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1、24.3 24.3 正多边形正多边形和圆和圆第一课时第二课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册第一课时正多边形的相关概念及计算正多边形的相关概念及计算返回返回观察上边的美丽图案，思考观察上边的美丽图案，思考下面的下面的问题：问题：（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？的物体，你能找出正多边形吗？（2）你知道）你知道正多边形和圆有正多边形和圆有什么关系吗？怎样什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？做一个正多边形呢？3.会会应用应用正多边形和圆正多边形和圆的有关知识解决实际问的有关知识解决实际问题题.1.了解了解
2、正多边形和圆正多边形和圆的有关概念的有关概念.2.理解理解并掌握并掌握正多边形半径正多边形半径、中心角中心角、边心边心距距、边长、边长之间的关系之间的关系.问题问题1 什么叫做正多边形？什么叫做正多边形？各边相等各边相等,各角也相等各角也相等的多边形叫做正多边形的多边形叫做正多边形.问题问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？为什么？不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；不是，因为菱形不符合各角相等；注意注意正多边形正多边形各边相等各边相等各角相等各角相等缺一不可缺一不可正多边形的
3、对称性正多边形的对称性知识点知识点 1问题问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？对称图形吗？都是中心对称图形吗？正正n边形都是轴对称图形，都有边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.问题问题4 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳归纳正多边形正多边形的有关概念的有关概念OA
4、BCD问题问题1 以正四边形为例以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出根据对称轴的性质，你能得出什么结论？什么结论？EFGHEF是边是边AB、CD的垂直平分线，的垂直平分线，OA=OB，OD=OC.GH是边是边AD、BC的垂直平分线，的垂直平分线，OA=OD；OB=OC.OA=OB=OC=OD.正方形正方形ABCD有一个以点有一个以点O为圆心的为圆心的外接圆外接圆.知识点知识点 2OABCDEFGHAC是是DAB及及DCB的角平的角平分线，分线，BD是是ABC及及ADC的角平分线，的角平分线，OE=OH=OF=OG.正方形正方形ABCD还有一个以点还有一个以点O为圆心的为圆心的内切圆内切圆
5、.1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆同心圆.2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?3.所有所有的多边形的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？是不是都有一个外接圆和内切圆？一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个个圆的一个内接正多边形内接正多边形，圆叫做这个正多边形的，圆叫做这个正多边形的外接圆外接圆.多边形
6、不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆三角形都有外接圆和内切圆.想一想想一想OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的共圆心，叫作正多边形的中心中心.外接圆的半径叫作正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半半径径.内切圆的半径叫作正多边形的内切圆的半径叫作正多边形的边边心距心距.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心中心角角.正多边形的每个中心角都等于正多边形的每个中心角都等于中心角中心角ABC
7、DEFO半径半径R边心距边心距r中心中心 正多正多边形边形边数边数内角内角中心角中心角外角外角346n60 120 120 90 90 90 120 60 60 正多边形的外正多边形的外角角=中心角中心角完成下面的表格：完成下面的表格：练一练练一练如图如图，已知半径为已知半径为4的圆内接正六边形的圆内接正六边形ABCDEF：它的中心角等于它的中心角等于 度度；OC BC (填、或）；填、或）；OBC是是 三角形三角形；圆内接正六边形的面积是圆内接正六边形的面积是 OBC面积的面积的 倍倍.圆内接正圆内接正n边形面积公式边形面积公式:_.CDOBEFAP60=等边等边6正多边形的有关计算正多边形
