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1、第五节条件分布与条件期望第一页，本课件共有22页 设设(X X,Y Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其分布律为其分布律为 P PX X=x xi i,Y Y=y yj j=p pijij,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.(X X,Y Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 PX=PX=x xi i=p pii i=1,2,.i=1,2,.PY=PY=y yj j=p pjj j=1,2,.j=1,2,.设设p pii0,0,p pjj00，考虑在事件，考虑在事件Y=Y=y yj j 已发生的条件下事件已发生的条件下事件X=X=x xi i
2、发生的概率发生的概率,即即 X=X=x xi i|Y=|Y=y yj j,i i=1,2,.=1,2,.的概率的概率,由条件概率公式由条件概率公式,一、离散型随机变量的条件分布律第二页，本课件共有22页 显然，上述条件概率具有分布律的特性显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).PX=(1).PX=x xi i|Y=|Y=y yj j00；1 1定义定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于固定对于固定 的的j j，若，若PY=PY=y yj j00，则称，则称 为在为在Y=Y=y yj j条件下条件下随机变量随机变量X X的条件分布律的条件分布律。第三页，本
3、课件共有22页 同理，对于固定的同理，对于固定的i i，若，若PX=PX=x xi i00，则称，则称 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。2.条件分布函数 第四页，本课件共有22页同理：同理：例例 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律如表的分布律如表 X XY YX X1 1=-1 X=-1 X2 2=1 X=1 X3 3=2=2 Y=0 1/12 0 3/12Y=0 1/12 0 3/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=2 3/12 1/12 0 Y=2 3/12 1/12 0求条件分布律求条件分布
4、律PX=PX=x xi i|Y=2.|Y=2.第五页，本课件共有22页解：解：X X与与Y Y的边缘分布如表：的边缘分布如表：XYX1=-1 X2=1 X3=2 p.j Y=0 1/12 0 3/12 4/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 4/12 Y=2 3/12 1/12 0 4/12 pi.6/12 2/12 2/12 4/12 PX=-1|Y=2=pPX=-1|Y=2=p1313/p/p.3.3=3/4=3/4；PX=1|Y=2=pPX=1|Y=2=p2323/p/p.3.3=1/4=1/4；PX=2|Y=2=pPX=2|Y=2=p3333/p/p.3.3=0=0；又如：
5、又如：PX=1|Y=0=pPX=1|Y=0=p2121/p/p.1.1=0=0等；等；第六页，本课件共有22页设设(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,这时由于对任意这时由于对任意x,yx,y有有PX=PX=x x=0,=0,PY=PY=y y=0,=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数数PXPXx x|Y|Yy y.下面我们用极限的方法来处理下面我们用极限的方法来处理.给定给定y y,设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数,P,Py y-YYy y+0 ,+0 ,于于是对于任意是对于任意x有有 上式给出了在任意上式给
6、出了在任意y-YYy+下下X X的条件分布函数的条件分布函数,现在我们引入以下的定义现在我们引入以下的定义.二、连续型随机变量条件分布的定义 第七页，本课件共有22页1.1.条件分布函数的定义：条件分布函数的定义：给定给定y,设对于任意实数设对于任意实数x,若极限若极限 存在存在,则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y Y=y下下X X的条件分布函数的条件分布函数,记为记为PXPXx|Y=|Y=y 或记为或记为F FX|YX|Y(x|y).).2公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为p(x,y).若在点(x,y)处p(x,y)连续,且pY(y)0,则有 第八页，本课件共有22页
