式找出最容易断的绳子为标准进行计算AC3060ByxFAFcG例2、如图所示，用轻绳AB和BC悬挂一重物，绳与天花板夹角分别为600和300；（1）若物重100N，求绳AB和BC所受拉力的大小。解析：（1）作出受力图如图所示，X轴方向：Fccos30=FAcos60Y轴方向：G=Fcsin30+FAsin60解得：Fc=50NFA=503NAC
4、3060ByxFAFcG例2、如图所示，用轻绳AB和BC悬挂一重物，绳与天花板夹角分别为600和300；（2）若AB绳最大能承受15N的拉力，BC绳最大能承受10N的拉力，若保持两绳均不断，则物体最重不能超过多重。解析：（2）作出受力图如图所示，X轴方向：Fccos30=FAcos60Y轴方向：G=Fcsin30+FAsin60AB绳拉力较大，当重物增加时AB绳拉力增大的比例最大，分力边的比需满足FA/FC=1.73,而题中仅为15N/10N=1.5。即1.731.5，按比例AB绳先断，此时物体最重，由图中比例求出G=Fc/sin30=17.3N。AC3060ByxFAFcG类型4.利用相似三
5、角形求解最值。例3、如图所示，球重为G，半径为R，用一根细绳拉着球，使它沿光滑的竖直墙壁缓慢向上运动，若绳所能承受的最大拉力为T，试求当球心离顶端A多远时球将要落下?解题思路：对球受力分析，画出受力分析图找到将要下落的临界条件找出力学三角形和几何三角形的对应比类型4.利用相似三角形求解最值。例3、如图所示，球重为G，半径为R，用一根细绳拉着球，使它沿光滑的竖直墙壁缓慢向上运动，若绳所能承受的最大拉力为T，试求当球心离顶端A多远时球将要落下?解析：对球进行受力分析如图所示，当绳子上的拉力最大为T时，由力学三角形OGT与几何三角形ABO相似有：从而解得类型5.利用三角函数求解最值例4、一质量为m的
6、木块与水平地面间的动摩擦因数为,一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此作用力F的大小和方向如何？解题思路：对木块受力分析，画受力分析图，设角将地面对木块的支持力和摩擦力合成为一个力F1找出F最小时与重力、F1的三角函数关系根据三角函数关系求角及F的大小mmmgfFNF1F1Fmg解析：木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设力F与水平方向间夹角为，F值最小.由于f=N,故不论如何变化，f与N的合力F1方向都不变，F1与竖直方向夹角定为F=arctanf/N=arctan。由平衡条件可知：F1、F、mg三力构成一个封闭的失量三角形。当改变F与水平夹角时，F的大小和方向
7、都会变，且F与F1方向垂直时F有最小值，由几何关系可知：F=G/sinF=mg/,且=F=arctan.mmmgfFNF1F1Fmg本课小结问题分类解题方案典例运用下节课再见8利用三角函数求解最值一质量为m的木块与水平地面间的动摩擦因数为,一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此作用力F的大小和方向如何？分析：本题侧重将三角函数和图解法求解平衡状态临界问题中的极值。木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设力F与水平方向间夹角为，F值最小.由于Ff=FN,故不论如何变化，Ff与FN的合力F1方向都不变，F1与竖直方向夹角定为F=arctanFf/FN=arctan。由平
8、衡条件可知：F1,F,mg三力够成-个封闭的失量三角形。当改变F与水平夹角时，F与F1的大小和方向都会变，且F与F1方向垂直时F有最小值，由几何关系可知：F=G/sinF=mg/,且=F=arctan.b.两根长度相等的轻绳，下悬挂一质量为m的物体上，上端分别固定在水平天花板上的、点，两点间的距离为，如图所示，已知两绳所能经受的最大拉力均为，则每根绳的长度不得短于多少分析：当两力的合力不变时，分力夹角越大所需分力越大。故绳拉力最大时夹角最大，绳子最短。此时实际距离与力的三角形相似。7由平衡找最值。如图所示，将一质量为m的物体放在斜面上，并沿斜面向上施加一个拉力F，为了使物体能在斜面上保持静止，
9、所加拉力的最小值为F1，最大值为F2，则物体受到的最大静摩擦力的大小为分析：推力最大时有向上运动趋势：F2=G1+f,推力最小时有向下运动趋势：F1+f=G1(G1为G下滑分量)。此题也可改为通过定滑轮用另一物体来拉此物块，求另一物体的取值范围。【例3】如图1-32所示，用细线AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直方向成30角，若AO、OB能承受的最大拉力各为10N和6N，OC能承受足够大的力，为使细线不被拉断，重物允许的最大重力是多大？3、：设若逐渐增大重物重量时绳AO先断，由O点受力图易得：当F=10N时OB所受拉力为F=5N6N，假设正确，得此态OC的拉力为F=Fcos30=5N=8.