8、的有关计算知识点知识点 3 例例1 有有一个亭子一个亭子,它的地基是半径为它的地基是半径为4 m的正六边形的正六边形,求地求地基的基的周长和面积周长和面积(精确到精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成抽象成正多边形的有关计算正多边形的有关计算素养素养考点考点利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的亭子地基的面积：面积：在在RtOMB中中,OB4,MB4mOABCDEF FM r解：解：过点过点O作作OMBC于于M.1.如如图所示，正五边形图所示，正五边形ABCDE内接于内接于 O，则，则ADE的度数是的度数是 （）A60 B45 C 36 D 30 ABCDEOC2.作边心
9、距，构造直角三角形作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；连半径，得中心角；OABCDEFRM r方法归纳方法归纳 ：圆圆内接正多边形的辅助线内接正多边形的辅助线O边心距边心距r边长一半边长一半半径半径RCM中心角一半中心角一半2.已知已知直角三角形两条直角边的和等于直角三角形两条直角边的和等于8，两条直，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？大值是多少？广东省怀集县中洲镇泰来学校广东省怀集县中洲镇泰来学校 李周林李周林解：解：直角三角形两直角边之和为直角三角形两直角边之和为8,设一边长设一边长x 另一边长为另一边长为
10、8-x。则该直角三角形面积：则该直角三角形面积：S=（8-x）x2 即即当当x=4,另一边为另一边为4时，时，S有最大值有最大值 8当当两直角边都是两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为时，直角面积最大，最大值为8.1.图图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美图谐美图2是从图是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则图形，则1+2+3+4+5=度度连接中考连接中考解析：解
11、析：由多边形的外角和等于由多边形的外角和等于360可知，可知，1+2+3+4+5=360.连连 接接 中中 考考360正多边形边正多边形边数数半径半径边长边长边心距边心距周长周长面积面积34161.填表填表2128422122.若正多边形的边心距与若正多边形的边心距与半径半径的比为的比为1:2，则这个，则这个多边形的边数是多边形的边数是 .3基基 础础 巩巩 固固 题题4.要用圆形铁片截出边长为要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要选用的圆形铁片的直径最小要_cm.也就是要找这个正也就是要找这个正方形外接圆的直径方形外接圆的直径3.如图是一枚奥运
12、会纪念币的图案，其形状近似如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为看作为正七边形，则一个内角为 度度.（不（不取近似值）取近似值）基基 础础 巩巩 固固 题题1.如如图，四边形图，四边形ABCD是是 O的内接正方形，若正方形的的内接正方形，若正方形的面积等于面积等于4，求，求 O的面积的面积解：解：正方形的面积等于正方形的面积等于4，O的面积为的面积为正方形的边长正方形的边长AB=2.则圆的直径则圆的直径AC=2 ，O的半径的半径=能能 力力 提提 升升 题题ABCDEFP2.如如图，正六边形图，正六边形ABCDEF的边长为的边长为 ，点，点P为六边为六边形内任一点
13、则点形内任一点则点P到各边距离之和是多少？到各边距离之和是多少？点点P到各边距离之和到各边距离之和=3BD=36=18解：解：过过P作作AB的垂线，分别交的垂线，分别交AB、DE于于H、K，连接连接BD，作，作CGBD于于G.GHKP到到AF与与CD的距离之和，及的距离之和，及P到到EF、BC的距离之和均为的距离之和均为HK的长的长.六边形六边形ABCDEF是正六边形，是正六边形，ABDE，AFCD，BCEF，BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，CBD=BDC=30，BDHK，且，且BD=HK.CG=BC=CGBD，BD=2BG=2 =2 3=6.能能 力力 提提 升升 题题如如图图,
14、M,N分别是分别是O内接正多边形内接正多边形AB,BC上的点上的点,且且BM=CN.(1)求图求图中中MON=_;图图中中MON=;图图中中MON=;(2)试探究试探究MON的度数与正的度数与正n边形的边数边形的边数n的关系的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90 72 120 图图图拓拓 广广 探探 索索 题题正多边形正多边形的有 关 概 念正多边形的有 关 计 算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形和圆中心角内角外角周长面积正多边形的定义正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时，它既是轴对称图形
