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1、2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2021年全国统一高考数学试卷理科新课标含解析版未经允许 请勿转载 21年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷 数学理一、选取题1.设,则 AB.CD.答案:解析:设,则，所以，,所以.2已经知道集合，则 A.BCD.答案:C解析:,；当，时,；当,时，.所以,故选.3.已经知道命题;命题，则以下命题中为真命题的是 A.C.D.答案:：解析:根据正弦函数的值域,故，,为真命题,而函数为偶函数，且时，,故,恒成立.,则也为真命题,所以为真，选未经许可 请勿转载4.设函数,则以下函数中为奇函数的是 A.C.D.答案:：B解析：,向右平移一
2、个单位,向上平移一个单位得到为奇函数.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为A.B.C.D.答案:：:D解析:如此图,为直线与所成角的平面角.易知为正三角形,又为中点，所以.6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有 未经许可 请勿转载.种.种C.种D.种答案:：C解析:所求分配方案数为.7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 未经许可 请勿转载AB.C.D.答案:解析:逆向：.故选.8.在区间与中各随机取个数,则两数之
3、和大于的概率为 .B.D答案:B解析：由题意记，题目即求的概率,绘图如下所示.故.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如此图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高，称为“表距，和都称为“表目距.与的差称为“表目距的差，则海岛的高 未经许可 请勿转载B.C.D答案:：A解析：连接交于，则.记,则.而,所以.故,所以高.0设,若为函数的极大值点，则A.B.答案:：:D解析：若，其图像如此图，此时,;若,时图像如此图2,此时，.综上,.11.设是椭圆:的上顶点，若上的任意一点都满足，,则的离心率的取值范围是 AB.C.答案:C解析
4、:由题意，点,设,则，故,由题意，当时，最大，则，,，2.设,，则 A.B.C.D.答案:：解析:设，则，易得当时,，故.所以在上单调递减，所以，故.再设，则，易得.当时，,所以在上.故在上单调递增,所以,故.综上，.二、填空题.已经知道双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为 .答案:解析：易知双曲线渐近线方程为,由题意得，,且一条渐近线方程为,则有舍去，,故焦距为.14.已经知道向量，若，则 答案:解析：由题意得，即,解得.15.记的内角，的对边分别为，,面积为， ,，则 答案:解析：,所以,由余弦定理，,所以.16以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选
5、侧视图和俯视图的编号依次为 写出符合要求的一组答案:即可.未经许可 请勿转载答案:或解析：由高度可知,侧视图只能为或.侧视图为，如此图1,平面平面，,俯视图为俯视图为，如此图2，平面，,俯视图为.三、解答题7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下:未经许可 请勿转载 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别己为和.1求，,：2判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否未经许可 请勿
6、转载则不认为有显著提高 。答案:：:见解析解析：1各项所求值如下所示.,，.2由1中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18如此图,四棱锥的底面是矩形,底面，,为的中点，且.1求；2求二面角的正弦值.答案:：见解析解析：1因为平面，且矩形中,.所以以,，分别为，轴正方向,为原点建立空间直角坐标系.设,，,，所以,未经许可 请勿转载因为,所以所以，所以.2设平面的一个法向量为，由于,则.令,的设平面的一个法向量为，则.令，的.所以，所以二面角的正弦值为.未经许可 请勿转载.记为数列的前项和,为数列的前项积，已经知道.证明:数列是等差数列;2求的通项公式答案:
7、：:见解析解析:1由已经知道，则，,，故是以为首项，为公差的等差数列2由1知,则,时,，时,故.20.设函数,已经知道是函数的极值点.1求；2设函数,证明:.答案:：:见解析解析：1令则.是函数的极值点.解得：；（2） 由1可知:，要证,即证且当时，当时，.只需证明令,且易知.则i当时，易得,则在上单调递减,得证.i当时，易得,则在上单调递增.,得证.综上证得.21.已经知道抛物线:的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为求；2若点在上,，是的两条切线，是切点,求面积的最大值.答案:见解析解析:1焦点到的最短距离为，所以.抛物线，设，得：,:,且,都过点，则，故：，即,联立,得，,所以，,所以.
8、而，故当时,达到最大，最大值为22.在直角坐标系中,的圆心为，半径为.写出的一个参数方程;2过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.答案:：:见解析解析：1的参数方程为为参数2的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去;当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为,化简得,两边平方有,所以.代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23已经知道函数1当时，求不等式的解集;2若，求的取值范围.答案:见解析解析：当时，当时，不等式,解得；当时,不等式,解得；当时，不等式,解得.综上，原不等式的解集为.2若,即,因为当且仅当时，等号成立,所以，所以，即或，解得. 未经允许 请勿转载