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1、自动控制原理自动控制原理4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构根根 轨轨 迹迹 法法 根轨迹法根轨迹法:三大分析校正方法之一三大分析校正方法之一 特点特点：（1 1）图解方法）图解方法，直观直观、形象。、形象。（2 2）适用于研究当系统）适用于研究当系统中中某一参数某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。变化时，系统性能的变化趋势。（3 3）
2、近似方法，不）近似方法，不十分十分精确精确。根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 系统某一参数由系统某一参数由0 变化时，变化时，l l在在s平面相平面相应变化所描绘出来的轨迹。应变化所描绘出来的轨迹。根轨迹概念根轨迹概念例例1 1 系统结构图如图所示，分析系统结构图如图所示，分析 l l 随随开环增益开环增益K 变化的趋势。变化的趋势。解解.K:K:开环增益开环增益K K*:根轨迹增益根轨迹增益-根轨迹概念根轨迹概念-闭环特征方程闭环特征方程-反馈通路增益反馈通路增益前向通路增益前向通路增益闭环传递函数闭环传递函数闭环特征方程与开环零极点的关系闭环特征方程与开环零极点的关系闭环零点闭环零点=
3、前向通道零点前向通道零点+反馈通道极点反馈通道极点闭环极点闭环极点与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K*K*均有关均有关-开环极点开环极点开环零点开环零点根根轨迹方程及其含迹方程及其含义模值条件模值条件相角条件相角条件根轨迹方程（根轨迹方程（4）例例2 2 判定判定s si i是否为根轨迹上的点。是否为根轨迹上的点。解解.模值条件模值条件相角条件相角条件根轨迹方程（根轨迹方程（4 4）对对s s平面上任意的点，总存在一个平面上任意的点，总存在一个 K K*，使其满足模值使其满足模值 条件，但该点不一定是根轨迹上的点。条件，但该点不一定是根轨迹上的点。s s平面上满足相角条件的点（必
4、定满足幅值条件）平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条件）一定在根轨迹上。一定在根轨迹上。满足满足相角条件相角条件是是s s点位于根轨迹上的点位于根轨迹上的充分必要条件充分必要条件。根轨迹上某点对应的根轨迹上某点对应的 K K*值，应由模值条件来确定。值，应由模值条件来确定。绘制根轨迹的基本法则（绘制根轨迹的基本法则（1 1）法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数个数 少于开环极点个数，则有少于开环极点个数，则有 n-m n-m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远
5、处。绘制根轨迹的基本法则（绘制根轨迹的基本法则（2）法则法则3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数根轨迹的分支数=；根轨迹连续且对称于实轴。；根轨迹连续且对称于实轴。因为因为K1K1连续变化；系数为实数，有复根必共轭连续变化；系数为实数，有复根必共轭例例:某系统开环零极点分布如图。现在要某系统开环零极点分布如图。现在要判断实
6、轴上的某点判断实轴上的某点SaSa是不是根轨迹上的点是不是根轨迹上的点由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：各开环零、极点的幅角：各开环零、极点的幅角：幅角为零的零、极点在幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边实轴上试验点左边共轭零、极点的幅共轭零、极点的幅角其和为零角其和为零试验点左边试验点左边试验点左边试验点左边及共轭的零、及共轭的零、及共轭的零、及共轭的零、极点都可以极点都可以极点都可以极点都可以不必考虑不必考虑不必考虑不必考虑试验点右边试验点右边试验点右边试验点右边的零极点幅的零极点幅的零极点幅的零极点幅角都是角都是角都是角都是180180180180度
7、度度度实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹证：设实轴上试验点右边有证：设实轴上试验点右边有 M M个零、个零、N N个极点，根据幅角条件则有：个极点，根据幅角条件则有：M*180M*180O O -N*180-N*180O O=-(2K+1)180=-(2K+1)180O O得得 (M+N)*180(M+N)*180O O=2(N-K)-1*180=2(N-K)-1*180O O两边同时加上两边同时加上 2 2N*180N*180O O 得得 M+N=2q+1 M+N=2q+1 即即M+NM+N为奇数为奇数由此可知，由此可知，图中实轴上图中实轴上的根轨迹的根轨迹规则三：实轴上的某一点如果在根轨迹上，那
