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1、一元线性回归课后习题讲解一元线性回归课后习题讲解-第九组第九组11.1 从某一行业中随机抽取从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下：家企业，所得产量与生产费用的数据如下：企业编号产量（台）生产费用14013024215035015545514056515067815478416581001709116167101251801113017512140185产量和费用存在正的线性相关系数（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。r=0.92022）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。）计算产量与生产费用之
2、间的线性相关系数。1 1、提出假设：、提出假设：H H0 0：；H H1 1：0 02、计算检验的统计量根据显著性水平根据显著性水平 0.050.05，查，查t t分布表得分布表得t t(n n-2)=2.22812)=2.2281由于由于 t t=7.435453=7.435453t t(12-2)=2.2281(12-2)=2.2281，拒绝拒绝H H0 0，产量与生产费用之间存在着显著的正线性，产量与生产费用之间存在着显著的正线性相关关系相关关系（3）对相关系数的显著性进行检验（）对相关系数的显著性进行检验（0.050.05),并说明二者之并说明二者之间的关系强度。间的关系强度。t t(
3、12-2)=2.2281(12-2)=2.228111.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：小时）和考学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：小时）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，一位试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，一位研究者抽取了由研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，取得的数据如名学生构成的一个随机样本，取得的数据如下：下：复习复习时间时间X X20201616343423232727323218182222考试考试分数分数Y Y64646161848470708888929272727777复习时间和考试分数存在正的线性相关关系复习时间
4、和考试分数存在正的线性相关关系复习时间和考试分数存在正的线性相关关系要求：（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。r=0.8621（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。11.3、根据一组数据建立的线性回归方程、根据一组数据建立的线性回归方程 要求：要求：1）解释截距）解释截距 的意义。的意义。1）解释斜率）解释斜率 的意义。的意义。2）当）当=6时的时的E（y）1）表示在没有自变量）表示在没有自变量X的影响时其他各种因素对因变的影响时其他各种因素对因变量量Y的影响为的影响为102）斜率的意义在于：自变量）斜率的意义在于
5、：自变量X变化对变化对Y影响程度。回影响程度。回归方程中，当归方程中，当x增加一个单位时增加一个单位时,y将减少将减少0.5个单位。个单位。3）x=6时，代入方程，则，时，代入方程，则，y=10-0.5 6=711.4 设SSR=36，SSE=4，n=18要求：1）计算判定系数R2并解释其意义回归直线对观测值的拟合程度为回归直线对观测值的拟合程度为0.9，说明变量，说明变量Y的的变异性中有变异性中有90%是由自变量是由自变量x引起的。引起的。2）计算估计标准误差 并解释其意义表示实际值与估计值之间的差异程度是表示实际值与估计值之间的差异程度是0.511.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运输
6、距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车的运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天）的数据如下表：运送距离x825215107055048092013503256701215运送时间y3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。根据图表显示，二者可能存在正线性相关关系(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态绘制运送距离和运送时
7、间的散点图，判断二者之间的关系形态x与y的简单相关系数是0.9489，两变量之间呈现高度正相关关系 运送距离运送距离x x运送时间运送时间y y运送距离运送距离x x1 1运送时间运送时间y y0.948940.948941 1(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度最小二乘估计：y=0+1 x将表中数据代入公式得：=0.118129=0.003585 y=0.118129+0.003585x(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。y关于x的回归方程为y=
8、0.118129+0.003585x表示运输距离每增加1公里，运送时间平均增加 0.003585天。11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据：地区 人均GDP(元)人均消费水平(元)北京 辽宁 上海 江西 河南 贵州 陕西 22 460 11 226 34 547 4 851 5 444 2 662 4 549 7 326 4 490 11 546 2 396 2 208 1 608 2 035要求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。产量和生产费用之间存在着正的线性相关关系(2)计算两个变量之间的
9、线性相关系数，说明两个变量之计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。间的关系强度。说明两个变量之间高度相关说明两个变量之间高度相关(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。y=y=734.6928 734.6928+0.3086830.308683x x回归系数的含义：人均回归系数的含义：人均GDP每增加每增加1元，元，人均消费增加人均消费增加0.309元。元。(4)计算判定系数，并解释其意义。人均人均GDP对人均消费的影响达到对人均消费的影响达到99.6%。(5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。提出假设提出假设H H0 0：1=0 1
