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1、第四章 几种特殊类型函数的积分第一页，本课件共有36页假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例例难点难点将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.第二页，本课件共有36页（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为第三页，本课件共有36页注注关于部分分式分解关
2、于部分分式分解如对如对进行分解时进行分解时一项也不能少，因为通分后分子上是一项也不能少，因为通分后分子上是多项式，可得到多项式，可得到k个方程，定出个方程，定出k个系数，否则将个系数，否则将会得到矛盾的结果。会得到矛盾的结果。例如例如第四页，本课件共有36页但若但若矛盾矛盾第五页，本课件共有36页（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为第六页，本课件共有36页真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1第七页，本课件共有36页代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入
3、例例2 2第八页，本课件共有36页例例3 3整理得整理得第九页，本课件共有36页例例4 4 求积分求积分 解解第十页，本课件共有36页例例5 5 求积分求积分 解解第十一页，本课件共有36页例例6 6 求积分求积分解解令令第十二页，本课件共有36页第十三页，本课件共有36页说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令第十四页，本课件共有36页则则记记第十五页，本课件共有36页这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原
4、函数都是初等函数.第十六页，本课件共有36页注意注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。考虑用其它的简便方法。如如使用凑微分法比较简单使用凑微分法比较简单基本思路基本思路尽量使分母简单尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换可考虑引入变量代换第十七页，本课件共有36页三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次
5、四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分第十八页，本课件共有36页令令（万能置换公式）（万能置换公式）第十九页，本课件共有36页例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第二十页，本课件共有36页第二十一页，本课件共有36页例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）第二十二页，本课件共有36页解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令第二十三页，本课件共有36页解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定是便知万能置换不一定是最佳方法最
6、佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其故三角有理式的计算中先考虑其它手段它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.如如第二十四页，本课件共有36页若用万能代换，则若用万能代换，则化部分分式比较困难化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单但若是凑微分，则比较简单基本思路基本思路第二十五页，本课件共有36页尽量使分母简单尽量使分母简单分子分母同乘，或使分母分子分母同乘，或使分母 变成一项等变成一项等尽量使尽量使的幂次降低的幂次降低万能代换万能代换例例9 9 求积分求积分解解第二十六页，本课件共有36页第二十七页，本课件共有36页讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例
7、1010 求积分求积分解解 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分第二十八页，本课件共有36页第二十九页，本课件共有36页例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.第三十页，本课件共有36页例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式第三十一页，本课件共有36页例例13解一解一令令第三十二页，本课件共有36页解二解二第三十三页，本课件共有36页令令第三十四页，本课件共有36页简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？第三十五页，本课件共有36页思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.第三十六页，本课件共有36页