8、麽，在它右边规则三：实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边规则三：实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边规则三：实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数应为奇数个。的零、极点总数应为奇数个。的零、极点总数应为奇数个。的零、极点总数应为奇数个。实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹解：将开环传递函数写成零、极点形式（首一型）解：将开环传递函数写成零、极点形式（首一型）设一单位负反馈系统的开环传递函数为设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(sG(s)=K(s+1)/s(0.5s+1)=K(s+1)/s(0.5s+1)求求 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。例例43法则一，有两条根
9、轨迹法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0 0、2 2，一条终于，一条终于 有限零点有限零点1 1，另一条趋于无穷远处。，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，法则四，在负实轴上，0 0到到1 1区间和区间和2 2到负无穷区间是根到负无穷区间是根 轨迹。轨迹。最后绘制出根轨迹如图最后绘制出根轨迹如图47所示所示图图47课程小结课程小结4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹根轨迹 闭环零点与开环零极点之间的关系闭环零点与开环零极点之间的关系 根轨迹方程根轨迹方程4.2 4.2 绘制根轨迹法的基本法则绘制根轨迹法的基本
10、法则 法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：法则法则2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 两个极点，一个零点时根轨迹的绘制两个极点，一个零点时根轨迹的绘制绘制根轨迹的基本法则（绘制根轨迹的基本法则（7）法则法则4 4 渐近线渐近线：n m时，时，n-m条根条根轨迹分支趋于无穷远处的规律轨迹分支趋于无穷远处的规律。例例1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹。解解.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2-2，00 渐近线：渐近线：证：由幅角条件证：由幅角条件由于根由于根Sa
11、Sa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，假设为角都是相等的，假设为 f fa a则有则有 渐进线与实轴的交点公式推导渐进线与实轴的交点公式推导记为：记为：分子除分母得：分子除分母得：ba又由于，在无穷远处：又由于，在无穷远处：多项式展开，得：多项式展开，得：对比两式系数得：对比两式系数得：绘制根轨迹的基本法则（绘制根轨迹的基本法则（6）法则法则6 6 根之和根之和：证明：证明：n-m 2时，闭环根之和保持一个常值时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：由代数
12、定理：n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。绘制根轨迹的基本法则（绘制根轨迹的基本法则（8）例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）当）当Rel l1 1 =-1 时，时，l l3 3=?=?解解.(1)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2,-1,0-4,-2,-1,0用根用根之和法则分析绘制根轨迹：之和法则分析绘制根轨迹：(2)根根轨迹的分离点迹的分离点(1)法则法则7 7 分离点分离点 d d：说明：说明：（无零点时右端
13、为（无零点时右端为0）（对应重根）（对应重根）试根试根:必要非充分条件必要非充分条件设设由由消去消去K K1 1有有可以得到同样的结果。可以得到同样的结果。根轨迹的分离点根轨迹的分离点(2)法则法则7 7 分离点分离点 d d：分离角和会合角：分离点或会合点的切线与正实轴的夹角。分离角和会合角：分离点或会合点的切线与正实轴的夹角。r r为趋向或离开实轴的根轨迹分支数。为趋向或离开实轴的根轨迹分支数。若有若有r r条根轨迹进入条根轨迹进入d d点，必有点，必有 r r条根轨迹离开条根轨迹离开d d点点 r r条进入条进入d d点的根轨迹与点的根轨迹与 r r条离开条离开d d点的根轨迹相间隔；点
14、的根轨迹相间隔；任一条进入任一条进入d d点的根轨迹与相邻的离开点的根轨迹与相邻的离开d d点的根轨迹方向之间点的根轨迹方向之间 的夹角为的夹角为劳斯判据的分离点劳斯判据的分离点法则法则7 7 分离点分离点 d d：或者由于分离点通或者由于分离点通常出现在实轴上可常出现在实轴上可以观察以观察d d是否在实轴是否在实轴的根轨迹上的根轨迹上绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（10）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2,-1,0-,-2,-1,0 分离点：分离点：整理得：整理得：与虚
