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1、第六章微分方程第六章微分方程第一页,本课件共有74页第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题求方程的解三、主要问题求方程的解第二页,本课件共有74页解解一、问题的提出一、问题的提出第三页,本课件共有74页微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的某未知函数以及未知函数的某些导数些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义二、微分方程的定义第四页,本课件共有74页微分方程
2、的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程另一种分类另一种分类:未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。我们只学习常微分方程,有时把常微分方程简称为我们只学习常微分方程,有时把常微分方程简称为微分方程。微分方程。第五页,本课件共有74页微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称
3、之.微分方程的解的分类:微分方程的解的分类:三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常且任意常数的个数与微分方程的阶数相同数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.第六页,本课件共有74页初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.第七页,本课件共有74页解解第八页,本课件共有74页所求特解为所求特解为练习:练习:P159 1P159 1
4、第九页,本课件共有74页第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.1、可分离变量的微分方程的定义、可分离变量的微分方程的定义第十页,本课件共有74页分离变量法分离变量法第十一页,本课件共有74页第十二页,本课件共有74页所以所以第十三页,本课件共有74页例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分求积分得求积分得第十四页,本课件共有74页例例3 求微分方程求微分方程的满足初始条件的满足初始条件 的特解。的特解。练习:求练习:求 的通解。(的通解。(2010年考题)年考题)第十五页,本课件共有74页分离变量法步骤分
5、离变量法步骤:分离变量分离变量;两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.3 3、小结、小结计算上述不定积分,得通解。计算上述不定积分,得通解。看看 P160 例题例题1,2练习:练习:P161 1P161 1(1 1)()(3 3)2 2(1 1)()(2 2)第十六页,本课件共有74页第三节第三节 齐次方程齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义课本课本P163的定义的定义第十七页,本课件共有74页第十八页,本课件共有74页解:原方程可化为解:原方程可化为分离变量得分离变量得代入上式得代
6、入上式得两边积分得两边积分得从而有从而有第十九页,本课件共有74页第四节、一阶线性微分方程第四节、一阶线性微分方程即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一次幂,即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一次幂,则称它为线性微分方程。则称它为线性微分方程。课本课本P164-165的定义的定义第二十页,本课件共有74页第二十一页,本课件共有74页对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第二十二页,本课件共有74页利用公式法求解利用公式法求解第二十三页,本课件共有74页解:解:(公式法公式法)例例2 2第二十四页,本课件共有74页例例3 3(20102010年考题)年考题
7、)牢记牢记 P166 P166页公式(页公式(5 5)()(6 6)练习:练习:P168 1(1)(2)2(1)(2)P168 1(1)(2)2(1)(2)第二十五页,本课件共有74页第五节、可降阶的高阶微分方程 练习:练习:P170 第第1题题 (1)()(2)第二十六页,本课件共有74页第二十七页,本课件共有74页第二十八页,本课件共有74页复合函数的求导复合函数的求导第二十九页,本课件共有74页解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 第三十页,本课件共有74页第六节第六节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的性质一、二阶常
8、系数线性微分方程解的性质第三十一页,本课件共有74页二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质第三十二页,本课件共有74页第三十三页,本课件共有74页二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根第三十四页,本课件共有74页 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为第三十五页,本课件共有74页 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征
9、根为第三十六页,本课件共有74页 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为第三十七页,本课件共有74页见课本见课本P172表格表格第三十八页,本课件共有74页定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1第三十九页,本课件共有74页解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2第四十页,本课件共有74页第四十一页,本课件共有74页练练习习:第四十二页,本课件共有7
10、4页所以所以,所给微分方程的通解为所给微分方程的通解为第四十三页,本课件共有74页三、小结三、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程)写出相应的特征方程;(2)求出特征根)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况)根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)第四十四页,本课件共有74页牢记牢记 P172 P172 结论结论练习:练习:P174 2 3P174 2 3第四十五页,本课件共有74页第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质一、
11、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质第四十六页,本课件共有74页二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质第四十七页,本课件共有74页第四十八页,本课件共有74页二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点:如何求特解?如何求特解?方法方法:待定系数法待定系数法.二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法第四十九页,本课件共有74页第五十页,本课件共有74页第五十一页,本课件共有74页第五十二页,本课件共有74页第五十三页,本课件共有74页解解对应齐次方程
12、通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为练习练习:第五十四页,本课件共有74页小结:二阶常系数非齐次线性微分方程解法小结:二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.第五十五页,本课件共有74页第五十六页,本课件共有74页第五十七页,本课件共有74页代入方程得:代入方程得:第五十八页,本课件共有74页基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.一阶线次微一阶线次微分方程分方程可降阶方程可降
13、阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法复习:第六章复习:第六章 微分方程的主要内容微分方程的主要内容第五十九页,本课件共有74页微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法齐次方程齐次方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法降降降降阶阶阶阶作作变变换换第六十页,本课件共有74页1
14、 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解函数称为微分方程的解 第六十一页,本课件共有74页通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数,并且任微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分
15、方程的通解做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解,叫确定了通解中的任意常数以后得到的解,叫做微分方程的特解做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,叫初值问题叫初值问题第六十二页,本课件共有74页(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换第六十三页,本课件共有74页(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐
16、次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为(使用分离变量法)(使用分离变量法)解法解法第六十四页,本课件共有74页非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为(公式法或常数变易法)(公式法或常数变易法)第六十五页,本课件共有74页3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次,得通解次,得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得第六十六页,本课件共有74页特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构(1 1)二阶齐次方程解的结构)二阶齐次方程解的结构:第
17、六十七页,本课件共有74页(2 2)二阶非齐次线性方程的解的结构)二阶非齐次线性方程的解的结构:第六十八页,本课件共有74页第六十九页,本课件共有74页、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为其通解的方法称为特征方程法特征方程法.第七十页,本课件共有74页特征方程为特征方程为第七十一页,本课件共有74页6 6、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.第七十二页,本课件共有74页第七十三页,本课件共有74页第七十四页,本课件共有74页