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1、第二章拉氏变换第二章拉氏变换第一页，本课件共有28页第一节 Laplace变换的概念l定义 设函数 当 时有定义，且积分在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：第二页，本课件共有28页可记为F(s)=f(t)其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）相应地：f(t)称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记为f(t)=-1F(s)上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式第三页，本课件共有28页拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 若函数f(t)满足条件:1，在t0任一有限区间上分段连续;2，当t+时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即，存在一常数M0
2、及 c 0使：l结论成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表示）在半平面Re(s)c上一定存在，右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛且一致收敛，并且在Re(s)c的半平面内，F(s)为解析函数。第四页，本课件共有28页举例例1：求单位阶跃函数的Laplace变换。例2：求正弦函数的Laplace变换。第五页，本课件共有28页l周期函数的Laplace变换一般地，以T为周期的函数f(t)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则f(t)的 拉氏变换式为：第六页，本课件共有28页tf(t)b4b3b2bb例3：求周期性三角波的Laplace变换。第七页，本课件共有28页l拉氏变换中积分
3、下限的讨论1.满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时，则下式积分与下限是 还是 无关。即：+f(t)=-f(t)其中，+f(t)为：第八页，本课件共有28页2.若函数f(t)在t=0处包含脉冲函数时，则下式积分中必须指明下限是 还是 。即：+f(t)-f(t)其中：+f(t)-f(t)=这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：第九页，本课件共有28页例4 求单位脉冲函数的拉氏变换f(t)t1例5：求函数的Laplace变换。第十页，本课件共有28页第二节 Laplace变换的性质lLaplace变换的性质性质1（线性性质）：设，F1(s)=f1(t)和 F2(s)=f2(t)则，
4、af1(t)+b f2(t)=a F1(s)+b F2(s)其中，a,b为常数注意：Laplace逆变换也有类似的性质第十一页，本课件共有28页性质2（微分性质）：则有，=sF(s)-f(0)若，F(s)=f(t)这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去函数的初值。推论 ：若，F(s)=f(t)，则有，=第十二页，本课件共有28页更为一般地：若，F(s)=f(t)则有，=类似地，可得象函数的微分性质：=-，Re(s)c一般地:若，F(s)=f(t)，则=，Re(s)c第十三页，本课件共有28页性质3（积分性质）：若，F(s)=f(t),则：另外，类似地，可得象
5、函数的积分性质：一般地，第十四页，本课件共有28页性质4（位移性质）：=F(s-a)(Re(s-a)c)性质5（延迟性质）：若，F(s)=f(t),则，若，F(s)=f(t)，又t0时，f(t)=0,则对于任一非负数实数，有：f(t-)=第十五页，本课件共有28页例例1 已知函数 ,求f(t)的拉氏变换，其中m为正整数。举例例例2 求函数 及 的拉氏变换。例例3 求函数 的拉氏变换。第十六页，本课件共有28页性质6（相似性质）：=若，F(s)=f(t),a为正整数，则，例例4，若F(s)=f(t)，求下列函数g(t)的拉氏变换。第十七页，本课件共有28页第三节 Laplace逆变换lLapla
6、ce 逆变换定义前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数，而f(t)称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记作：f(t)=-1F(s)第十八页，本课件共有28页上式（）就是从象函数F(s)求象原函数函数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace反演积分。同时，我们定义f(t)为：注意到，右端积分为一复变函数的积分，计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。第十九页，本课件共有28页l结论定理：定理：若s1,s2,sn是函数F(s)的所有
7、奇点（适当选取使得这些奇点全落在Re(s)内），且当s时，F(s)0,则有：第二十页，本课件共有28页三种方法求逆变换：l求Laplace逆变换的方法一、留数法二、部分分式法 三、直接查表法第二十一页，本课件共有28页一、留数法 若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可约的多项式，B(s)的次数为n,A(s)的次数小于n，则：1、若B(s)有n个单零点s1,s2,sn，有，第二十二页，本课件共有28页2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m都是单零点,sm+1,sn，有，第二十三页，本课件共有28页举例例例1 1 用留数的方法求 的 拉氏逆变换。第二十四页，本课件共有28页二、部分分式法1、且 无重根，则：第二十五页，本课件共有28页2、但有一个k重根此时，但求解取却不能再用此法，否则分母将出现0。第二十六页，本课件共有28页注意：注意：其中其余的 按情况1求解即可得到f(t).第二十七页，本课件共有28页举例例例2 2 用部分分式的方法求 的 拉氏逆变换。三、直接查表法详见附录中的公式第二十八页，本课件共有28页