函数与方程不等式的联系.doc

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1、泸源普通高级中学研究性学习课题申请书课题编号： 课题名称： 函数与方程、不等式的联系 课题负责人： 朱菊芬 负责人所在单位 ： 泸西县泸源普通高级中学 填 表 日 期： 2012年12月20日 填 表 说 明一、申请书各项内容，要实事求是，逐条认真填写。表达要明确、严谨，字迹清楚易辨。二、封面上“课题编号”申报者不必填写。三、部分栏目填写要求课题名称：应确切反映研究内容，最多不超过30个汉字。主 题词：系课题名称的摘要，最多不超过10个汉字。学科分类：填具体学科名称，属综合性质的，以“综合”统称。主要参加者：指在课题组内起主要作用的人员，最多录10名。课题负责人所在单位意见：若负责人系具体教师

2、，单位意见由学校签署；若系校领导负责的集体课题，单位意见由县市教育局教研室（教科所）签署；若系教研室（教科所）领导负责的集体课题，单位意见由县市教育局签署。四、此表一式叁份填报，立项后分别由州教育科学规划领导小组办公室、县市教育科学规划领导小组办公室、课题单位存档。一、数据表课题名称函数与方程、不等式的联系主题词函数 方程 不等式学科分类 研究类型B负责人姓名 朱菊芬性别 女民族汉出生年月 1976年5月行政职务教科室副主任专业职务 中教高级研究专长 课堂教学最后学历 本科最后学位学士学位进修学科 工作单位 泸西县泸源中学联系电话 通讯地址泸西县泸源中学邮政编码 课题组成员姓名性别出生年月专业

3、职务研究特长学历学位工作单位 朱菊芬女19765中高中学教育本科学士学位泸西县泸源中学张国平 男 1998.6135班学生数学高中泸西县泸源中学 沈继云 男 1999.5135班学生数学高中泸西县泸源中学黎津廷 男 1998.4135班学生数学高中泸西县泸源中学 段文娜女 1998.10135班学生数学高中泸西县泸源中学段雪梅女 1999.4135班学生数学高中泸西县泸源中学赵艳琴女 1997.2 135班学生数学高中泸西县泸源中学预期的主要成果CD让学生动手用所学的知识解决实际问题预期完成时间2014年3月25日二、负责人和课题组成员近期取得的与本课题有关的研究成果成果名称著作者成果形成发表

4、刊物或出版单位发表出版时间三、论证报告1、对研究课题的论证：本课题研究的基本内容、重点和难点、国内外同类课题研究状况；本课题的理论意义和实践意义。（1）课题的背景数学教学贵在“让学生动起来、让课堂活起来、让效果好起来”，要让学生“动”，培养学生“动”的良好习惯，在这样一个背景下，让学生把所学的函数、方程、不等式知识学着糅合在一起去解决一些综合性的问题，这样既可以备战高考，同时还培养了学生归纳总结的能力。（2）课题的意义作为一个数学教师，引导学生充分发挥自己的主动性，培养中学生自主学习的良好习惯，增强学生学习数学的兴趣，让学生把所学的函数、方程、不等式知识学着糅合在一起去解决一些综合性的问题，以

5、备高考，同时也培养了学生归纳总结的能力。这种习惯的养成，在倡导自主、合作、探究的学习方式中，让课堂“技术与操作”的问题得以延伸和扩展，本课题的研究，将推动课堂教学改革进行细节上探索。（3）课题研究的基本内容 要求学生把所学的函数、方程、不等式知识学着糅合在一起去解决一些综合性的问题，还可以应付高考难题。（4）、课题研究的难点找函数与方程的联系，函数与不等式的联系，方程与不等式的联系。 （5）本课题的理论意义和实践意义。 培养高中学生善于归纳、总结的能力。四、研究方法和技术路线（包括研究工作的总体安排和进度，理论分析、计算、实验方法和步骤及其可行性论证，可能遇到的问题和解决的办法）本课题主要分为

6、四个步骤来进行：第一步骤：（1）分配一个学生收集所学函数（重点是二次函数、指数函数、对数函数）的零点知识和相关题目；（2）分配一个学生收集解过的超越方程的相关题目；（3）汇总讨论总结出函数与方程的联系。第二步骤：（1）分配两个学生归纳总结解一元二次不等式的步骤及相关题目并总结出不等式与方程的联系；（2）分配两个学生收集解过的超越不等式及不等式恒成立问题并总结出不等式与函数的联系。第三步骤：所有组员汇总所归纳总结出的问题，讨论总结出函数与不等式、方程相关的典型例题。第四步骤：成果展示，同时写好结题报告。五、预期研究成果最终研究成果序号完成时间最终成果名称成果形式承担人12012年12月21日搜集

7、函数的零点的求法与一元二次不等式的解法和相关题目汇总课题组全体成员22012年12月22日汇总讨论相关问题相关知识总结课题组成员32012年12月23日搜集典型例题汇总典型例题课题组全体成员42012年3月24日总结性报告结题报告张国平、朱菊芬六、课题负责人所在单位意见1、申请书所填的内容是否属实；2、课题负责人和参加者的政治素质与业务水平是否适合主持和参加本课题的研究；3、单位是否提供完成课题所必须的时间和条件。本课题所填的内容属实；课题负责人和参加者具备适合的政治素质与业务水平；学校提供完成本课题所必须的时间和条件。单 位 公 章 负责人签名： 2012年11月20日研究性学习开题报告课题

