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1、图形的折叠问题图形的折叠问题（复习课）（复习课）几何研究的对象是：几何研究的对象是：图形的形状、大小、图形的形状、大小、位置关系；位置关系；主要培养三方面的能力：主要培养三方面的能力：思维分析能力、思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；空间想象能力和逻辑推理能力；折叠型问题的特点是：折叠型问题的特点是：折叠后的图形具折叠后的图形具有轴对称图形的性质；有轴对称图形的性质；两方面的应用：两方面的应用：一、在一、在“大小大小”方面的方面的应用；二、在应用；二、在“位置位置”方面的应用。方面的应用。折叠型问题在折叠型问题在“大小大小”方面的应用，通常有求方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形
2、的周长与面积的变化关线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。系等问题。一、在一、在“大小大小”方面的应用方面的应用1、求线段与线段的大小关系、求线段与线段的大小关系例例1 如图，如图，AD是是ABC的中线，的中线，ADC=45，把把ADC沿沿AD对对折，点折，点C落在点落在点C的位置，求的位置，求BC与与BC之间的数量关系。之间的数量关系。解解 由轴对称可知由轴对称可知 ADC ADC ,ADC=ADC=45,CD=CD=BDBCD为为Rt BC=2 BD=BC 22练习练习1 如图，有一块直角三角形如图，有一块直角三角形纸片，两直角边纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边
3、现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，折叠，使它落在斜边使它落在斜边AB上，且与上，且与AE重重合，则合，则CD等于（等于（）(A)2 (B)3 (C)4 (D)5例例2 如图，折叠矩形的一边如图，折叠矩形的一边AD，点，点D落在落在BC边上点边上点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，则，则EC的长是的长是 。解解 设设EC=x，则，则DE=8-x，由轴对称可，由轴对称可知：知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因，又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解之得，解之得x=3B练习练习2 如图，在梯形如图，在梯形ABC
4、D中，中，DC AB，将梯形对折，使，将梯形对折，使点点D、C分别落在分别落在AB上的上的D、C处，折痕为处，折痕为EF。若。若CD=3，EF=4，则，则AD+BC=。2练习练习3 如图，将矩形如图，将矩形ABCD纸片纸片对折，设折痕为对折，设折痕为MN，再把，再把B点叠点叠在折痕线在折痕线MN上，若上，若AB=3，则，则折痕折痕AE的长为（的长为（）。）。(A)3 3/2 (B)3 3/4 (C)2 (D)2 3EC2、求角的度数、求角的度数例例3 将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示；已知折成如图所示；已知 EFG=55，则则 FGE=。70练习练习4 如图，矩形如
5、图，矩形ABCD沿沿BE折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上边上的的F点处，如果点处，如果 ABF=60，则则 CBE等于（等于（）。）。(A)15 (B)30 (C)45 (D)60A3、求图形的全等、相似和图形的周长、求图形的全等、相似和图形的周长例例4 如图，折叠矩形如图，折叠矩形ABCD一边一边AD，使点，使点D落在落在BC边的一点边的一点F处，已知处，已知折痕折痕AE=5 5 cm，且，且tan EFC=3/4.(1)求证：求证：AFBFEC；(2)求矩形求矩形ABCD的周长。的周长。证明：证明：（1）B=C=D=90，又根据题意又根据题意RtADE RtAFE,AFE=90,AF
6、B=FEC ,AFBFEC.解解（2）由）由tan EFC=3/4，设，设EC=3k，则，则FC=4k，在，在RtEFC中，得中，得EF=DE=5k。DC=AB=8k,又又ABFFCE,=即即 =ABBF8kBFFCCE4k3k BF=6k,AF=10k在在RtAEF中中,AF2+EF2=AE2(10k)2+(5k)2=(5 5)2,k2=1,k=1,k=1(取正值取正值),矩形的周长为矩形的周长为36k，即，即36cm。练习练习5 如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线沿一对角线BD折叠一次（折痕折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示）与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的
