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1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1.2.1.1.合情推理合情推理1.推理是人们思维活动的过程，是根据一个或多个已知的判断来确定一个新的思维过程。一、推理的定义及分类一、推理的定义及分类2.日常生活中的例子 看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。我们会推断天要下雨啦；某同学今天没有来上课。某同学今天没有来上课。谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”。等等。3.分类：推理二、合情推理二、合情推理我们会推断我们会推断某同学某同学生病啦；生病啦；合情推理哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)世
2、界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Gol
3、dbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想:(a)(a)任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。(b)(b)任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。1、归纳推理：、归纳推理：歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想:“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和数之和”即即:偶数奇质数奇质数偶数奇质数
4、奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3，1000100029+97129+971，83+5，1002=139+863,105+5,125+7，147+7，165+11,18=7+11,，这种由某类事物的部分对象具有某些特征这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或或者由个别事实概栝出一般结论的推理者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为称为归纳归纳推理推理.(.(简称简称;归纳归纳)归纳是立足于观察、经验归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分实验和对有限资料分析的基础上析的基础上.提出
5、带有规律性的结论提出带有规律性的结论.需证明需证明简之：由部分到整体，由个别（简之：由部分到整体，由个别（特殊）特殊）到一般到一般 的推理。（的推理。（结论只是猜测）结论只是猜测）例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳出出“一切金属都导电一切金属都导电”；由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是和是1801800 0，归纳出，归纳出“所有三角形的内角和都是所有三角形的内角和都是1801800 0。归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；对有限的资料进行观察、分析、归纳、
6、整理；提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；检验猜想。检验猜想。具具体体问问题题实实验验观观察察经经验验归归纳纳猜猜想想结结论论证证 明明归纳推理的基础归纳推理的基础观察、分析观察、分析归纳推理的作用归纳推理的作用发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立例例1:1:已知数列已知数列 an 的第的第1 1项项a1 1=1=1且(n=1,2,3=1,2,3),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分析：数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系。为此，我们先根据已知的递推公式
7、，算出数列的前几项；然后，再根据其特征归纳推理出它的通项公式。解：当n=1时，a1=1;当n=2时，当n=3时，当n=4时，观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断
8、木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇发明了潜水艇.2、类比推理：、类比推理：火星火星地球地球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命猜想猜想火星上是否有生命？火星上是否有生命？相似点相似点:试根据等式的性质猜想不等式的性质。试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：
9、等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？由两类对象具有某些类似特征，和其中一由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称类比）（简称类比）类比推理的定义类比推理的定义:简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊
10、到特殊的推理的推理类比推理的特点：类比推理的特点：1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的推测正在研究的事物的属性事物的属性,是是以旧有的认识为基础以旧有的认识为基础,类比出新的结果类比出新的结果.2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊属性特殊属性推测另一种事物的推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发现的功能但它却有发现的功能.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤：类比推理的一般
11、步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；致性）；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；而得出一个猜想；检验猜想。检验猜想。类比推理类比推理的作用的作用类比推理的类比推理的特点特点以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意提示：一定成立；不一定成立提示：一定成立；不一定成立想一想想一想1.归纳归纳推理所推理所归纳归纳的的结论对结论对已考定已
12、考定过过的的对对象一定成立象一定成立吗吗？对对未被考定的未被考定的对对象一定成立象一定成立吗吗？提示：提示：(1)猜想和猜想和发现结论发现结论；(2)提供提供证证明的思路和方向明的思路和方向2.合情推理在数学上有什么作用？合情推理在数学上有什么作用？例例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的
13、概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x0 0,y0 0)为圆心为圆心,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x0 0)2 2+(+(y-y0 0)2 2=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离
14、不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x0 0,y0 0,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x0 0)2 2+(+(y-y0 0)2 2+(+(z-z0 0)2 2=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积例例3 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,b R,则则a+b R运算律运算律(交换律和
15、交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,b R,则则ab Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a通过例通过例2，例，例3你能得到你能得到类比推理的一般模式类比推理的一般模式吗？吗？类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a
16、,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）运用类比法的关键是：运用类比法的关键是：寻找一个合适的寻找一个合适的类比对象类比对象基本原则是：要根据当前问题的需要，选择基本原则是：要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象适当的类比对象。思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象构成几何体的元素数目：三角形构成几何体的元素数目：三角形 四面体四面体平面图形（二维）平面图形（二维）立体图形（三维）立体图形（三维）点点点或线点或线线线线或面线或面平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系直角三角形直角三角形 C903个边的长
17、度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S例例4 4：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c2 2=a2 2+b2 2
18、S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:例例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按按下列规则下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片;2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?解解;设设an表示移动表示移动n块金属片时的移动
19、次数块金属片时的移动次数.当当n=1=1时时,a1 1=1=1当当n=2=2时时,a2 2=3 3123当当n=1时时,a1 1=1=1当当n=2=2时时,a2 2=3 3解解;设设an表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=3=3时时,a3 3=7 7当当n=4=4时时,a4 4=1515猜想猜想 an=2 2n -1-1123类比推理类比推理由由由由特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定
20、成立结论不一定成立结论不一定成立.归纳推理归纳推理由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、特殊到一般特殊到一般特殊到一般特殊到一般的推理的推理的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、
21、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理方法感悟方法感悟课堂小结：课堂小结：1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：表示如下：原问题原问题类比问题类比问题原问题解法原问题解法类比问题的解法类比问题的解法2、运用类比法的关键是：、运用类比法的关键是：寻找一个合适寻找一个合适的的类比对象。类比对象。小结小结 1.1.归纳推理是由部分到整体，由个别到归纳推理是由部分到整体，由个别到一般
22、的推理，应用归纳推理可以发现某类事一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法数学证明的方法.2.2.类比推理是由特殊到特殊的推理，它类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法也不能作为数学证明的方法.3.3.由归纳推理和类比推理得到的结论只由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方向以为我们的研究提供一种思路和方向.