《计数原理与排列组合、概率及概率分布知识概述.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计数原理与排列组合、概率及概率分布知识概述.doc（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、计数原理与排列组合解决计数应用题时，要认真审题，弄清楚问题的背景： 搞清问题是否 “有序”，即不同元素间是否有先后顺序、位置差异或识别区分，从而分清是排列问题还是组合问题； 弄清目标的实现是该分步实行还是需要分类研究，复杂的问题一般是先按元素的性质分类，再按事件发生的连续过程分步，操作上一般遵循先选元素（组合）后排列的原则分类时要明确标准，做到不重复不遗漏，类与类之间是“互斥”关系，而分步时要注意各步间的连续性； 准确分清弄清题目中的关键字眼，如“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”，“至少”与“至多”，“有”与“恰好有”等复杂的计数问题常常通过枚举试验、列表画图（树形图）、小数字简化等手
2、段使问题直观化，从而寻求解题途径；或者利用转化的思想，把问题转化为若干简单的基本问题后再用两个原理去求解由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验，例如，“正面算”与“反面剔”等提倡一题多解常见的解题策略有： 特殊元素特殊位置优先安排 相邻元素捆绑法（内部先排，团体与其他元素一起再排）（不全相邻，排除处理） 不相邻问题插空法（其他元素先排得空，不相邻元素插空）（相间排列，定位处理） 顺序一定问题他人先坐法（只要先将其他元素安排就座，顺序一定元素再依序入座）或者，顺序一定问题用“除法”（先全体元素全排，再除以顺序一定元素的全排） 多面手问题集合法（画出韦恩图，按某一类的元
3、素入选情况分类） “至多”、“至少”问题分类处理或间接排除 分排问题直排处理；混合问题先选后排；复杂问题穷举画图，分类讨论，间接排除，构造处理 有序分组（组有标识区别或个数有差异）依次分配；无序均分（组无区分）先分配再除法；（防止重复，体会“分步乘法即有序”）各组元素个数不定问题先依次分配再乘法处理 个数不定的分类组合（每组至少一个）问题，隔板处理 相同元素隔板处理（无限制要求的一字排开，隔板（代表限制元素）插空）（或者把无限制元素理解成顺序一定）二、古典概型古典概型的特征： 基本事件是有限的； 基本事件都是等可能的解决古典概型的基本步骤：明确所有基本事件，确定它们是等可能的，确定它们的个数，
4、确定事件包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式计算概率在古典概型中，难点之一是从怎样的角度看基本事件，选择最优的方式解决；难点之二是计数问题，涉及到是排列还是组合的问题古典概型的解题规范： 建立计数模型，并确定总的（等可能）基本事件数；（建模方法：标识编号并枚举/列图表/画树形图/排列组合模型） 交代等可能性：“每个基本事件的发生是等可能的”； 标记所求事件，并确定事件包含的基本事件数； 由古典概型的概率计算公式，计算的值； 答：所求事件发生的概率是 三、几何概型几何概型的特征： 基本事件是无限的； 基本事件都是等可能的；几何概型的概率计算公式在几何概型中，应紧紧抓住“基本事件是点”
5、这条主线，难点是将一些实际问题转化成几何概型问题解题中要关注等可能的切入维度，关注随机点需要几个变量来控制（一维线段长度、二维平面区域面积、三维空间体积）几何概型的解题规范： 标记所求事件； 建立几何模型，交代随机点出现在区域内任一点处是等可能的； 确定几何区域和（当且仅当随机点落在区域内时事件发生）； 计算和的测度，由几何概型的概率计算公式，计算概率； 答：所求事件发生的概率是四、互斥事件与对立事件互斥（对立）事件的概率解题规范： 标识相关互斥事件、等（常标识至每个单位互斥事件）； 交代事件、等彼此互斥； 计算出各相关互斥事件的概率、等； 标记所求和事件，由互斥事件的概率加法公式计算；或者，
6、标记所求对立事件，由对立事件的概率公式，计算； 答：所求事件发生的概率是五、随机变量的概率分布列随机变量是随机事件的数量化，把随机实验的每一个可能出现的结果（基本事件）对应于一个实数，即用一个数来表示一个结果，这样就建立了从随机实验的每一个可能的结果的集合到实数集的映射引进随机变量后，了解随机现象的规律转化为了解随机变量的所有可能取值以及随机变量取各个值的概率（也就是随机变量的概率分布列）由于随机现象所有可能的结果的集合对应的事件是一个必然事件，概率是，而每一次实验结果是的一个“元素”，故随机变量所有取值对应的概率和为求随机变量的概率分布列的步骤： 明确随机变量的所有取值； 指出随机变量取每个