15、又是中心对称图形第二课时正多边形的画法正多边形的画法返回返回正多边形和圆有什么关系？正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？你能借助圆画一个正多边形吗？O2.掌握掌握画正多边形画正多边形的关键的关键等分圆周等分圆周的两的两种方法：一是种方法：一是量角器量角器等分圆周；二是用等分圆周；二是用尺规尺规作图等分圆周作图等分圆周.1.掌握掌握正多边形正多边形的画法的画法.多姿多彩的正多边形多姿多彩的正多边形:观察生活观察生活中的中的正多边形正多边形图案图案.正多边形的画法正多边形的画法知识点 几种常见的正多边形几种常见的正多边形 由于由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性正多边形在生
16、产、生活实际中有广泛的应用性，所以所以会画正多边形应是学生必备能力会画正多边形应是学生必备能力之一之一.怎样画一个正多边形呢？怎样画一个正多边形呢？问题问题1：已知已知 O的半径为的半径为2cm，求作圆的内接正三角形，求作圆的内接正三角形.120 用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或用量角器或30角的三角板度量，角的三角板度量，使使BAO=CAO=30 AOCB你能用以上方法画出正四边形、正五边形、你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260你能尺规作出正四边形、正八边形吗你能尺规作出正四边
17、形、正八边形吗？ABCDO只要作出已知只要作出已知 O的的互相垂直的互相垂直的直径直径即得圆内接正方形，再过即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与圆心作各边的垂线与 O相交，相交，或作各中心角的角平分线与或作各中心角的角平分线与 O相交，即得圆接正八边形，照相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形正三十二边形、正六十四边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？吗？OABCEFD 以半径长在圆周上截取六以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分段相等的弧，依次连结各等分点，
18、则作出正六边形点，则作出正六边形.先先作出正六边形，则可作作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二正三角形，正十二边形，正二十四边形十四边形 说说作正多边形的方法有哪些说说作正多边形的方法有哪些?（1）用）用量角器等分圆周量角器等分圆周作正作正n边形；边形；（2）用）用尺规作正方形尺规作正方形及由此扩展作正八边形及由此扩展作正八边形,用用尺规作正六边形尺规作正六边形及由此扩展作正及由此扩展作正12边形、正边形、正三角形三角形 例例 已知已知O和和O上的一点上的一点A(如图如图).求作求作O的内接正方形的内接正方形ABCD和内接正六边形和内接正六边形AEFCGH;正多边形正多边形的画法的画
19、法素养素养考点考点解：解：作法作法:作直径作直径AC;作直径作直径BDAC;依次连接依次连接A、B、C、D四点四点.四边形四边形ABCD即为即为O的内接正方形的内接正方形.分别以分别以A、C为圆心为圆心,OA的长为半径作弧的长为半径作弧,交交O于于E、H、F、G;顺次连接顺次连接A、E、F、C、G、H各点各点;六边形六边形AEFCGH为为O的内接正六边形的内接正六边形,如如图所示图所示.AO.画画一个半径为一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星五边形的各条对角线，画出一个五角星.连连 接接 中中 考考D连连 接接 中中 考考广东省怀集
20、县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 石迎伦石迎伦 在在图中，用尺规作图画出圆图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形的内接正三角形R作法：作法：1.作出圆的任意一条半径，作出圆的任意一条半径，2.作半径的垂直平分线，交作半径的垂直平分线，交圆于点圆于点A、B，3.分别以分别以A、B为圆心，线段为圆心，线段AB的长为半径作弧，两户的长为半径作弧，两户交于点交于点C，连接，连接AC、BC.则则ABC即为所求即为所求.ABC基基 础础 巩巩 固固 题题利用利用量角器画一个边长为量角器画一个边长为2cm的正六边形的正六边形作法：作法：如图，以如图，以2cm为半径作一个为半径作一个 O，用
21、量角器画一个，用量角器画一个等于等于 的的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形连接各分点，即可得出正六边形60O90018060120能能 力力 提提 升升 题题一个平面封闭图形内一个平面封闭图形内(含边界含边界)任意两点距离的最大值称任意两点距离的最大值称为该图形的为该图形的“直径直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图，封闭图形的周长与直径之比称为图形的形的“周率周率”，下面四个平面图形，下面四个平面图形(依次为正三角形、正依次为正三角