15、轴交点：与虚轴交点：?解根：解根：绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（12）法则法则8 8 出射角出射角/入射角入射角 （起始角（起始角/终止角）终止角）起始角计算公式：起始角计算公式：终止角计算公式：终止角计算公式：分别让分别让可以得到可以得到:绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（12）例例4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（11）法则法则9 9 与虚轴交点与虚轴交点：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s=jw w 是根的点是根的点接例接例3 解法解法I：Routh：解法解法II：稳定范围稳定
16、范围：0K3绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（13）例例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,0 出射角：出射角：与虚轴交点：与虚轴交点：绘制绘制根轨迹的基本法则（根轨迹的基本法则（16）解解.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：(-,-1,0,1例例6 已知已知，绘根轨迹，绘根轨迹;求稳定的求稳定的K范围。范围。分离点分离点：出射角出射角：渐近线渐近线：绘制根制根轨迹的基本法迹的基本法则（17）零点靠近极点时的情况零点靠近极点时的情况(例例3)3)例例6 虚轴交点虚轴交点：稳定的稳定的 范围范围：稳定的稳定的
17、范围范围：绘制根制根轨迹法迹法则小小结法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角自自动控制原理控制原理 4 11,13自自动控制原理控制原理4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4
18、 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法 广义根轨迹是指根轨迹参数除了广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益开环增益之外的所有之外的所有根轨迹。根轨迹。(1)(1)参数根轨迹参数根轨迹 (2)(2)具有正反馈内环的零度根轨迹具有正反馈内环的零度根轨迹 (3)(3)某些非最小相位系统的零度根轨迹，某些非最小相位系统的零度根轨迹，等等等等广义根轨迹引入等效开环传递函数的概念引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数等效开环传递函数参数根轨迹参数根轨迹注意注意：等效意义是在等效意义是在闭环特征方程相同，或者是闭环极点闭环特征方程相同，或者是闭环极点 相同相同的前
19、提下成立；而此时闭环零点是不同的。的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。参数根参数根轨迹迹例例2 系统开环传递函数系统开环传递函数解解.(1)渐近线：渐近线：实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,-1.466-1,0-,-1.466-1,0-除除 K*之外之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹构造构造“等效开环传递函数等效开环传递函数”与虚轴交点：与虚轴交点：分离点：分离点：整理得：整理得：零度根零度根轨迹迹 模值条件模值条件零度零度根轨迹根轨迹 系统实质上处于正反馈时的根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹 相角条件相角条件例：设单位正反馈系统的开环传递函数为例：设单位正反馈系统的开环
20、传递函数为绘制绘制K K1 1从从00变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。（1 1）两个开环极点：）两个开环极点：p p1,21,2=-1=-1j j。一个开环零点：。一个开环零点：z z1 1=-2=-2。(2)(2)开环复数极点开环复数极点p p1 1处的出射角处的出射角(3)(3)根轨迹的汇合点根轨迹的汇合点S1=-0.59S2=-3.41（舍去）根轨迹的汇合角为根轨迹的汇合角为 绘制零度根制零度根轨迹的基本法迹的基本法则 法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法
21、则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角课程小程小结 4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹4.3.1 4.3.1 参数参数根轨迹根轨迹 构造等效开环传递函数构造等效开环传递函数4.3.2 4.3.2 零度零度根轨迹根轨迹 注意与绘制注意与绘制180180根轨迹不同的根轨迹不同的3 3条法则条法则自自动控制原理控制原理 本次课程作业本次课程作业(16)4-12,13,14,15自自动控制原理控制原理4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.