10、=0 人均消费水平与人均人均消费水平与人均GDPGDP之间的之间的线性关系不显著线性关系不显著计算检验统计量计算检验统计量F F确定显著性水平确定显著性水平确定显著性水平确定显著性水平 =0.05=0.05，并根据分子自由度，并根据分子自由度，并根据分子自由度，并根据分子自由度1 1和分母自和分母自和分母自和分母自由度由度由度由度7-27-2找出临界值找出临界值找出临界值找出临界值F F =6.61=6.61作出决策：若作出决策：若作出决策：若作出决策：若F F F F ,拒绝拒绝拒绝拒绝H H0 0，线性关系显著，线性关系显著，线性关系显著，线性关系显著 (6)如果某地区的人均GDP为5 0
11、00元，预测其人均消费水平。某地区的人均某地区的人均GDP为为5 000元，预测其人均消费元，预测其人均消费水平为水平为2278.1078元。元。(7)求人均GDP为5 000元时，人均消费水平95的置信区间和预测区间。解解：已知已知n n=7=7，t t(7-2)=2.5706(7-2)=2.5706 置信区间为置信区间为人均GDP为5 000元时，人均消费水平95的置信区间为1990.74915，2565.46399 1990.74915t=2.201，拒绝，拒绝H0，回，回归系数显著归系数显著提出假设提出假设提出假设提出假设 H H0 0：b b1=0 1=0 H H1 1：b b1 1
12、 0 0 计算检验的统计量计算检验的统计量计算检验的统计量计算检验的统计量3）检验回归系数的显著性（）检验回归系数的显著性（a=0.05）=2.201解：解：已知已知n n=10=10，t t(10-2)=2.306(10-2)=2.306 置信区间为置信区间为计算得计算得4）如果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数5）求航班正点率为80%，顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间已知已知n n=10=10，t t(10-2)=2.306(10-2)=2.306 预测区间为预测区间为计算得计算得11.8 下面是20个城市写字楼出租率和每平方米月租金的数据。设月租金为自变量，出租率为因变量，用ex
13、cel进行回归，并对结果进行解释和分析。地区编号地区编号出租率出租率（%）每平方米月租金（元）每平方米月租金（元）170.699269.874373.483467.170570.184668.765763.467873.5105971.4951080.71071171.2861262861378.71061469.5701568.7811669.5751767.7821868.4941972922067.976回归统计Multiple R0.79508R Square0.632151Adjusted R Square0.611715标准误差8.568399观测值20方差析dfSSMSFSign
14、ificance F回归分析12271.0362271.03630.933182.8E-05残差181321.51473.41746 总计193592.55 CoefCoefficificientsents标准标准误差误差t t StatStatP-P-valuvalue eLoweLower r 95%95%UppeUpper r 95%95%下限下限 95.095.0%上限上限 95.095.0%InterceInterceptpt-94.294.249849832.032.079477947-2.932.938018010.000.0087928792-161.161.646646-26
15、.826.8534534-161.161.646646-26.826.8534534X X VariablVariable 1e 12.532.53649264920.450.45605960595.565.56176117612.8E2.8E-05-051.571.57834783473.493.49463746371.571.57834783473.493.494637463711.9 某汽车生产商欲了解广告费用(x)对销售量(y)的影响，收集了过去12年的有关数据。通过计算得到下面的有关结果：方差分析表变差来源dfSSMSFSignificanceF回归2.17E09残差40158.07
16、总计111642866.67参数估计表参数估计表Coefficients 标准误差tStatPvalueIntercept363.689162.455295.8231910.000168XVariable11.4202110.07109119.977492.17E09 (1)完成上面的方差分析表。变差来源dfSSMSFSignificanceF回归11602708.61602708.6399.10000652.17E09残差1040158.074015.807总计111642866.67SSR=SST-SSE=1642866.67-40158.07=1602708.6MSR=SSR/1=160
17、2708.6MSE=SSE/10=4015.807F=MSR/MSE=399.1000065 (2)汽车销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的?汽车销售量的变差中有97.56%是由于广告费用的变动引起的(3)销售量与广告费用之间的相关系数是多少?(4)写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。回归系数的意义：广告费用每增加一个单位，回归系数的意义：广告费用每增加一个单位，汽车销量就增加汽车销量就增加1.42个单位。个单位。(5)检验线性关系的显著性(a0.05)。p=2.17E09，显著。11.10根据下面的数据建立回归方程，计算残差，判定R2，估计标准误差se，并分析回归方程的拟合
18、程度。残差残差估计标准误差估计标准误差se本题判定系数R2=0.937348，可以看出拟合程度好。判定判定R211.11 从20的样本中得到的有关回归结果是：SSR=60，SSE=40。要检验x与y之间的线性关系是否显著，即检验假设：。(1)线性关系检验的统计量F值是多少?解：（1）SSR的自由度为1；SSE的自由度为n-2=18；F=27 (2)给定显著性水平a0.05，Fa是多少?=4.41(3)是拒绝原假设还是不拒绝原假设?拒绝原假设，线性关系显著。(4)假定x与y之间是负相关，计算相关系数r r=0.7746 由于是负相关，因此r=-0.7746(5)检验x与y之间的线性关系是否显著?
