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1、不同型余项泰勒公式的证明与应用 The proofs and applicationsof Taylor formulawith differenttypes ofremainders专 业: 作 者:指导老师: 湖南理工学院数学学院二一四年五月 岳阳摘 要 本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词： 余项；泰勒公式；证明；应用AbstractIn this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof of various T
2、aylor remainder formula, focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula . Keywords: Remainder term；Taylor formula；Proof；Application目 录摘要I关键词ABSTRACII0 引言11泰勒公式简介12 带四种余项泰勒公式的证明22.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明.22.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明.32.3带积分型余项泰勒公式的证明.42.4带柯西型余项泰勒公式的证明.53 泰勒公式的应用53.1带佩亚诺型
3、余项泰勒公式的应用.53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用. . 93.3带积分型余项泰勒公式的应用123.4带柯西型余项泰勒公式的应用.13参考文献150 引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得但对于正整
4、数，如果函数在闭区间上有连续阶可导，还满足阶可导则可任取是一定点，则对任意下式成立.表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.2 带四种余项泰勒公式的证明下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.2.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1 若函数在点存在直至阶导数，则有，即. (1)证明 设现在只需证.由关系式,可知.并容易知.因为存在，所以在点的某领域内存在n-1阶导函数于是，当且，允许连续使用洛必达法则次，得到定理所证的（1）式称为函数在点处的泰勒公式，则称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项即（1）又称带有佩亚诺型余项的泰
5、勒公式2.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的证明定理2 如果一个函数在上有直至阶的连续导数，在之间有阶的导数，则任意给出的，至少有一点，使得： 证明 设辅助函数.即证明的（2）式为或者.设，则在，在内可导,.因为，所以由柯西中值定理证明得.，（2）式则称为泰勒公式，该泰勒公式的余项为,.则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式2.3 带积分型余项泰勒公式的证明定理3 若函数在点的领域内有连续的阶导数，则，有.其中为积分型余项，且 （3）证明 使用Newton - Leibniz公式和使用分部积分法，得然后做变量代换则得到 式（3） 2.4 带柯西型余项泰勒公式的证明定理4 若函数
6、在点的领域内有连续阶导数，则，有.其中，特别当，则又有简单形式 . （4）此处统称为柯西余项证明 取定，不防设，设辅助函数,此时令 ,对与应用柯西中值公式，知存在使得 ,此时，令 .即得到式（4）.3 泰勒公式的应用3.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的应用3.1.1 利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法 若在点及邻域内具有阶连续导数，且，（1） 若为奇数，则不是极值点;（2） 若为偶数，则当，为极大值；当，为极小值证明 由已知条件及泰勒公式有则 . 由于,则存在点的某一邻域，使得时式（1）等号
7、右端由第一项符号决定(1)若为奇数，在点的某一邻域内，当时，；(2)若为偶数且时，有即对一切故为极大值，同理可证当，为极小值(3)当，即的左右侧，式（1）的右端异号，所以是非极值点例1 求函数的极值解 由于，所以是函数的驻点，求的二阶导数得，所以在时取得极大值3.1.2未定极限与无穷小的应用在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开例2求极限解 极限中分母的次数是4，现在把，展开到的4次幂，,故 .例3 求极限分析 因为分子中有根号项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐，只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.解 将和在处点的麦克劳林公式展
