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1、高一第一学期期末复习题必修2一、选择题1下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）正方形圆锥三棱台正四棱锥ABCD【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.2已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）2020正视图20侧视图101020俯视图【答案】：B【分析】：如图，3已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（） 【答案】：D【分析】：如图， 4一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的
2、底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，于是 5若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） 【解析】逐一判除,易得答案(D).6右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，俯视图正(主)视图侧(左)视图2322可得该几何体的表面积是（ ）ABCD解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积.从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为选D.7若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）ABCD解析：本小题主要考查圆与直线相
3、切问题.设圆心为由已知得选B.8已知圆的方程为设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）ABCD解：化成标准方程 ，过点的最长弦为最短弦为 9点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. 0，5B. 0，10C. 5，10D. 5，15【试题解析】：根据题意可知点在线段上，有线段过原点，故点到原点最短距离为零，最远距离为点到原点距离且距离为，故选；10已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC【标准答案】
4、：【试题解析】：容易判断、三个答案都是正确的，对于，虽然，但不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；11某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）ABCD解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号.12.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为（ ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.二、
5、填空题1与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.2.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： .【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图，由对称性可猜想.事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程.答案.3一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个
6、球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _【标准答案】：【试题解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积4一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为解：令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且5经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为.BCDA三、解答题1如图，在直四棱柱中，已知，（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，
7、并说明理由BCDA（1）证明：在直四棱柱中，连结，四边形是正方形又，平面，平面，平面，且，平面，又平面，BCDAME（2）连结，连结，设，连结，平面平面，要使平面，须使，又是的中点是的中点又易知，即是的中点综上所述，当是的中点时，可使平面2如图,在直四棱柱中,已知,.(I)设是的中点,求证: ;(II)求二面角的余弦值. 解：:(I)连结，则四边形为正方形，且，为平行四边形，.(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，由得，取，则.设为平面的一个法向量，由得，取,则.由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为3如图，为空间四点在中，
8、等边三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；（）当转动时，是否总有？证明你的结论解：（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）当以为轴转动时，总有证明：（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有4在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点求的取值范围解： 圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为代入圆方程得，整理得直线与圆交于两个不同的点等价于，解得，即的取值范围为5如图，在三棱锥中，侧面与侧面
9、均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为6已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该儿何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S
10、【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. (1) (2)7在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为 依题意, 解得,故所求圆的方程为 8ABCMPD如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，ABCMPDO又平面，故平面平面（）解：过作交于，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积
11、为故PBECDFA9如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值解：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（）解：设，为上任意一点，连接PBECDFAHOS由（）知平面，则为与平面所成的角在中，所以当最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为PBECDFAyzx解法二：由（）知两两垂直，
12、以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为10在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线； （II）.证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点.（II）又，所以11.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.（1） 求实数的取值范围；（2） 求圆的方程；（3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.（1）（1
13、） 设所求圆的方程为.令得又时，从而.所以圆的方程为.（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与.12如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG.【试题解析】(1)如图（）所求多面体的体积（）证明：如图，在长方体中，连接，则因为，分别为中点，所以，从而，又, 所以平面13已知mR，直线l：和圆C：.（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？【试题
14、解析】（）直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；（）不能.由（知的方程为，其中；圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离，由，得，即，从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆分割成弧长的比值为的两端弧；14如图，已知点P在正方体的对角线上，ABCDP（）求DP与所成角的大小；（）求DP与平面所成角的大小解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系ABCDPxyzH则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得与平面所成的角为15.如图5所示，四棱锥P-A
15、BCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，.（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积.【解析】（1） BD是圆的直径 又 , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱锥的体积为 .16FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形.设点到面的距离为,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积