7、值所表示的意义； 利用古典概型的知识求出随机变量取每个值的概率； 按规范给出随机变量的概率分布（列）表六、超几何分布超几何分布模型的特征： 研究的是两类对象，一类看作正品，一类看作次品（与要发生的事件相关，数目较少）； 每类对象的数目确定（次品件，正品件，总产品共件）； 从中抽取件，即无放回的抽样考察； 研究取出某类对象的个数的概率分布（随机变量为抽到次品的件数，求恰好抽到 件次品的概率）； 若，在公式中，分子两组合数的上标之和等于分母组合数的上标，分子两组合数的下标之和等于分母组合数的下标，这也是判断一个随机变量是否服从超几何分布的一个方面超几何分布模型的解题规范： 标识各类产品及具体数目（
8、将多少件什么看作一批产品，多少件什么看作正品，多少件什么看作次品）从中（不放回）随机抽取多少件； 引进随机变量，交代随机变量服从怎样的超几何分布； 标记所求事件，并用超几何分布的概率表示所求事件的概率； 答（按题目要求详细、明确回答）例题（2006山东文改编）盒中装着标有数字，的蓝色卡片张，标有数字，的红色卡片张，现从盒中任意任取张，每张卡片被抽出的可能性都相等，设取到一张求红色卡片记分，取到蓝色卡片记分，以表示抽出的张卡片的总得分，表示抽出的张卡片上最大的数字，求和的概率分布解： 设盒中张卡片为一批产品，其中蓝色的为不合格品，依题意，随机变量的可能取值为，相应地，蓝色卡片被抽出的张数为，由题
9、意，随机变量， ，故的概率分布为： 由于表示抽出的张卡片中的最大数字，则随机变量可能的取值为，当时，表示抽出的张卡片中最大数字为，它包含两种情况：张，张；或张，张所以，由古典概型，得；当时，表示抽出的张卡片中最大数字为，它包含两种情况：张，张为或；或张，另两张为或所以，由古典概型，得；当时，表示抽出的张卡片中最大数字为，它包含两种情况：张，张为或或；或张，另两张为或或由古典概型，得所以，随机变量的概率分布为：七、条件概率条件概率（在事件已发生的条件下事件发生的概率）条件概率是指当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上一件事已发生的条件）求另一件事在此条件下发生的概率一般不放回
10、问题常可用条件概率解决；当，互斥时，有条件概率问题的解题规范： 标识各相关事件（一般第次（步）抽到什么为事件）； 说明所求事件可以转化为什么样的条件概率； 利用条件概率的相关公式求其概率； 答（按题目要求详细、明确回答）八、事件的独立性事件与独立，是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响，即有放回问题多为独立事件模型若事件，相互独立，则与，与，与之间也相互独立独立事件问题的解题规范： 标识各相关事件（，等）； 交代它们相互独立； 标识所求事件，并用独立事件表示； 利用乘法公式求概率； 答（按题目要求详细、明确回答）例题（2009湖南文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为
11、基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、.现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设求： 他们选择的项目所属类别互不相同的概率； 至少有人选择的项目属于民生工程的概率解：记第工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ，由题意知，相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，且， 记“他们选择的项目所属类别互不相同”为事件，则 ， 记“至少有人选择民生工程项目”为事件，则 九、二项分布次独立重复试验（伯努利试验）要从三个方面考虑：一是每次试验在相同条件下进行；二是每次实验相互独立，即每次试验与前后其他各次试验的结果无关，不受影响从而，确保事件在相同条件下发生的概率保持不变；三是每次实验的结果只有两种对立状态，即要么事件发生，要么事件发生在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，设事件恰好发生次的概率为，此时称随机变量服从二项分布，记作 二项分布问题的解题规范： 标识事件，求出事件发生的概率； 指出每次试验（事件发生一次）相互独立，引进随机变量，； 将所求事件用随机变量的取值表示； 用二项分布概率公式计算概率； 答（按题目要求详细、明确回答）十、随机变量的均值和方差随机变量的概型期望方差分布超几何分布二项分布均值（数学期望）：；方差：