22、形、正方形、正六边形、圆方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是，则下列关系中正确的是()()A.a4a2a1 B.a4a3a2C.a1a2a3D.a2a3a4B拓拓 广广 探探 索索 题题画画一个正十二边一个正十二边形形.作法：作法：如图，分别以如图，分别以 O的四等的四等分点分点A，B，E，F为圆心，以为圆心，以 O的半径长为半径，画的半径长为半径，画8条弧条弧与与 O相交，就可以把相交，就可以把 O分成分成12等份，依次连接各等分点，即等份，依次连接各等分点，即得到正十二边形得到正十二边形.拓拓 广广 探探 索索 题题1
23、.画画正多边形的方法：正多边形的方法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧由于同圆中相等的圆心角所对的弧相相等，因等，因此作相等的圆心角就可以此作相等的圆心角就可以等分等分圆周，从而得圆周，从而得到相应的到相应的正多边形正多边形.2.画画正多边形的方法正多边形的方法1.用用量角器量角器等分圆等分圆2.尺规尺规作图等分圆作图等分圆作业作业内容内容教材作业教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业课后作业R版九年级上版九年级上243正多边形和圆正多边形和圆第二十四章第二十四章 圆圆4提示：点击进入习题答案显示答案显示671235BBDCCCA8提示：点击
24、进入习题答案显示答案显示1011129见习题见习题13见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题14见习题见习题1正正多多边边形形的的中中心心角角与与该该正正多多边边形形的的一一个个内内角角的的关关系系为为()A两角互余两角互余 B两角互补两角互补C两角互余或互补两角互余或互补 D不能确定不能确定B【答案答案】CBD5【2019湖湖州州】如如图图，已已知知正正五五边边形形ABCDE内内接接于于 O，连接，连接BD，则，则ABD的度数是的度数是()A60 B70 C72 D144CA*7.【2018威威海海】如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，AB12，点点E为为BC的的中中点点，以以
25、CD为为直直径径作作半半圆圆CFD，点点F为为半半圆圆的的中中点点，连连接接AF，EF，则则图图中中阴阴影影部部分分的的面面积积是是()A1836 B2418C1818 D1218【答案答案】C8【2018宜宜宾宾】刘刘徽徽是是中中国国古古代代卓卓越越的的数数学学家家之之一一，他他在在九九章章算算术术中中提提出出了了“割割圆圆术术”，即即用用内内接接或或外外切切正正多多边边形形逐逐步步逼逼近近圆圆来来近近似似计计算算圆圆的的面面积积设设 O的的半半径径为为1，若若用用 O的的外外切切正正六六边边形形的的面面积积S来来近近似似估估计计 O的面积，则的面积，则S_(结果保留根号结果保留根号)9如图
26、，按要求画出如图，按要求画出 O的内接正多边形的内接正多边形(1)正三角形；正三角形；(2)正方形；正方形；(3)正六边形；正六边形；(4)正八边形正八边形解：如图所示解：如图所示11如如图图，点点G，H分分别别是是正正六六边边形形ABCDEF的的边边BC，CD上的点，且上的点，且BGCH，AG交交BH于点于点P.(1)求证：求证：ABGBCH.(2)求求APH的度数的度数解：由解：由(1)知知ABGBCH，BAGHBC.APH ABP BAG ABP HBCABC120.12作图与证明：作图与证明：如图，已知如图，已知 O和和 O上的一点上的一点A，请完成下列任务：，请完成下列任务：(1)作
27、作 O的内接正六边形的内接正六边形ABCDEF；解：如图，首先作直径解：如图，首先作直径AD，然后分别以，然后分别以A，D为圆为圆心，心，OA长为半径画弧，分别交长为半径画弧，分别交 O于点于点B，F，C，E，连接，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形，则正六边形ABCDEF即为所求即为所求(2)连接连接BF，CE，判断四边形，判断四边形BCEF的形状并加以证明的形状并加以证明ABAFDEDC.BFCE.BFCE.四边形四边形BCEF是平行四边形是平行四边形又又DEDC，DECDCE30.CEFDEFDEC90.四边形四边形BCEF是矩形是矩形13【2019铜铜仁仁】如如图图，正
28、正六六边边形形ABCDEF内内接接于于 O，BE是是 O的的直直径径，连连接接BF，延延长长BA，过过F作作FGBA，垂足为垂足为G.(1)求证：求证：FG是是 O的切线的切线证明：连接证明：连接OF，如图，如图在正六边形在正六边形ABCDEF中，中，ABAFEF，ABAFEF，解：连接解：连接AO，如图，如图ABAFEF，AOF60.OAOF，AOF是等边三角形，是等边三角形，AFOAOF，AFO60.GFO90，14如如图图分分别别是是 O的的内内接接正正三三角角形形、正正四四边边形形、正正五五边边形形、正正n边边形形，点点M，N分分别别从从点点B，C开开始始以以相相同的速度在同的速度在 O上逆时针运动上逆时针运动(1)图图中，中，APN_；(2)图图中，中，APN_，图图中，中，APN_；(3)试试探探索索APN的的度度数数与与正正多多边边形形边边数数n的的关系关系(直接写答案直接写答案)6090108