22、2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法利用根利用根轨迹分析系迹分析系统性能（性能（1）利用利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤根轨迹法分析系统性能的基本步骤 绘制系统根轨迹；绘制系统根轨迹；依题意确定闭环极点位置；依题意确定闭环极点位置；确定闭环零点；确定闭环零点；保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能开环增益开环增益(等效等效)开环传递函数开环传递函数闭环根轨迹闭环根轨迹利用根利用根轨迹分析系迹分析系统性能（性能（2
23、）利用利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤根轨迹法分析系统性能的基本步骤 绘制系统根轨迹；绘制系统根轨迹；依题意确定闭环极点位置；依题意确定闭环极点位置；确定闭环零点；确定闭环零点；保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能例例1 已知系统结构图，已知系统结构图，K*=0，绘制系统根轨迹并确定：绘制系统根轨迹并确定：使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；的取值范围；当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应相应 K=?K=?复极点对应复极点对应 x=0.5(b=60 x=0.5(b=6
24、0o o)时时的的 K 值及闭环极点位置；值及闭环极点位置；当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,t ts s)。利用利用根轨迹分析系统性能（根轨迹分析系统性能（2）解解.绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹 渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-4,-2,0 分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：利用利用根轨迹分析系统性能（根轨迹分析系统性能（2）解解.绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹利用根轨迹分析系统性能（利用根轨迹分析系统性能（3）应有应有：比较系数比较系数 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增
25、益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围的取值范围 复极点对应复极点对应 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时时的的 K 值及闭环极点位置值及闭环极点位置设设由根之和由根之和解根：解根：依题，对应依题，对应 有：有：利用根轨迹分析系统性能（利用根轨迹分析系统性能（4）当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应相应 K=?K=?当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,t ts s)解根：解根：试根试根令令利用根轨迹分析系统性能（利用根轨迹分析系统性能（5）视视 l l1,2 1
26、,2 为主导极点为主导极点 当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,t ts s)利用根轨迹分析系统性能（利用根轨迹分析系统性能（6）例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1)（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）使复极点对应的）使复极点对应的 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时时的的 K K 及及 l=?l=?(3)（3）估算系统动态性能指标）估算系统动态性能指标(,t ts s)(2)当当 x=x=0.5(b=(b=60o)时时1 1、附加适当的开环零点可以改善
27、系统的稳定性。设开、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开 环传递函数为环传递函数为z z1 1是附加的开环实数零点，其值可在是附加的开环实数零点，其值可在s s左半平面内任左半平面内任意选择，意选择，当当z z1 1时，表明不存在有限零点。时，表明不存在有限零点。附加开环零点的作用附加开环零点的作用令令z1为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：2 2、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。还可以改善系统的动态性能。结论：结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置只有当附加
28、零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。得到明显的改善。附加开环零点的作用附加开环零点的作用增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响（1 1）增加开）增加开环零点零点（2 2）增加开）增加开环极点极点 设二阶系统的开环传递函数为设二阶系统的开环传递函数为 增加开环零点增加开环零点 后的传递函数为后的传递函数为 或增加开环零点或增加开环零点 ，这时传递函数为，这时传递函数为 增加开环零点前后所对应的根轨迹如图增加开环零点前后所对应的根轨迹如图4.194.19所示。所示。增加开
29、环零点增加开环零点增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 通过对上例的分析可见，选择增加合适的开环零通过对上例的分析可见，选择增加合适的开环零点，可使根轨迹生产向左变化的趋势，从而改善系点，可使根轨迹生产向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。统的稳定性和快速性。但零点选择不当，则达不到改善系统性能指标的但零点选择不当，则达不到改善系统性能指标的目的。目的。有时，我们也可以根据系统性能指标的要求，有时，我们也可以根据系统性能指标的要求，选择适当的开环零点，来满足系统的性能指标。选择适当的开环零点，来满足系统的性能指标。增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、
30、极点对系统性能的影响当在系统的开环传递函数中增加极点时，会使系统的根轨迹向当在系统的开环传递函数中增加极点时，会使系统的根轨迹向右弯曲，造成系统的稳定性变差。右弯曲，造成系统的稳定性变差。设系统的开环传递函设系统的开环传递函数数 ，增加开环极，增加开环极点点 （）后，传递函数为）后，传递函数为当增大时，相应的根轨迹族如下图所示。当增大时，相应的根轨迹族如下图所示。增加开环极点增加开环极点对原系统（如图对原系统（如图4.19a）来讲，增加开环极点）来讲，增加开环极点 后，后，根轨迹由两条变成三条，根轨迹渐近线也增加到三条，根轨迹由两条变成三条，根轨迹渐近线也增加到三条，且渐近线与实轴的夹角由且渐近线与实轴的夹角由 变为变为 和和 ，与实轴的交点也由原来的与实轴的交点也由原来的 变为变为 ，并，并随随 值的增加越来越远离虚轴。值的增加越来越远离虚轴。增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点对系统性能的影响 改变了根轨迹在实轴上的分布改变了根轨迹在实轴上的分布 增加了根轨迹的条数，使根轨迹渐近线的条数、方增加了根轨迹的条数，使根轨迹渐近线的条数、方 向及与实轴的夹角等随之改变。向及与实轴的夹角等随之改变。使根轨迹的走向向右偏移，削弱了系统的稳定性。使根轨迹的走向向右偏移，削弱了系统的稳定性。增加开环极点对系统性能的影响增加开环极点对系统性能的影响