7、所有的全等三角形，将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号（包括实线、虚线在内）用符号写出来。写出来。练习练习6 如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCD，若把若把ABE沿折痕沿折痕BE上翻，使上翻，使A点恰好落在点恰好落在CD上，此时，上，此时，AE:ED=5:3，BE=5 5，求矩求矩形的长和宽。形的长和宽。答案：答案：ABDCDB,CDBEDB,EDBABD,ABFEDF.答案：矩形的长为答案：矩形的长为10，宽为，宽为8。4、求线段与面积间的变化关系、求线段与面积间的变化关系例例5 5 已知一三角形纸片已知一三角形纸片ABCABC，面积为，面积为2525，BCBC的长为的长为1
8、010，B B和和 C C都为锐角，都为锐角，M M为为ABAB上的一动点上的一动点(M(M与与A A、B B不重合不重合)，过点，过点M M作作MNBCMNBC，交，交ACAC于点于点N N，设，设MN=x.MN=x.(1)(1)用用x x表示表示AMNAMN的面积的面积S SAAMN。(2)AMN(2)AMN沿沿MNMN折叠，设点折叠，设点A A关于关于AMNAMN对称的点为对称的点为AA，AMNAMN与四边形与四边形BCMNBCMN重叠部分的面积为重叠部分的面积为y.y.试求试求出出y y与与x x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量X X的取值范围；的取值范围；当当x
9、x为何值时，重叠部分的面积为何值时，重叠部分的面积y y最大，最大为多最大，最大为多少？少？解（解（2）AMN AMN，设设AMN中中MN边上的高为边上的高为h1，AEF中中EF边边上的高为上的高为h2.EFMN,AEFAMN.AMNABC,AEFABCABC中中BC边上的高边上的高h=5,h1:x=5:10,h1=x.又又h2=2h1-5=x-5,=()2,SAEF=()225=(x-5)2SAEFSABCh25X-55y=SAMN-SAEF=x2-(x-5)2=-x2+10 x 25.当点当点AA在四边形在四边形BCNMBCNM内或在内或在BCBC边边上（如图上（如图1 1），即），即0
10、x50 x5时，时，y=xy=x2 2。图图1当点当点A在四边形在四边形BCNM外，即外，即5x10时，时，y=SAMN-SAEF（如图（如图2）图图2综上所述综上所述，当，当 0 x5 时，时，y=x2；当当5 x 10 时，时，y=-x2+10 x-25。当当0 x5 时时,取取x=5，y最大最大=52=254；当当 5 x 254,x=203 时时,y最大最大=253.练习练习7 如图，把一张边长为如图，把一张边长为a的正的正方形的纸进行折叠，使方形的纸进行折叠，使B点落在点落在AD上，上，问问B点落在点落在AD的什么位置时，折起的的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。面积最小，
11、并求出这最小值。O解：解：如图，设如图，设MN为折痕，折起部为折痕，折起部分为梯形分为梯形EGNM，B、E关于关于MN对对称，所以称，所以BEMN，且，且BO=EO，设，设AE=x，则，则BE=。由由RtMOB ，得：，得：，BM=.作作NFAB于于F，则有，则有RtMNF ,FM=AE=x,从而从而CN=BM-FM=。S梯形梯形BCNM=。=(x-a/2)2+3/8 a2 .当当x=a2 时，时，Smin=(38)a2.例例6 将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示，延长折成如图所示，延长CE交交AD于于H，连结，连结GH。求证：。求证：EF与与GH互相垂直平分。互相垂
12、直平分。二、在二、在“位置位置”方面的应用方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。1、线段与线段的位置关系、线段与线段的位置关系证明：证明：由题意知由题意知FHGE，FGHE，。又又 ，四边形四边形 是是 ，FE与与GH互相垂直平分。互相垂直平分。2、点的位置的确定、点的位置的确定例例7 已知：如图，矩形已知：如图，矩形AOBC，以以O为坐标原点，为坐标原点，OB、OA分别分别在在x轴，轴，y轴上，点轴上，点A坐标为坐标为(0,3)，OAB=60，以，以AB为轴对折为
13、轴对折后，使后，使C点落在点落在D点处，求点处，求D点坐点坐标。标。x y 解由题意知，解由题意知，OA=3，OAB=60，OB=3tan60=33.RtACB RtADB,AD=AC=OB=33 .xy过点过点D作作Y轴垂线，垂足为轴垂线，垂足为E，在直角三角形在直角三角形AED中，中，ED=，AE=，故，故OE=。故点故点D的坐标为（的坐标为（3/23，-3/2）。）。练习练习8 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90，沿着沿着B点的一条直线点的一条直线BE折折叠这个三角形，使叠这个三角形，使C点与点与AB边上的边上的一点一点D重合。当重合。当A满足什么条件时，满足什么条件时，点点D恰好是恰好是AB的中点？写出一个你的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证认为适当的条件，并利用此条件证明明D为为AB中点。中点。条件：条件：A=30证明：证明：由轴对称可得，由轴对称可得，BCEBDE，BC=BD，在在ABC中，中，C=90，A=30，BC=AB，BD=AB，即点即点D为为AB的中点。的中点。2017年中考取得成功