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1、功和能习题解答第四章功和能一选择题1.下列叙述中正确的是：()A.物体的动量不变，动能也不变B.物体的动能不变，动量也不变C.物体的动量变化，动能也一定变化D.物体的动能变化，动量却不一定变化解：答案是A。2.对功的概念有下面几种讲法：(1)保守力作正功时，系统内相应的势能增加(2)质点运动经一闭合途径，保守力对质点作的功为零(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零在上述讲法中：()A.(1)、(2)是正确的；B.(2)、(3)是正确的；C.只要(2)是正确的；D.只要(3)是正确的解：答案是C。3.如下图，足够长的木条A置于光滑水平面上，另一木块B在A的粗糙平面
2、上滑动，则A、B组成的系统的总动能：A.不变B.增加到一定值C.减少到零D.减小到一定值后不变解：答案是D。扼要提示：B在A的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使B相对于A静止下来，摩擦力是非保守内力，根据功能原理，它做的功使系统的总动能减少。当B相对于A不动时，摩擦力就不再做功。4.一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：A.加速度不变B.加速度随时间减小C.加速度与速度成正比D.速度与途径成正比解：答案是B。扼要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为f。发动机功率恒定，则P=Fv，其中F为牵引力。由牛顿运动定律得amfF=-，即：fP/m-va=。所以，汽
3、车从静止开场加速，速度增加，加速度减小。AB选择题35.一条长为L米的均质细链条，如下图，一半平直放在光滑的桌面上，另一半沿桌边自由下垂，开场时是静止的，当此链条末端滑到桌边时桌高大于链条的长度，其速率应为：AgLBgL2CgL3DgL321解：答案是D。扼要提示：运动经过中机械能守恒，则以桌面为零势能点，初始机会械能为MgL81-，其中M为链条的质量；链条末端滑到桌边机会械能为MgLM21212-v。两者相等，得：gL321=v6一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d现用手将小球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，则弹簧的最大伸长量：AdB.d/2；C.2d；D.条件
4、缺乏无法断定解：答案是C。扼要提示：设弹簧的最大伸长量为x，由机械能守恒，有221kxmgx=选择题5图由：kdmg=所以有：dx2=7.人造卫星绕地球作圆周运动，由于遭到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为：A.速度减小，半径增大B.速度减小，半径减小C.速度增大，半径增大D.速度增大，半径减小解：答案是D。扼要提示：系统机械能rGMmE2-=，由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。因而r将减小。再根据圆周运动方程为22rGMmrm=v，rGM=2v，因而速度将增大。可以以这样分析：由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。功能原理可写成rrGM
5、mmrGMmmEEEdd)21(d)(ddd22pk+=-=+=?vvvrf圆周运动方程为22rGMmrm=v，即rGMmm=2v。对此式两边求微分得到rrGMmmdd22-=vv利用上式，可将功能原理表示成rrGMmrrGMmrrGMmd2dd2d222=+-=?rf还可将功能原理表示成vvvvvvdd2ddmmm-=-=?rf由于0d0。即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。8.一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点A和近地点B的角动量与动能分别为LA、EkA和LB、EkB，则有：A.LBLA，EkBEkAB.LBLA，EkB=EkAC.LB=LA，EkBEkA
6、D.LB=LA，EkB=EkA解：答案是C。地BA选择题8扼要提示：由角动量守恒，得vBvA二填空题1.质量m1kg的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x轴运动，其所受合力方向与运动方向一样，合力大小为F32x(SI)，那么，物体在开场运动的3m内，合力所作的功W_；且x3m时，其速率v_解：答案是18J；6m?s1扼要提示：合力所作的功为：J18d)23(d33=+=?xxxFW由动能定理：221vmW=1sm6-?=v2.一颗速率为700m?s1的子弹，打穿一块木板后，速率降到500m?s1。假如让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全一样的第二块木板，则子弹的速率将降到_空气阻力忽略不