8、：函数与方程、不等式的联系 负责人：朱菊芬一、课题提出的背景新课程强调“以人为本”， 因此教师教学时要积极倡导自主、合作、探究的学习方式。数学教学贵在“让学生动起来、让课堂活起来、让效果好起来”，要让学生“动”，培养学生“动”的良好习惯，在这样一个背景下，让学生把所学的函数、方程、不等式知识学着柔合在一起去解决一些综合性的问题，这样既可以备战高考，同时还培养了学生归纳总结的能力。二、立题的意义教师教学时应该引导学生充分发挥自己的主动性，培养中学生自主学习的良好习惯，增强学生学习数学的兴趣，让学生把所学的函数、方程、不等式知识学着柔合在一起去解决一些综合性的问题，以备高考。这种习惯的养成，在倡导

9、自主、合作、探究的学习方式中，让课堂“技术与操作”的问题得以延伸和扩展，本课题的研究，将推动课堂教学改革进行细节上探索。三、研究步骤和举措：第一步骤：（1）分配一个学生收集所学函数（重点是二次函数、指数函数、对数函数）的零点知识和相关题目；（2）分配一个学生收集解过的超越方程的相关题目；（3）汇总讨论总结出函数与方程的联系。第二步骤：（1）分配两个学生归纳总结解一元二次不等式的步骤及相关题目并总结出不等式与方程的联系；（2）分配两个学生收集解过的超越不等式及不等式恒成立问题并总结出不等式与函数的联系。第三步骤：所有组员汇总所归纳总结出的问题，讨论总结出函数与不等式、方程相关的典型例题。第四步骤

10、：成果展示，同时写好结题报告。四、研究方法：归纳法、探究法、行动研究法。五、成果展示形式：结题报告一份。2012年12月20日研究性学习结题报告课题：函数与方程、不等式的联系 负责人：朱菊芬一、问题的研究过程及成果展示（一）知识和题目的收集及归纳1、函数的零点是指使得函数值为零的实数x的值2、考题： 求下列函数的零点（1） （2） （3） （4） 确定下列方程的解得个数：（1） （2） （3） 不等式的解集为则ab=- 不等式恒成立问题3、归纳总结（1）函数的零点函数图像与x轴的交点横坐标相应方程的根相应不等式解集的边界；（2）超越方程的解的个数两函数的交点个数；（3）构造函数，利用函数的单调

11、性可以解不等式或证明不等式；（4）（5）（6）（7）4、典型例题例1、方程的解的个数为-解析：此方程是超越方程，解不出来的，因此只有转化为求函数的图象交点个数的问题进行求解，yOx1此题将变得很简单，数形结合不难得出交点只有一个， 即原方程只有一个实数解。例2、已知，是否存在使得方程在内有且只有两个不等的根？若存在求出，若不存在说明理由。分析：方程可化为：，显然此方程不易解，由于方程的解即为相应函数与x轴交点的横坐标，因此可利用所学的导数知识转化为研究函数与x 轴交点的问题。解：方程可化为：，构造函数：， ，当，3O4h(x)xxx且， 所以与x轴在内分别有唯一的交点，而在内没有交点（如图）。

12、因此存在m=3，使方程在(3,4)内有不等的实根。例3、已知，是否存在，使得的图象若存在求出，若不存在说明理由。分析：要通过画图找交点个数，此题显然不易得出，因为函数图象的交点对应x的值使f(x)=g(x)，即方程f(x)=g(x)的解即为交点横坐标，因此构造函数，利用导数知识研究函数与x的正半轴（x0）有三个不同的交点的问题。解：的图象有三个不同的交点，可以转化为函数有三个不同的正的零点（x0），即函数与x的正半轴有三个不同的交点。构造函数： 列表：x(0,1)1(1,3)3 00增减增与x轴的正半轴要有三个交点,1O3h(x)xxx数形结合不难发现只需满足：，。例4、解不等式分析：此不等式

13、看上去比较复杂，但仔细观察左边的两项是有规律的，而且形式上完全相似，于是可构造函数，并用其单调性进行解决，问题会变得简单化。解：构造函数，于是不难得出 是奇函数且在R上是递增函数，则不等式可化为： 故不等式的解集为：例5、已知，且， 求证：对一切，都有成立分析：此题综合性较大，难以下手，只有对求证的式子进行转化找到解题思路，转化过程为：，因此只需证明函数：在定义域内恒小于0.证明：不等式等价于不等式下证构造函数：， 例6、若不等式在内恒成立，求a的取值范围？分析：这是一个超越不等式，从形式上显然解不了，不妨把不等式变形为，利用函数的思想，作出左右两边在的函数图象，数形结合，问题就会迎刃而解。解

14、：不等式可化为： 构造函数：， yOx 则原不等式等价于当时， （如图）例7、使不等式对一切恒成立，求负数的取值范围？分析：要解这一类不等式恒成立问题，必须利用以上原理：解：不等式可化为： 令，则构造函数： 所以不等式就等价于当，恒成立即只需在上，成立即可-1yO- x因为函数图像的对称轴方程为：(如图)即例8、当时，不等式有解，求的取值范围？分析：要解这一类不等式有解问题，可以利用以上原理：解：不等式可化为：构造函数： 不难得出：上有最大值为：所以要使不等式在上有解，则只需即：5、反思总结方程、不等式问题总是与函数联系在一起考察，表面上是考察方程或不等式，实际上是考查函数与方程、不等式的转化思想，综合性强，难度大，学生难以下手，因此教学时教师必须下工夫带领学生多探索探究找到解此类题型的一些方法和技巧，对此类问题真正有所突破。