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1、高等教育复变函数第一页，本课件共有30页&3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念&3.2 3.2 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理&3.3.3 基本定理的推广基本定理的推广&3.43.4 原函数与不定积分原函数与不定积分&3.5 3.5 柯西积分公式柯西积分公式&3.6 3.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数&3.7 3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第二页，本课件共有30页&1.有向曲线有向曲线&2.积分的定义积分的定义&3.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法&4.积分性质积分性质3.1 复变
2、函数积分的概念复变函数积分的概念第三页，本课件共有30页1.有向曲线有向曲线第四页，本课件共有30页CA(起点起点)B(终点终点)CC第五页，本课件共有30页 2.积分的定义积分的定义定义定义DBxyo第六页，本课件共有30页A 第七页，本课件共有30页第八页，本课件共有30页3.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法定理定理A 第九页，本课件共有30页证明证明第十页，本课件共有30页A 第十一页，本课件共有30页由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得第十二页，本课件共有30页 4.积分性质积分性质由积分定义得：由积分定义得：第十三页，本课件共有30页例例1解解又解又解Aoxy第十
3、四页，本课件共有30页例例2解解oxyrC第十五页，本课件共有30页 =-=-=-+0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp pA 第十六页，本课件共有30页oxy例例3解解第十七页，本课件共有30页解解:例例4第十八页，本课件共有30页分析分析1的积分例子的积分例子:3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理第十九页，本课件共有30页由此猜想由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨先将
4、条件加强些，作初步的探讨第二十页，本课件共有30页第二十一页，本课件共有30页Cauchy 定理定理第二十二页，本课件共有30页Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：A BC也称也称Cauchy定理定理第二十三页，本课件共有30页(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。BBC推论推论 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0,z1B,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1第二十四页，本课件共
5、有30页复合闭路定理：复合闭路定理：3.3 基本定理推广基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理第二十五页，本课件共有30页证明证明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH第二十六页，本课件共有30页说明说明第二十七页，本课件共有30页A 此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1第二十八页，本课件共有30页例例解解C1C21xyo第二十九页，本课件共有30页练习练习解解C1C21xyo第三十页，本课件共有30页