7、计答案是100m?s1扼要提示：由动能定理，木板对子弹所作的功为：21222121vvmmW-=设子弹穿透第二块木板的速率为v，有：2222121vvmmW-=所以12122sm1002-?=-=vvv3.质量分别为m和m的两个粒子开场处于静止状态，且相互相距无限远，在以后任一时刻，当它们相距为d时，则该时刻相互接近的相对速率为。解：答案是dmmG)(2+扼要提示：设质量为m和m的两个粒子当它们相距为d时的速率分别为v1和v2，显然速度的方向相反。在它们运动经过中只遭到互相间的万有引力作用，因而系统的机械能和动量均守恒。根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。因而有021212221=-+dm
8、Gmmmvv21vvmm=从以上两式解出)(221mmdmG+=v因而两个粒子相互接近的相对速率为dmmGmmdmGmmmmmmmm)(2)(2211121+=+=+=+=+vvvvv4.如下图，一质量为m1的托盘挂在一劲度系数为k的轻弹簧下端，一质量为m2的粘土块从离盘底高h处自由落下，假定落在盘底不回跳，则托盘离开其原先平衡位置的最大距离为。解：答案是)(211212gmmkhkgm+扼要提示：托盘在平衡位置时轻弹簧伸长：kgmx11=粘土块落到盘底时的速率为：gh20=v设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v，vv)(2102mmm+=设托盘离开平衡位置的最大距离为x2，则由机械能守恒定律2
9、2121221221)(2121)()(21xxkkxgxmmmm+=+v填空题4由以上各式联立求解，得到最大距离)(2112122gmmkhkgmx+=5.如下图，一质量为m的物体位于质量能够忽略的直立弹簧上方高度为h处，该物体从静止开场落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，若不考虑空气阻力，则物体可能获得的最大动能为。解：答案是kgmmghE222kmax+=扼要提示：以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能零点，则物体初始的机械能为mgh。物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：mghEkymgy=+-k221由0ddk=yE，得：kmgy=；kgmmghE222kmax+=6.一质量
10、为2kg的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为。解：答案是1.2kg填空题oy扼要提示：由弹性碰撞的速度公式：21202102112)(mmmmm+-=vvv得：kg2.15312=mm7.逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质量，为1030kg，引力常数为G=1011N?m2?kg1，真空光速c=108m?s1，则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。解：答案是103m扼要提示：由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为：RGM22=v，其中M为太阳的质量。令v2等于光速c，得到：m1096.2
11、/232?=cGMR三计算题1.质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力F随时间t变化的规律是F=4tN，方向始终不变。试求在最初2s内，力F所作的功。解：【方法一】利用牛顿第二定律F=ma，积分1200000sm4d240dd-?=+=+=+=?tttmFtattvvvt根据动能定理，力F所作的功(J)16422121212122202=?=-=ttmmmWvvv【方法二】先利用动量定理8td4d02121=-=?ttFppkgm/s根据动能定理，力F所作的功(J)162282212121222202=?=-=mpmmmWttvvv2.用铁锤把钉子水平敲入木板，设钉子遭到的阻
12、力与钉子打入的深度成正比。第一次打击，能把钉子打入木板1cm，如第二次打击时，保持第一次打击钉子时的速度，求第二次钉子打入的深度。解：阻力与深度成正比，有F=kx，两次敲击钉子的条件一样，钉子获得的动能也一样，所以阻力对钉子作的功一样：?+=xxkxxkx01.001.001.00dd得：0.41cmm0041.0=?x3.质量为210?3kg的子弹以500m?s1的速率水平飞出，射入质量为1kg的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100m?s1，而木块向前滑行了0.2m。求：1木块与平面间的滑动摩擦因数；2子弹动能和动量的减少量；3子弹穿出霎时木块的动能。解：1设子弹和木块的质量