10、66N，即重物允许的最大重力为8.66N。6如图138所示，物块置于倾角为的斜面上，重为G，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为=/3，用水平外力F推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力怎样增大都不能使物体沿斜面向上运动?6、：分析易知，F越大，越小，物体越容易上滑，可以先求出F无穷大时，物体刚好不能上滑的倾角临界值0，然后再取，即为题目的答案。作出物体的受力图，将力沿平行和垂直斜面两方向分解，有力的关系为：解之得F=因F无穷大得1-tgo=0即o=arctg=60所以当斜面倾角60时，无论F多大，都不能使物体上滑。例2.轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能承受
11、的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值.解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N是压力G的平衡力，方向竖直向上。因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得：dl=4，所以d最大为例5：拉力F作用于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进。如图，若物体与地面间的动摩擦因数为，当拉力最小时，拉力F与地面间的夹角为多大？例5.重G的光滑小球静止在固定斜面和竖
12、直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90过程，F2矢量也逆时针转动90，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大.（当F2F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）5、两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为s，如图
13、所示。已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于_。解析:作出物体的受力图.设此位置时,两绳的拉力达到最大值T,绳与竖直方向成角,绳长为L,则有2|T|cos=mg,cos=,联立解得L=,故知绳的长度不得小于.点评：利用向量知识解决有关力的平衡问题常用的两种方法有:一是利用向量加法的平行四边形法则及力的平衡,通过解三角形求解;二是利用向量基本定理将向量分解,再用力的平衡求解.解题的关键是将物理问题转化为数学问题,建立数学模型.例4：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为(tan)，滑轮的摩擦不
14、计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。练习：如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60，轻杆BC与竖直墙夹角为30，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法（如例1）。例1、如图6-1所示，A、B两物体的质量分别是m1和m2，其接触面光滑，与水平面的夹角为，若A、B与水平地面的动摩擦系数
15、都是，用水平力F推A，使A、B一起加速运动，求：（1）A、B间的相互作用力（2）为维持A、B不发生相对滑动，力F的取值范围。分析与解：A在F的作用下，有沿A、B间斜面向上运动的趋势，为维持A、B间不发生相对滑动，A处刚脱离水平面，A不受水平面的支持力，此时A与水平面间的摩擦力为零。（1）A受力如图6-2（a），据题意有：N1=0，f1=0则：Ncos=m1g1,F-Nsin=m1a2由1式得：N=m1g/cos（2）对B受力分析如图6-2（b）所示，则：N2=m2g+Ncos 3,f2=N24将1、3代入4式得：f2=(m1+m2)g取A、B组成的系统，有：F-f2=(m1+m2)a5由1、2
16、、5式解得：F=m1g(m1+m2)(tg-)/m2故A、B不发生相对滑动时F的取值范围为：0Fm1g(m1+m2)(tg-)/m2例4一球重G，置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为，挡板与斜面的夹角为，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力N1和挡板对球的作用力N2若不变而可以改变，问为何值时，N2最小？解析如图7，球受三力作用：重力G、弹力N1与N2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得从N2的表达式可知，当=90时，N2取极小值最值问题最值问题是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值问题常用的受力分析方法是整体法和隔离法v类型1已知合力F及一个分力F1的方向且夹角为锐角，求
17、力F2的最小值。做法：从合力F的箭头作分力F1的垂线段，垂线段的长短就代表力F2的大小.例1、如图所示，力F作用于物体的O点，要使物体所受合力的方向沿OO，那么必须同时在加另一个力，这个力的最小值是（B）、cos、sin、tan、cot解析：FOOFOOF2b如图所示,两根相同的橡皮绳OA、OB，开始夹角为0，在O点处打结吊一重G=50N的物体后，结点O刚好位于圆心。（1）若将橡皮绳换成无明显弹性的轻绳，结点仍在圆心O，在结点处仍挂重G=50N的重物，并保持左侧轻绳在OA不动,缓慢将右侧轻绳从OB沿圆周移动,当右侧轻绳移动到什么位置时右侧轻绳中的拉力最小?最小植是多少?注：此类问题虽未直接给出
18、合力F，但已暗含合力与重力等大反向且不变。既可从作用点O画一竖直向上的一条线段代表不变的合力，从合力F的箭头作分力AO的垂线段,此垂线段即代表绳BO的最小拉力.还有倾斜面上用挡板夹住一小球，当挡板从竖直转向水平过程中，分析球对挡板压力的变化。最值问题最值问题是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值问题常见类型：1已知合力F及一个分力F1的方向且夹角为锐角，求力F2的最小值。2已知合力F方向和一个分力F1且夹角为锐角,求力F2的最小值。最值问题最值问题是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值问题常见类型：1已知合力F及一个分力F1的方向且夹角为锐角，求力F2的最小值。2已
19、知合力F方向和一个分力F1且夹角为锐角,求力F2的最小值。做法：从分力F1的箭头作合力F的垂线段，垂线段的长短就代表力F2的大小.3.当两分力间夹角不变且为钝角时，其中一个分力F1不变而另一个分力F2变化时合力F有最小值。从图中可看出F2增加时，合力可增可减可不变且当合力F垂直于F2时合力有最小值.一、隔离法与整体法整体法：以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法。隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象，一部分、一部分地进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法。通常在分析外力对系统的作用时用整体法，在分析系统内各物体或各部分之间的相互作用时用隔离法。有时需要两种方法交叉使用。a如图所示，用轻绳AB和BC悬挂一重物，绳与天花板夹角分别为600和300；（1）若物重100N，求绳AB和BC所受拉力的大小。（2）若AB绳最大能承受15N的拉力，BC绳最大能承受10N的拉力，若保持两绳均不断，则物体最重不能超过多重。作出受力图，将两绳拉力合成与重力等大反向。图中显然看出AB绳拉力最大，当重物增加时AB绳拉力增大的比例最大若两绳承受最大拉力相同，故而先断。若两绳承受最大拉力不同，则需看比例。如本题分力边的比需满足FAB/FBC=1.73,而题中仅为15N/10N=1.5。即1.731.5，按比例AB绳先断，此时所挂物体最重，由图中比例求出即可。