7、第九页，本课件共有22页3.3.条件概率密度条件概率密度 定义定义同理，同理，称为称为在在Y=Y=y y条件下条件下X X的条件概率密度的条件概率密度，且满足概率密度的两，且满足概率密度的两个性质。个性质。称为在称为在X=X=x x条件下条件下X X的条件概率密度的条件概率密度，且满足概率密度，且满足概率密度的两个性质。的两个性质。第十页，本课件共有22页例例:设设(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布 N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,),),求在求在X=X=x x的条件下的条件下,Y,Y的条件密度函数的条件密度函数p pY|XY|X(y|x).).解解:(X
8、,Y):(X,Y)的密度函数为的密度函数为由以前的例子知道由以前的例子知道 所以所以X=X=x条件下条件下Y Y的条件概率密度为的条件概率密度为 第十一页，本课件共有22页这正是正态分布 例例:设数设数X X在区间在区间(0,1)(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=X=x(0(0 x1)1)时时,数数Y Y在在区间区间(x,1),1)上随机取值上随机取值.求求Y Y的概率密度的概率密度p pY Y(y).).第十二页，本课件共有22页解解:按题意按题意X X具有概率密度具有概率密度 对于任意的x(0 x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度 于是得关于Y的边缘概率密度为
9、第十三页，本课件共有22页三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式由条件概率密度定义知由条件概率密度定义知,故故全概率公式的密度函数形式代入条件概率密度定义式代入条件概率密度定义式,即得即得贝叶斯公式的密度函数形式第十四页，本课件共有22页例例设设X X在在X=X=x的条件下的条件下求求Y Y的概率密度的概率密度解解根据题意根据题意,有有故故按x 配方积分第十五页，本课件共有22页即即 Y仍服从正态分布仍服从正态分布 .第十六页，本课件共有22页二、条件数学期望1 定义定义:X在在Y=y的条件下的的条件下的条件分布的数学期望条件分布的数学期望(若存在若存在)称为称为X在在Y=y的条件下的条件期望的
10、条件下的条件期望.具体定义式具体定义式:(1)当当(X,Y)为离散随机向量时为离散随机向量时,(2)当当(X,Y)为连续随机向量时为连续随机向量时,同样地可定义同样地可定义Y在在X=x的条件下的条件期望的条件下的条件期望.第十七页，本课件共有22页若记若记可以看出可以看出,X在在Y=y的条件下的条件期望是的条件下的条件期望是y的函数的函数,它是一个它是一个变量变量.这不同于无条件期望这不同于无条件期望E(X).Y取确定值取确定值y的条件下的条件下Y取值随机的条件下取值随机的条件下则则作为随机变量作为随机变量Y的函数的函数,我们可称之为在我们可称之为在给定给定Y的条件下的条件下X的条件期望的条件
11、期望,它是它是随机变量随机变量.第十八页，本课件共有22页2.重期望公式重期望公式定理定理:设设(X,Y)为二维随机向量为二维随机向量,且且E(X)存在存在,则则证明证明:略略.特殊的情形特殊的情形(1)Y离散情形下离散情形下(2)Y连续情形下连续情形下给定Y=y时算X的条件期望,然后按Y=y的可能性大小进行加权平均第十九页，本课件共有22页条件期望的应用条件期望的应用设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能是一个随机变是一个随机变量量,且且 在在10,30上服从均匀分布上服从均匀分布.该公司对于电能的需要量该公司对于电能的需要量也是一个随机变量也是一个
12、随机变量,且且 在在10,20 上服从均匀分布上服从均匀分布.对于所供对于所供给的电能给的电能,公司取得每千瓦公司取得每千瓦0.03元利润元利润,如果需要量超过所能供如果需要量超过所能供给的电能给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充,并取并取得每千瓦得每千瓦0.01元利润元利润,问在所考虑的指定时间内问在所考虑的指定时间内,公司所获得的公司所获得的利润的期望值是多少利润的期望值是多少?例例解解:设设 T 是公司所获得的利润是公司所获得的利润,则则 当当 时时,第二十页，本课件共有22页当当 时时,由全概率公式由全概率公式,得得(随即个随机变量和的数学期望随即个随机变量和的数学期望)例例设设为一列独立同分布的随机变量为一列独立同分布的随机变量,N是只取是只取正整数的随机变量正整数的随机变量,且且N与与Xn,n=1,2,相互独立相互独立.则有则有第二十一页，本课件共有22页证明：证明：=E(N)该结果的应用该结果的应用:见见P197第二十二页，本课件共有22页