13、分别为m和M，根据系统动量守恒mv0=MV+mv，得木块在子弹穿出后的速率为)s(m8.01)100500(102)(130-?=-?=-=MmVvv由功能原理2k210MVEMgxfxM-=?=-=-得163.02.08.9264.022=?=gxV2子弹动能减少(J)240)100500(10221)(21223220k=-?=-=?-vvmEm子弹动量减少：)sm(kg8.0)100500(102)(130-?=-?=-=?vvmp3子弹穿出霎时木块的动能(J)32.08.01212122k=?=MVE4.弹簧原长等于光滑圆环半径R当弹簧下端悬挂质量为m的小环状重物时，弹簧的伸长也为R现
14、将弹簧一端系于竖直放置的圆环上顶点计算题4A，将重物套在圆环的B点，AB长为，如下图放手后重物由静止沿圆环滑动求当重物滑到最低点C时，重物的加速度和对圆环压力的大小解：重物沿圆环滑动经过中，只要重力和弹力做功，所以机械能守恒，如下图，有：2222121)cos6.12(21CCBmlkRRmglkv+?=-+?其中RlB6.0=?，RlC=?，8.02/6.1cos=RR。由题意可知：kRmg=，即Rmgk/=所以有：gRC8.02=v重物在圆环C处所受的力为重力、弹力F和环的支持力N，都沿着竖直方向，所以重物在C点的加速度为：RaCC2v=由牛顿第二定律有：RmmamgFNCC2v=-+其中
15、mgkRF=，因而RmNC2v=。代入vC，可得gaC8.0=mgN8.0=5.如下图，一质量为m的钢球，系在一长为R的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为m0，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和m0的速率。解：球下摆经过中机械能守恒mgR=mv2/2球速率gR2=v碰撞前后动量守恒，设碰撞后m和m0的速率分别为v1和v2，所以mv=mv1+m0v2由于发生弹性碰撞，所以碰撞中动能是守恒的220212212121vvvmmm+=联之解得gRmmmmmmmm201+-=+-=vvgRmmmmmm222002+=+=vv6.劲度系数为360N?m1的
16、弹簧，右端系一质量为0.25kg的物体A，左端固定于墙上，置于光滑水平台面上，物体A右方放一质量为0.15kg的物体B，将A、B和弹簧一同压缩0.2m，然后除去外力，求：(1)A、B刚脱离时B的速度；(2)A、B脱离后，A继续向右运动的最大距离。解：(1)物体AB一起运动，机械能守恒，当两物体运动到计算题5mAB计算题6弹簧原长位置时，两物体将要分离，此时两物体的速度v知足2BA21)(2121vmmkx+=1BA1sm0.6)(-?=+=mmkxv(2)物体A向右运动的最大距离x2知足2A222121vmkx=m158.0A2=kmxv7.一质量为m的运动粒子与一质量为km的静止靶粒子作弹性
17、对心碰撞，求靶粒子获得最大动能时的k值。解：根据动量守恒210vvvkmmm+=1根据动能守恒222120212121vvvkmmm+=2由1式得到v1=v0?kv2，代入2式2222020)(vvvvkk+-=1202+=kvv靶粒动能20k)12(21+=kkmEv要使Ek最大，则0ddk=kE则有当k=1时，Ek最大。8.如下图，两根绳上分别挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=。球A由如下图的静止状态释放，撞Bql2lA证实题8击球B，恰好使球B到达绳成水平的位置，试证实球A释放前的张角?应知足cos?=1/9。证：设球到达最低点速率为v，则有)cos1(2212-=lmgm
18、v得到)cos1(4-=glv设碰撞后两球速率为vA、vB，则有5.0=-=vvvABe2vvv=-AB由动量守恒mvB+mvA=mv由以上两式联立解得vv43=BB在碰撞后的运动中机械能守恒mglmB=221v即mglglm=-?)cos1(416921解得91cos=9.质量为m的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。开场时，小球以角速度?1作半径为R1的圆周运动，然后以固定速度v缓慢向下拉绳子，使小球运动半径不断变小。求小球运动经过中的角速度、绳子的张力以及拉力所做的功。解：小球只遭到过圆心的拉力作用，所以其角动量守恒。初始时，其角动量为：211RmL=，在时间t，圆周运动的半径为R1vt，所以角速度?为：21211)(tRRv-=21211)(tRRv-=此时绳子的张力T为：31412112)()(tRRmtRmTvv-=-=此经过中拉力所作的功等于小球动能的增量：221121212121221221)(2)2(21)(21vvvvvvmtRtRRtmRmtRmW+-=-+-=