19、从F检验看线性关系显著。F=27=4.41 11.12从n=20的样本中得到的有关回归结果是：y=5+3x，=1 =2，要求1）当x=4时，构建y的平均值的95%的置信区间2）当x=4时，构建y的平均值的95%的预测区间 11.13 一家公司拥有多家子公司，公司的管理者一家公司拥有多家子公司，公司的管理者想通过广告支出来估计销售收入，为此抽取了想通过广告支出来估计销售收入，为此抽取了8家家子公司，得到广告支出和销售收入的数据如下子公司，得到广告支出和销售收入的数据如下（单位：万元）（单位：万元）广告支出X12.5 3.721.6 6037.6 6.116.8 41.2销售收入Y14855338
20、99454189126379建立线性回归模型，当建立线性回归模型，当x=40万元时，构建销售收入万元时，构建销售收入95%的置信区间的置信区间。y0=-46.2918+15.23977x当x=40万元时 E（y0）=-46.2918+15.23977*40=563.299t/2=t0.025(6)=2.4469置信区间为置信区间为441.559,685.03911.14从两个回归分析中得到的残差如下：绘制残差图，你会得出什么结论。回归回归1：观察图像可以看出，残差值基本上集中在两条平行线之间，表明对于所有值，方差都相同，所以认定其假定描述变量x和y之间关系的回归模型是合理的。回归回归2：对于不
21、同的x值残差相差也较大，且其残差值基本上集中在两条曲线之间，这就意味着其违背了方差相等的，表明所选择的回归模型不合理，应该考虑曲线回归或多元回归。11.15 随机抽取7家超市，得到其广告费支出和销售额数据如下：11.15 随机抽取7家超市，得到其广告费支出和销售额数据如下：超市 广告费支出(万元)销售额(万元)A B C D E F G l 2 4 6 10 14 20 19 32 44 40 52 53 54解：（1）(1)用广告费支出作自变量x，销售额作因变量y，求出估计的回归方程。CoefCoefficificientsents标准标准误差误差t t StatStatP-P-valuva
22、lue eLoweLower r 95%95%UppeUpper r 95%95%下限下限 95.095.0%上限上限 95.095.0%IntercInterceptept29.329.3991199114.804.80725372536.116.11557355730.000.001695169517.017.04167416741.741.75655565517.017.04167416741.741.756555655X X VariabVariable 1le 11.541.54747874780.460.46349934993.333.33868886880.020.0205820
23、5820.350.35601660162.732.73893989390.350.35601660162.732.7389398939（2）回归直线的F检验：显著。(2)检验广告费支出与销售额之间的线性关系是否显著(a0.05)。方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析1691.7226691.722611.146840.020582残差5310.277462.05549总计61002 Coefficients标准误差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept29.399114.8072536.115573
24、0.00169517.0416741.7565517.0416741.75655X Variable 11.5474780.4634993.3386880.0205820.3560162.7389390.3560162.738939广告费支出与销售额之间的线性关系显著广告费支出与销售额之间的线性关系显著显著。回归系数的t检验：(3)绘绘制关于制关于x的残差的残差图图，你，你觉觉得关于得关于误误差差项项的假定被满足了吗的假定被满足了吗?3).大约有大约有95%的标准化残差在的标准化残差在-22之之间表明表明误差差项假定的条件成立。从假定的条件成立。从图中可以看出不中可以看出不满足足这个条件，所以个条件，所以关于误差项的假定没有关于误差项的假定没有被满足。被满足。(4)你是选用这个模型，还是另寻找一个更好的模型你是选用这个模型，还是另寻找一个更好的模型?4).可考虑选用非线性模型可考虑选用非线性模型