8、开项得和.则 .例4 确定的值，使得函数与为同阶无穷小解 因为例5 已知极限，其中，为常数，且，求，.解 因为c为常数，所以，即，因此.3.1.3求行列式的值要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.例 66 求阶行列式D= （5）解 记，按泰勒公式在处展开： . （6）易知 , （7）由（7）得，.根据行列式求导的规则,有于是处的各阶导数为把以上各导数代入（6）式中,有 3.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的应用3.2.1 证明中值公式 例7 设在区间上
9、三阶可导，试证使得 （8）证明 设下式成立的实数， （9）现在就要证明，使得（10），令， （11）则由罗尔定理，使得由（11）式得， （12）上式是关于的方程，则在点处的泰勒公式. （13），比较（12）（13）式有，则，从而得到（8）.322证明不等式和等式在证明不等式的问题中，我们经常遇到题中的有高阶导数，我们就可以选择合适的泰勒展开点，而且展开的最高阶导数不得超过题中给出的最高阶导数，最后用高阶导数的放大有界性进行放缩，得到要证明的不等式. 对泰勒公式的展开点和被展开点的的选择是有讲究的，因为展开的阶数和项数都可能根据需要而改变.例 8 设函数在闭区间上二阶可导，在开区间内取到最大值，
10、且二阶导数满足，证明证明 设为函数最大值点，则且把函数处的值用处的带拉格朗日余项的泰勒公式表示，且最高导数为2 ，则,.于是不等式得证例 9 证明.证明 由泰勒公式，可知将上述两式两边相减，得,或.由 ,故 ， ,则.于是 3.2.3 计算近似值的应用一些数值的近似计算和函数的近似计算式可以利用泰勒公式得到, 函数的近似计算式利用麦克劳林展开得到，误差是余项例10 计算的值,准确到.解 ,因为 ，要使,取,故 .3.3 带积分型余项泰勒公式的应用3.3.1定积分计算当题目或者问题条件出现具有二阶导二阶以上的连续导，可以考虑泰勒公式.例 11 计算 .解 设 则 由公式有 .例 12 计算.解
11、.3.4 带柯西型余项型泰勒公式的应用3.4.1初等函数的幂级数的展开式中的应用例 13 证明若函数在区间内可导，且 ，则证明 令 ，显然，.已知 ，即，,有，根据柯西中值定理，有，.或 ,或 . 已知，即，有与,于是，有,即 .例 14 设函数在上可微，且与同号，证明：，使得（1）.（2）.证明 （1）将原不等式变形为知，只要引入辅助函数由于，在上满足柯西中值定理条件，所以.即 .（2）将原不等式变形为知，只要引入辅助函数=，由于，在上满足柯西中值定理条件，所以，使，即 =总结 从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰
12、勒公式之间是可以转换的，但是，不同的余项型在解决不同的类型的问题时有各自的优点.我们知道泰勒公式经常用到的是在计算求极值、无穷小问题、近似值、行列式、定积分等一类问题中.比如例4，例5中就很好地运用了泰勒展开公式求无穷小的问题中，其中例5是2013年考研数学（一）中的一道题，行列式的运算例6.因此熟练地掌握一些常用泰勒公式展开点就显得非常重要，运用时才能举一反三，灵活应用.致谢 本文是在方春华老师的指导和帮助下完成的, 在此对方老师表示衷心的感谢！参考文献1 华东师范大学数学系数学分析（上册、第三版）北，高等教育出版社2001（2008重印）：134-1392 曹爱民高等数学中秋极限的几种常用
13、方法J.济南教育学院报，2001，（6）：57-593 陈丽，王海霞泰勒公式的应用廊坊师范学院（自然科学版）J20094第九卷第2期：224 谭荣，泰勒公式的应用和田师范专科学校学报（汉文综合版）J20087第28卷第一期 总第51期：1915 齐成辉泰勒公式的应用J陕西师范大学学报：自然科学版，2003S1，23256 欧伯群.泰勒公式巧解行列式，广西梧州师范高等专科学校学报 J钦州师专数学系，2000,16（2）：67-687 王书华浅谈泰勒公式的应用J.科技风，201005期，10-118 裴礼文数学分析中的典型问题与方法M .北京：高等教育出版社，2005:1731799 刘玉莲，杨奎
14、元，刘伟，吕凤数学分析讲义学习辅导书（第二版）M.北京：高等教育出版社，200312（2005重印）199202,22823110 黄军华带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用J.玉林师范学院报（自然科学，2006,第27卷第3期.11 DaleVarberg,EdwinJ.PurcellStevenE.Rigdon,CalculusM.Beijing:ChinaMachinePress,2004:46747612 E.B.Saff,A.D.Snider,FundamentalsofComplexAnalysiswithApplicationstoEngineeringand ScienceM.Beijing:ChinaMachinePress,2004:242249